Φυσική ( Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης) - Βιβλίο Μαθητή old
7-8 ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΑΓΙΔΕΥΜΕΝΟ ΣΕ ΠΗΓΑΔΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
7-9 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΗΡΑΓΓΑΣ

Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε το παράδοξο ότι αν εγκλωβίσουμε ένα ηλεκτρόνιο μέσα σ' ένα πηγάδι δυναμικού υπάρχει η πιθανότητα να βρεθεί έξω από το πηγάδι. Είναι σαν να κλείνουμε ένα μπαλάκι σ' ένα κουτί κι αυτό, μερικές φορές, να βρίσκεται απ' έξω.

Ένα αντίστοιχο φαινόμενο είναι το φαινόμενο σήραγγας. Εδώ το ηλεκτρόνιο βρίσκεται αντιμέτωπο με ένα φράγμα δυναμικού ψηλότερο από την ενέργειά του. Σύμφωνα με την κλασική θεωρία το ηλεκτρόνιο θα ανακλαστεί και θα επιστρέψει πίσω. Η κβαντική θεωρία, όμως, μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι, μερικές φορές, το ηλεκτρόνιο διαπερνάει το φράγμα. Η θεωρητική αυτή πρόβλεψη επιβεβαιώνεται πειραματικά. Είναι σαν να πετάμε ένα μπαλάκι σ' ένα τζάμι και κάποιες φορές το μπαλάκι να βρίσκεται από την άλλη μεριά χωρίς να σπάσει το τζάμι. Τέτοια φαινόμενα βέβαια δε συμβαίνουν ποτέ με σώματα όπως ένα μπαλάκι, συμβαίνουν όμως με σωματίδια όπως ένα ηλεκτρόνιο.

Ας δούμε πρώτα τι είναι ένα φράγμα δυναμικού. Ένα τρενάκι του λούνα παρκ (σχ. 7.17) έχει στο χαμηλότερο σημείο Α της διαδρομής του ταχύτητα υA.   Αν θεωρήσουμε ότι στο Α η δυναμική ενέργεια του τρένου είναι μηδενική τότε η ολική του ενέργεια Ε θα είναι E =K = ΕικόναA2. Μπροστά στο τρενάκι βρίσκεται ένα ύψωμα ύψους h σε σχέση με το σημείο Α. Εάν το τρενάκι καταφέρει να βρεθεί στην κορυφή Δ του υψώματος θα έχει δυναμική ενέργεια U(Δ) = mgh. Ένα τέτοιο ύψωμα σαν αυτό που βρίσκεται μπροστά στο τρενάκι μπορεί να χαρακτηρισθεί σαν ένα φράγμα δυναμικού ύψους mgh . Εάν δεν υπάρχουν τριβές και E≥U(Δ) τότε το τρενάκι θα υπερπηδήσει το ύψωμα και θα συνεχίσει την πορεία του. Εάν E<U(Δ) το τρενάκι θα φτάσει μέχρι ένα ύψος μικρότερο του h , η ταχύτητά του θα μηδενιστεί και θα κυλήσει προς τα πίσω. Αντίστοιχα φράγματα δυναμικού μπορούμε να υλοποιήσουμε και στο ηλεκτρικό πεδίο, όπου το ρόλο του τρένου θα παίζει ένα ηλεκτρόνιο και το φράγμα δυναμικού θα αντιστοιχεί σε δυναμική ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου, (σχ. 7.18).

Η λύση της (7.6) αν λάβουμε υπόψη τους περιορισμούς που επιβάλλει το φράγμα δυναμικού δηλαδή U = 0 για x<0 και x>L και U =U0 για 0≤x≤L είναι της μορφής του σχήματος 7.19.


Σχ. 7.17 Όταν Ε < UΔ το τραινάκι δεν μπορεί να υπερπηδήσει το φράγμα δυναμικού.
Σχ. 7.17 Όταν Ε < UΔ το τραινάκι δεν μπορεί να υπερπηδήσει το φράγμα δυναμικού.

Σχ. 7.18 Φράγμα δυναμικού ύψους U0 . Ένα ηλεκτρόνιο ενέργειας E<U0 σύμφωνα με την κλασική θεωρία δεν μπορεί να περάσει από τη μία πλευρά του φράγματος στην άλλη .
Σχ. 7.18 Φράγμα δυναμικού ύψους U0 . Ένα ηλεκτρόνιο ενέργειας E<U0 σύμφωνα με την κλασική θεωρία δεν μπορεί να περάσει από τη μία πλευρά του φράγματος στην άλλη .









