Φυσική Θετικών Σπουδών & Σπουδών Υγείας Γ΄ τάξη Γενικού Λυκείου (ΤΕΥΧΟΣ Γ΄)
4-4 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Ας δούμε με ποιες προϋποθέσεις ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό στο οποίο ασκούνται δυνάμεις.

Αν το στερεό έχει σταθερό άξονα μπορεί να κάνει μόνο στροφική κίνηση. Επομένως, για να ισορροπεί, αρκεί η συνισταμένη των ροπών ως προς τον άξονα να είναι μηδέν.

Ένα ελεύθερο στερεό, όμως, μπορεί να εκτελέσει και μεταφορική και στροφική κίνηση. Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι μηδέν το σώμα δε θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση. Αυτό όμως δεν εξασφαλίζει ότι δε θα στραφεί. Αν υπάρχουν ροπές το σώμα θα στραφεί. Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, αν υπάρχουν ροπές, αυτές θα οφείλονται σε ζεύγη δυνάμεων. Η ροπή ζεύγους, όμως, είναι ίδια ως προς όλα τα σημεία. Επομένως, για να μη στραφεί το σώμα θα πρέπει η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο (τότε θα είναι μηδέν και ως προς κάθε άλλο).

Επομένως για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις θα πρέπει πρώτον η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν

ΣF = 0 ή ΣFx = 0 ΣFy = 0

 

και δεύτερον το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι μηδέν

Στ = 0

 

  
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4-3

Ομογενής οριζόντια δοκός ΑΓ που έχει μήκος l= 4m και βάρος w1=200N, κρέμεται από δύο κατακόρυφα σκοινιά που είναι δεμένα στα άκρα της και ισορροπεί. Πάνω στη δοκό και σε απόσταση x= lm από το άκρο της στέκεται άνθρωπος βάρους w2=600 Ν. Ποια είναι τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν τα σκοινιά στη δοκό;

Απάντηση :
Οι δυνάμεις που ασκούνται στη δοκό είναι το βάρος της (w1), η δύναμη που δέχεται από τον άνθρωπο - είναι ίση με το βάρος του w2 - και οι δυνάμεις Τ1 και Τ2 από τα σκοινιά.

 Σχ. 4.15

        Σχ. 4.15


Εφόσον η ράβδος ισορροπεί η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν

ΣF = 0 οπότε T1 + T2 - w1 -w2 = 0                                    (4.2)


και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων, ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι επίσης μηδέν. Οι υπολογισμοί μας απλουστεύονται αν οι ροπές αναφέρονται σε σημείο από το οποίο περνάει μία από τις άγνωστες δυνάμεις. Επιλέγουμε το σημείο Α.

ΣτΑ = 0 άρα Τ2l -w1 εικόνα - w2x = 0,

από όπου προκύπτει ότι Τ2 = Εικόνα = 250N
Αντικαθιστώντας στην (4.2) βρίσκουμε Τ1 = 550Ν
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4-4

Ομογενής δοκός ΑΓ, μήκους l και βάρους w=400 Ν, ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της δοκού στηρίζεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο της Γ συνδέεται με τον τοίχο με σκοινί που σχηματίζει γωνία φ=30° με τη δοκό. Να βρείτε τις δυνάμεις που δέχεται η δοκός από το σκοινί και από την άρθρωση.

 Σχ. 4.16

        Σχ. 4.16

Απάντηση :
Αναλύουμε όλες τις δυνάμεις σε μια οριζόντια και μια κατακόρυφη διεύθυνση.

Tx = Tσυν30 και Τy =  Tημ30


Εφόσον η ράβδος ισορροπεί

ΣFx = 0 ή Tσυν30 = Fx                                     (4.3)
ΣFy = 0 ή Tημ30 + Fy = w                                (4.4)

Επίσης Στ = 0 ως προς οποιοδήποτε σημείο.
Υπολογίζουμε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το σημείο Α και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων, ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι επίσης μηδέν. Οι υπολογισμοί μας απλουστεύονται αν οι ροπές αναφέρονται σε σημείο από το οποίο περνάει μία από τις άγνωστες δυνάμεις. Επιλέγουμε το σημείο Α.

Tημ30l - w εικόνα = 0                                            (4.5)

Οι δυνάμεις Fx Fy και Τx έχουν μηδενικές ροπές ως προς το σημείο Α.
Από τη σχέση (4.5) προκύπτει

2Tημ30 = w επομένως T = 400N                    (4.6)

Από την (4.3) λαμβάνοντας υπόψη την (4.6) έχουμε

 Fx = 200 Εικόνα N

και από την (4.4)                                                             Fy = 200N
Επομένως η δύναμη F έχει μέτρο                                   F = Εικόνα = 400N
και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ
για την οποία                                                                  εφθ = Εικόνα άρα θ = 30o