Φυσική Θετικών Σπουδών & Σπουδών Υγείας Γ΄ τάξη Γενικού Λυκείου (ΤΕΥΧΟΣ Γ΄)
 
3-5 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ Η
ΕΞΙΣΩΣΗ TOY BERNOULLI (ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ)

Από την καθημερινή μας εμπειρία γνωρίζουμε ότι η πίεση ενός ρευστού που ρέει μέσα σε ένα σωλήνα είναι, εν γένει, διαφορετική ανάμεσα σε δύο σημεία που έχουν υψομετρική διαφορά. Το νερό στις βρύσες του πέμπτου ορόφου έχει μικρότερη πίεση από το νερό στις βρύσες του ισογείου.

Σε ένα σωλήνα που η διατομή του δεν είναι παντού ίδια, η ταχύτητα του υγρού μεταβάλλεται (εξίσωση της συνέχειας). Δηλαδή μια μικρή μάζα Am του υγρού σε άλλες περιοχές του σωλήνα επιταχύνεται και σε άλλες επιβραδύνεται. Στις περιπτώσεις αυτές η συνολική δύναμη που δέχεται αυτή η μάζα από το περιβάλλον υγρό δεν είναι μηδενική και κατά συνέπεια η πίεση δε μπορεί να είναι ίδια σε όλες τις περιοχές του σωλήνα.

Το 1738 ο Ελβετός Daniel Bernoulli βρήκε μια σχέση που συνδέει την πίεση με την ταχύτητα και με το ύψος.

Έστω ότι έχουμε ένα σωλήνα  μεταβλητής διατομής μέσα στον οποίο ρέει ένα ασυμπίεστο ρευστό (σχ. 3.10). Θα εξετάσουμε την πίεση σε δύο σημεία Β, Γ, του σωλήνα. Το σημείο Β βρίσκεται σε ύψος y1 από το έδαφος και ο σωλήνας έχει στην περιοχή του Β διατομή Α1,. Η πίεση του ρευστού στο Β είναι p1. Το σημείο Γ βρίσκεται σε ύψος y2 από το έδαφος, η διατομή του σωλήνα εκεί είναι Α2 και η πίεση p2. Αν θεωρήσουμε σαν σύστημα το ρευστό από το Β μέχρι το Γ, βλέπουμε ότι δέχεται από το υπόλοιπο ρευστό μια δύναμη p1Α1 στην περιοχή του Β και μια δύναμη, την p2A2 στην περιοχή του Γ, με φορά αντίθετη με τη φορά της p1A1 Σ' ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα At ένα στοιχειώδες τμήμα του ρευστού στην περιοχή του Β μετατοπίζεται κατά Δs1 ενώ ένα αντίστοιχο τμήμα του ρευστού ίσης μάζας, άρα και όγκου, στην περιοχή του Γ μετατοπίζεται κατά Δs2.
Σχ. 3.10 Ασυμπίεστο ρευστό ρέει με στρωτή ροή μέσα σε ένα σωλήνα. Το ρευστό που βρίσκεται στο μέρος του σωλήνα με μήκος Δs1 μετακινείται στο μέρος του σωλήνα που έχει μήκος Δs2. Οι όγκοι του ρευστού στα δύο μέρη είναι ίσοι.

Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα έργου - ενέργειας στο μικρό χρονικό διάστημα At. Σύμφωνα με αυτό

                              W + WB = ΔΚ                                          (3.10)
όπου W το έργο που προσφέρεται στο τμήμα του ρευστού από το Β στο Γ από το περιβάλλον ρευστό. Το έργο αυτό θα είναι το έργο της δύναμης p1Α1 (θετικό) συν το έργο της p2Α2 (αρνητικό)

                  W = p1A1Δs1 - p2A2Δs2                  (3.11)
Όμως                                A1Δs1 = A2Δs2 = ΔV
Οπότε                                W =( p1 - p2 )ΔV
Το έργο του βάρους στο ίδιο χρονικό διάστημα είναι

           WB = - Δm g(y2 - y1) = -ρΔV g(y2 - y1)                     (3.12)
καθώς, στην ουσία, ένα τμήμα του ρευστού Am έφυγε από το ύψος y1 και βρέθηκε στο ύψος y2. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας θα είναι