Σχ. 7.19 Αριστερά και δεξιά του φράγματος η κυματοσυνάρτηση είναι ημιτονοειδής ενώ στο εσωτερικό του εκθετική φθίνουσα.

Σχ. 7.19 Αριστερά και δεξιά του φράγματος η κυματοσυνάρτηση είναι ημιτονοειδής ενώ στο εσωτερικό του εκθετική φθίνουσα.

Βλέπουμε ότι η κυματοσυνάρτηση υπάρχει και δεξιά του φράγματος αν και με αισθητά μικρότερο πλάτος. Αυτό σημαίνει μικρότερη πιθανότητα ύπαρξης του ηλεκτρονίου δεξιά του φράγματος απ' ότι αριστερά.

Η πιθανότητα εμφάνισης του ηλεκτρονίου δεξιά του φράγματος εξαρτάται από την ενέργειά του Ε και το εύρος του φράγματος L. Πιο συγκεκριμένα, η πιθανότητα γίνεται μεγαλύτερη αν αυξηθεί η ενέργεια του ηλεκτρονίου (παραμένοντας μικρότερη από το ύψος του φράγματος U0) και αν ελαττωθεί το εύρος του φράγματος.

Το φαινόμενο σήραγγας έχει πολλές εφαρμογές.

Ο χαλκός οξειδώνεται. Ένα γυμνό σύρμα από χαλκό καλύπτεται από ένα λεπτό στρώμα οξειδίου του χαλκού που είναι μονωτής. Όμως, όλοι γνωρίζουμε ότι η επαφή δυο χάλκινων συρμάτων είναι αγώγιμη. Πώς μπορούν τα ηλεκτρόνια και περνούν από το ένα σύρμα στο άλλο; Με το φαινόμενο σήραγγας.

Κατά τη ραδιενεργό διάσπαση άλφα, ο πυρήνας εκπέμπει ένα σωμάτιο άλφα (πυρήνας του στοιχείου ήλιον). Για να διαφύγει το σωμάτιο άλφα από τον πυρήνα πρέπει να διαπεράσει ένα φράγμα δυναμικού που οφείλεται στις ελκτικές πυρηνικές δυνάμεις και στην απωστική δύναμη Coulomb ανάμεσα σε αυτό και στον υπόλοιπο πυρήνα. Σποραδικά, κάποιο σωμάτιο άλφα κατορθώνει να διαπεράσει αυτό το φράγμα.

Μια πυρηνική αντίδραση σύντηξης πραγματοποιείται όταν δύο πυρήνες έρθουν πολύ κοντά ώστε οι ισχυρές πυρηνικές τους δυνάμεις μπορέσουν να τους κάνουν να συσσωματωθούν και να προκαλέσουν τη σύντηξη. Το πλησίασμα όμως των πυρήνων παρεμποδίζεται από τις απωστικές δυνάμεις Coulomb που τείνουν να τους απομακρύνουν. Για να επιτευχθεί η σύντηξη οι δύο πυρήνες πρέπει να διαπεράσουν το φράγμα που δημιουργείται από τις απωστικές δυνάμεις. Αυτό συμβαίνει στον Ήλιο και σε όλα τα άλλα αστέρια.

Το φαινόμενο σήραγγας βρίσκει επίσης εφαρμογή στις διόδους σήραγγας, στο ηλεκτρονικό μικροσκόπιο σήραγγας και αλλού.

ΣΥΝΟΨΗ

Το μέλαν σώμα είναι το ιδεατό εκείνο σώμα το οποίο απορροφά όλη την ακτινοβολία η οποία προσπίπτει πάνω του.
Οι υποθέσεις που έκανε ο Planck στην προσπάθειά του να ερμηνεύσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος είναι:
Η ενέργεια των ταλαντούμενων ατόμων δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Μπορεί να πάρει μόνο διακριτές (κβαντισμένες) τιμές. Οι τιμές της ενέργειας που μπορεί να έχει το ταλαντούμενο άτομο είναι

En = nhf

όπου n ένας θετικός ακέραιος αριθμός που ονομάζεται κβαντικός αριθμός / η συχνότητα ταλάντωσης του ατόμου και h η σταθερά του Planck (h = 6,626 x10-34Js)
Το ποσό της ενέργειας, υπό μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, που μπορεί να απορροφήσει ή να εκπέμψει ένα άτομο μπορεί να πάρει μόνο διακριτές τιμές.
Οι υποθέσεις αυτές αποτελούν το θεμέλιο της κβαντικής θεωρίας.
Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο είναι το φαινόμενο κατά το οποίο μία μεταλλική επιφάνεια απελευθερώνει ηλεκτρόνια στο περιβάλλον όταν πάνω της προσπίπτει φως.
Το ελάχιστο ποσό ενέργειας που απαιτείται να προσφερθεί σ' ένα ηλεκτρόνιο ενός υλικού για να δραπετεύσει από το υλικό λέγεται έργο εξαγωγής και συμβολίζεται με το φ.
Ο Einstein ερμήνευσε το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο με την παραδοχή ότι το φως μεταφέρει την ενέργειά του σε μικρά πακέτα, που ονομάζονται κβάντα φωτός ή φωτόνια.
Η ενέργεια κάθε φωτονίου είναι E = hf
Η κινητική ενέργεια ενός φωτοηλεκτρονίου κατά την έξοδό του από την κάθοδο είναι

E = hf-φ (φωτοηλεκτρική εξίσωση Einstein)

όπου h η σταθερά του Planck και λ του μήκους κύματος του φωτός.
Η ορμή κάθε φωτονίου είναι p = h/λ
Φαινόμενο Compton είναι το φαινόμενο κατά το οποίο η σκεδαζόμενη ακτινοβολία Χ από ένα υλικό έχει μεγαλύτερο μήκος κύματος από την προσπίπτουσα. Η διαφορά εξαρτάται από τη γωνία σκέδασης.

Εικόνα

Οποιοδήποτε σωμάτιο ορμής ρ είναι συνδεδεμένο με ένα κύμα, με μήκος κύματος λ που δίνεται από τη σχέση λ = h/p
Η αρχή της αβεβαιότητας λέει ότι δεν είναι δυνατόν να μετρήσουμε και τη θέση και την ορμή ενός σωματιδίου, ταυτόχρονα, με απεριόριστη ακρίβεια.
Για ένα σωματίδιο που κινείται πάνω στον άξονα των x Δpx Δx≥Εικόνα
Η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ενέργειας μιας κατάστασης ενός συστήματος είναι αντίστροφα ανάλογη με τον χρόνο που το σύστημα παραμένει σ' αυτή την κατάσταση.

ΔΕ Δt ≥Εικόνα

Κυματοσυνάρτηση ψ είναι η συνάρτηση της θέσης και του χρόνου που περιγράφει ένα σωματίδιο - κύμα . Η κυματοσυνάρτηση είναι λύση της εξίσωσης Schrodinger.
Το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης |Ψ(x)|2 για συγκεκριμένο σημείο κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή είναι η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου ανά μονάδα όγκου (πυκνότητα πιθανότητας). Η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο κάπου στο χώρο είναι ίση με τη μονάδα

Σ |Ψ|2dV = 1 (συνθήκη κανονικοποίησης)

Πηγάδι δυναμικού είναι μια περιοχή του χώρου όπου αν βρεθεί ένα σωμάτιο θα έχει μικρότερη δυναμική ενέργεια απ' ότι σε οποιοδήποτε άλλο σημείο του περιβάλλοντος χώρου. Εάν η διαφορά της δυναμικής ενέργειας μεταξύ σημείων εκτός του πηγαδιού και εντός του πηγαδιού είναι U0 και το σωμάτιο έχει κινητική ενέργεια μικρότερη του U0 τότε το σωμάτιο παγιδεύεται στο πηγάδι.
-Το σωμάτιο δεν μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή ενέργειας ή ορμής όταν βρίσκεται μέσα στο πηγάδι.
-Το σωμάτιο δεν μπορεί να ηρεμεί μέσα στην παγίδα του.
-Το σωμάτιο είναι πιθανότερο να βρεθεί σε ορισμένα τμήματα της παγίδας απ' ότι σε άλλα.
-Το σωμάτιο είναι πιθανόν να βρεθεί και εκτός πηγαδιού.
Φαινόμενο σήραγγας είναι το φαινόμενο κατά το οποίο ένα σωμάτιο διαπερνά ένα φράγμα δυναμικού χωρίς να έχει την κλασικά απαιτούμενη ενέργεια γι' αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

 

  1. Μέλαν σώμα    

    7.1 Παρατηρώντας μία νύχτα τον ουρανό με ένα τηλεσκόπιο πώς μπορούμε να ξεχωρίζουμε τα άστρα που έχουν επιφανειακή θερμοκρασία μικρότερη από αυτήν του Ήλιου;

  2. 7.2 Υπάρχουν κβαντισμένες ποσότητες στην κλασική φυσική; Αν ναι, δώστε ένα παράδειγμα.