  ΔΚ = Εικόνα Δmυ22 - Εικόνα Δmυ12 = Εικόνα ρΔV(υ22 - υ12)                    (3.13)
Εικ. 3.3 Daniel Bernoulli (1700- 1782). Ελβετός φυσικός και μαθηματικός, από οικογένεια διάσημων μαθηματικών. Η πιο φημισμένη του εργασία ήταν πάνω στην υδροδυναμική. Οι μελέτες του Bernoulli πάνω στα ρευστά αποτέλεσαν την απαρχή της κινητικής θεωρίας των αερίων. Ο Bernoulli τιμήθηκε πολύ στη διάρκεια της ζωής του με σειρά από αξιώματα και θέσεις στα πανεπιστήμια της εποχής του.
Εικ. 3.3 Daniel Bernoulli (1700- 1782). Ελβετός φυσικός και μαθηματικός, από οικογένεια διάσημων μαθηματικών. Η πιο φημισμένη του εργασία ήταν πάνω στην υδροδυναμική. Οι μελέτες του Bernoulli πάνω στα ρευστά αποτέλεσαν την απαρχή της κινητικής θεωρίας των αερίων. Ο Bernoulli τιμήθηκε πολύ στη διάρκεια της ζωής του με σειρά από αξιώματα και θέσεις στα πανεπιστήμια της εποχής του.


Σχ. 3.10 Ασυμπίεστο ρευστό ρέει με στρωτή ροή μέσα σε ένα σωλήνα. Το ρευστό που βρίσκεται στο μέρος του σωλήνα με μήκος Δs1 μετακινείται στο μέρος του σωλήνα που έχει μήκος Δs2. Οι όγκοι του ρευστού στα δύο μέρη είναι ίσοι.
Σχ. 3.11 Στο στενό μέρος του σωλήνα η ταχύτητα του υγρού είναι μεγαλύτερη. Το ύψος της στάθμης του υγρού πάνω από την περιοχή αυτή δείχνει ότι η πίεση στο σωλήνα είναι μικρότερη.

όπου υ1 η ταχύτητα του ρευστού στο Β και υ2 η ταχύτητα του ρευστού στο Γ. Αντικαθιστώντας τις (3.11), (3.12) και (3.13) στη σχέση (3.10) έχουμε

( p1 - p2 )ΔV - ρΔV g(y2 - y1) = aaa ρΔV(υ22 - υ12)

Απλοποιούμε τα ΔV και αναδιατάσσοντας την εξίσωση έχουμε

p1 + Εικόναρυ12 + ρgy1 = p2 + Εικόνα ρυ22 + ρgy2

Η σχέση αυτή ισχύει για οποιοδήποτε ζεύγος σημείων άρα μπορεί να γραφτεί και με τη μορφή

 

p + 1/2ρυ2 + ρgy = σταθερό

 

Η παραπάνω σχέση είναι η εξίσωση του Bernoulli για ιδανικό ρευστό.

Από την εξίσωση του Bernoulli προκύπτει

  1. ότι το άθροισμα της πίεσης (p), της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου ( Εικόνα ρυ2) και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (ρgy) έχει την ίδια σταθερή τιμή σε οποιοδήποτε σημείο της ρευματικής γραμμής.

Η εξίσωση του Bernoulli αποτελεί έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας στη ροή των ρευστών. 

Αν ο σωλήνας είναι οριζόντιος η εξίσωση του Bernoulli παίρνει τη μορφή

ρ + Εικόνα ρυ2 = σταθερό

από όπου φαίνεται ότι σε περιοχές όπου πυκνώνουν οι ρευματικές γραμμές (μικρή διατομή του σωλήνα) και η ταχύτητα ροής αυξάνεται, η πίεση ελαττώνεται.

Σχ. 3.11 Στο στενό μέρος του σωλήνα η ταχύτητα του υγρού είναι μεγαλύτερη. Το ύψος της στάθμης του υγρού πάνω από την περιοχή αυτή δείχνει ότι η πίεση στο σωλήνα είναι μικρότερη.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.1

Γιατί ο δυνατός άνεμος παρασέρνει τις στέγες των σπιτιών;
Σχ.3.12

Ο δυνατός άνεμος όταν συναντά το σπίτι (σχ. 3.12) περνά πάνω από αυτό, με αποτέλεσμα η φλέβα του αέρα να στενεύει στη θέση Σ2 πάνω από τη στέγη, άρα η ταχύτητά του υ2 να είναι μεγαλύτερη από τις ταχύτητες υ1 και υ3 που έχει στις θέσεις Σ1 και Σ3, αντίστοιχα, πριν και μετά απ' αυτήν (εξίσωση συνέχειας).