    7.3 Τα ηλεκτρόνια και τα φωτόνια είναι σωμάτια. Σε τι διαφέρουν μεταξύ τους;

    7.4 Μιλάμε για φωτόνια ερυθρού φωτός ή φωτόνια ιώδους φωτός. Μπορούμε να μιλήσουμε για φωτόνια λευκού φωτός;

    Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο

    7.5 Πώς ερμηνεύεται το γεγονός ότι οι φωτοηλεκτρικές μετρήσεις εξαρτώνται από τη φύση της φωτοηλεκτρικής επιφάνειας;

    7.6 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι ορθές;
    α) Αν αυξήσουμε την ένταση μιας μονοχρωματικής δέσμης που προσπίπτει στην κάθοδο του φωτοκύτταρου αυξάνεται ο αριθμός των ηλεκτρονίων που εκπέμπονται σε ορισμένο χρόνο.
  1. β) Ο αριθμός των εκπεμπόμενων φωτοηλεκτρονίων για ορισμένης έντασης φωτεινή μονοχρωματική δέσμη, εξαρτάται από το μήκος κύματος της δέσμης.γ)
    γ) Τα φωτοηλεκτρόνια βγαίνουν με μεγαλύτερη ταχύτητα όταν η συχνότητα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας μεγαλώνει.
    δ) Για να παρατηρηθεί το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο απαιτείται μονοχρωματική ακτινοβολία

    7.7 Οι επόμενες προτάσεις αφορούν στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο.
    Ποιες από αυτές είναι ορθές;
    α)  Η τάση αποκοπής εξαρτάται από τη συχνότητα της φωτεινής δέσμης και είναι μεγαλύτερη για την κίτρινη ακτινοβολία παρά για την πράσινη (fκ>fπ)
    β) Η αύξηση της έντασης της δέσμης συνεπάγεται αύξηση της συχνότητας κατωφλίου.
    γ) Η συχνότητα κατωφλίου εξαρτάται από το έργο εξαγωγής του μετάλλου και είναι μεγαλύτερη για το κάλιο (φκ = 2,2eV)   από ό,τι για το καίσιο (φcs = 1,4eV) 
    δ) Η τάση αποκοπής εξαρτάται από το έργο εξαγωγής του μετάλλου και είναι μεγαλύτερη για το κάλιο  (φκ = 2,2eV) από ό,τι για το καίσιο (φcs = 1,4eV)  
    ε) Τα φωτοηλεκτρόνια έχουν μεγαλύτερη κινητική ενέργεια όταν η κάθοδος φωτίζεται με κίτρινο φως από ό,τι όταν φωτίζεται με πράσινο φως (fκ>fπ)
    στ) Η τάση αποκοπής εξαρτάται από την ενέργεια των φωτονίων της  φωτεινής δέσμης και ελαττώνεται όταν φωτίζουμε την κάθοδο με φωτόνια μεγαλύτερης ενέργειας.

    Φαινόμενο Compton

    7.8   Συμπληρώστε τα κενά:
    Το μήκος κύματος της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας Χ κατά το φαινόμενο Compton είναι             από αυτό της προσπίπτουσας. Αυτό σημαίνει ότι τα σκεδαζόμενα  είναι …………….ενέργειας από τα προσπίπτοντα. Η διαφορά της ενέργειας των ……………………………ισούται με την ενέργεια του………………………….

    7.9 Δύο δέσμες ακτίνων Χ με μήκη κύματος λ1 και λ2 (με λ12) σκεδάζονται σε ηλεκτρόνια. Για την ίδια γωνία σκέδασης σε ποια από τις δύο περιπτώσεις αντιστοιχεί
    α) μεγαλύτερο κύματος της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας
    β) μεγαλύτερη τιμή της ενέργειας του ανακρουσμένου ηλεκτρονίου.