Επειδή στη θέση Σ2 η ταχύτητα του ανέμου είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα στις θέσεις Σ1 και Σ3, σύμφωνα με το νόμο του Bernoulli η πίεση

                                                                                                                                                                                                                    Σχ.3.12


στο Σ2 θα είναι μικρότερη από αυτήν στις θέσεις Σ1, και Σ3. Η πίεση πάνω από τη στέγη θα είναι ακόμη μικρότερη από αυτήν που επικρατεί στο εσωτερικό του σπιτιού όπου ο αέρας είναι ακίνητος. Η ισορροπία δυνάμεων που διατηρεί τη στέγη στη θέση της διαταράσσεται, με αποτέλεσμα η στέγη να τείνει να ανυψωθεί.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.2

Θεώρημα Torricelli (Υπολογισμός ταχύτητας εκροής υγρού από ανοικτό δοχείο)

Έστω ότι έχουμε το δοχείο του σχήματος 3.13 στη βάση του οποίου υπάρχει στόμιο εκροής.
Εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli για τις θέσεις Ε (ελεύθερη επιφάνεια) και Κ (στόμιο εκροής):

pE + ΕικόναρυΕ2 + ρgh = pK + ΕικόναρυK2 + 0                                (3.14)

Η πίεση τόσο στην ελεύθερη επιφάνεια όσο και στο σημείο εξόδου είναι η ατμοσφαιρική, δηλαδή :

aaa

                       Σχ.3.13

 

pE= pK = pαt                                    (3.15)

Η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του υγρού μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα συγκριτικά με την ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο Κ

υE = 0                                    (3.16)

Λαμβάνοντας υπόψη τις (3.15) και (3.16) και επιλύοντας την (3.14) ως προς υκ βρίσκουμε

Εικόνα

που αποτελεί τη μαθηματική έκφραση του θεωρήματος του Torricelli (Τορικέλι).

  1. Η ταχύτητα εκροής υγρού από στόμιο που βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνειά του είναι ίση με την ταχύτητα που θα είχε το υγρό αν έπεφτε ελεύθερα από ύψος Λ.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.3

Ποια δύναμη ανυψώνει τα αεροπλάνα;              

 

Οι πτέρυγες των αεροπλάνων είναι έτσι σχεδιασμένες ώστε, όταν κινούνται, οι  ευματικές γραμμές του αέρα να παρουσιάζουν πύκνωση στο επάνω μέρος τους και αραίωση στο κάτω (σχ. 3.14).

Η πίεση στο άνω μέρος των πτερύγων είναι μικρότερη από αυτήν στο κάτω μέρος. Η δύναμη που δέχονται οι πτέρυγες λόγω αυτής της διαφοράς πίεσης λέγεται αεροδύναμη ενώ η κατακόρυφη συνιστώσα της λέγεται δυναμική άνωση.

Οι πιέσεις που αναπτύσσονται είναι συνάρτηση της ταχύτητας του ρευστού, στην περίπτωσή μας του αέρα, ή, αν το δούμε αντίστροφα, της ταχύτητας του αεροπλάνου ως προς τον αέρα.

aaa

                       Σχ.3.14

Αν η ταχύτητα του αεροπλάνου είναι τέτοια ώστε η δυναμική άνωση που προκύπτει να είναι μεγαλύτερη από το βάρος του αεροπλάνου, το αεροπλάνο ανυψώνεται.

Στην πραγματικότητα το φαινόμενο είναι πολυπλοκότερο. Η ροή του αέρα πάνω και κάτω από τις πτέρυγες είναι τυρβώδης και για να υπολογισθεί ακριβέστερα η δυναμική άνωση απαιτούνται πολύπλοκοι υπολογισμοί.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.3

Το ροόμετρο του Ventouri. Το σχήμα 3.15 δείχνει μία διάταξη που χρησιμεύει για τη μέτρηση της ταχύτητας  ροής σε ένα σωλήνα. Αν είναι γνωστές οι διατομές Α1και Α2, του σωλήνα και η υψομετρική διαφορά h στη στάθμη των δύο κατακόρυφων ανοιχτών σωλήνων Β και Γ, να βρεθεί η ταχύτητα ροής στην περιοχή του σωλήνα που έχει διατομή Α1.

Σχ 3.15

Σχ 3.15

Απάντηση:

Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli στα σημεία 1 και 2 που βρίσκονται στο ίδιο ύψος έχουμε

p1 + Εικόναρυ12= p2 + Εικόνα ρυ22                                              (3.17)

Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε ότι

A1υ1 = A2υ2 ή υ2 = Εικόνα υ1                                               (3.18)

Αντικαθιστώντας την (3.18) στην (3.17) έχουμε

p1 + Εικόνα ρυ12= p2 + Εικόνα ρΕικόναυ12        ή        p1 - p2 = Εικόνα ρυ12 ( Εικόνα - 1)        (3.19)

Όμως                                                 p1 = pαt + ρgh1      και      p2 = pαt + ρgh2               (3.20)

όπου h1 το ύψος της στήλης του νερού πάνω από το σωλήνα μετρημένο από το σημείο 1 και h2 το ύψος της στήλης του νερού μετρημένο από το σημείο 2.

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (3.20) παίρνουμε

p1 - p2 = ρg ( h1 - h2 ) = ρgh                                           (3.21)

Αντικαθιστώντας στην (3.19) την (3.21)

βρίσκουμε                                      ρgh = ααα ρυ12 (Εικόνα - 1) και τελικά υ1 = Εικόνα