    7.10 Η διαφορά μεταξύ των μηκών κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας Χ και της σκεδαζόμενης γίνεται μέγιστη όταν η γωνία μεταξύ της σκεδαζόμενης και της προσπίπτουσας δέσμης είναι
    α) 0ο
    β) 45ο
    γ) 90ο
    Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

 

 

  1. Η κυματική φύση της ύλης 

    7.11 Ένα ηλεκτρόνιο, ένα σωμάτιο άλφα και ένα νετρόνιο κινούνται με ταχύτητες αρκετά μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός και έχουν την ίδια κινητική ενέργεια. Σε ποιο από τα σωματίδια αντιστοιχεί το μεγαλύτερο και σε ποιο το μικρότερο μήκος κύματος de Broglie;

    7.12 Στο σχήμα φαίνονται τέσσερις περιπτώσεις ηλεκτρονίων που κινούνται μέσα σε ηλεκτρικό ή μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Σε ποια ή σε ποιες περιπτώσεις το μήκος κύματος de Broglie α) μεγαλώνει; β) μικραίνει; γ) μένει ίδιο;

    7.13 Η υπόθεση de Broglie ότι σε κάθε κινούμενο σώμα αντιστοιχεί ένα κύμα δεν έχει εφαρμογή στα φαινόμενα της καθημερινής ζωής. Αυτό συμβαίνει γιατί το αντίστοιχο μήκος κύματος
    α) είναι πολύ μικρό ή   
    β) είναι πολύ μεγάλο;  

    Αρχή της αβεβαιότητας


    7.14 Η αρχή της αβεβαιότητας δεν αφορά στην καθημερινότητά μας. Πού
    οφείλεται αυτό;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

 

  1. Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο - Ορμή φωτονίων

    7.15 Τα ηλεκτρόνια που βγαίνουν από την επιφάνεια ενός μετάλλου που φωτίζεται με μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος 400nm έχουν κινητική ενέργεια 0,8eV. Με ποια ενέργεια εκπέμπονται φωτοηλεκτρόνια από την ίδια επιφάνεια με ακτινοβολία μήκους κύματος 500nm;
    Δίνονται h = 6,626 x10-34Js, c =3 x 108 m/s
    [Απ: 0,18eV]

    7.16 Φωτεινή ακτινοβολία μήκους κύματος 400 nm προσπίπτει σε μεταλλική επιφάνεια. Αυτή εκπέμπει φωτοηλεκτρόνια που έχουν ταχύτητα 8x 105 m/s  Ποιο είναι το έργο εξαγωγής για το μέταλλο της καθόδου;
    Δίνονται h = 6,626 x10-34Js, c =3 x 108 m/s, mc = 9,1 x10-31kg 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 1,3eV]
  1. 7.17 Το έργο εξαγωγής για ένα μέταλλο είναι 1,8 eV. Ποιο θα είναι το δυναμικό αποκοπής για φως που έχει μήκος κύματος 400 nm; Δίνονται h = 6,626 x10-34Js, c =3 x 108 m/s, mc = 9,1 x10-31kg, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 1,3V]

    7.18 Ποια από τα παρακάτω υλικά δίνουν φωτοηλεκτρόνια όταν φωτίζονται με ορατό φως (400-700 nm); Ταντάλιο (4,2 eV), Βολφράμιο (4,5eV), Βάριο (2,5 eV), Λίθιο (2,3 eV). Στην παρένθεση αναφέρεται το έργο εξαγωγής του αντίστοιχου μετάλλου. Δίνονται h = 6,626 x10-34Js, c =3 x 108 m/s, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: Βάριο και Λίθιο]

    7.19 Το δυναμικό αποκοπής για μια μεταλλική επιφάνεια που φωτίζεται με φως μήκους κύματος 491 nm είναι 0,71 V. Όταν η ίδια επιφάνεια φωτιστεί με φως άλλου μήκους κύματος, το δυναμικό αποκοπής γίνεται 1,43 V. Να υπολογίσετε: α) το έργο εξαγωγής για το μέταλλο αυτό και. β) το νέο μήκος κύματος. Δίνονται h = 6,626 x10-34Js, c =3 x 108 m/s, e = 1,6x10-19J 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 1,82eV, 382nm]

    7.20 Η συχνότητα κατωφλίου για ένα μέταλλο είναι  5,6 x1014 Hz. Να βρεθεί η κινητική ενέργεια με την οποία εγκαταλείπει το μέταλλο ένα φωτοηλεκτρόνιο όταν το μέταλλο φωτίζεται με φως συχνότητας 8,6 x1014 Hz. Δίνονται h = 6,626 x10-34Js, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 1,2eV]

    7.21 Μια λάμπα που έχει ισχύ 200 W, εκπέμπει ομοιόμορφα σε όλες τις διευθύνσεις μονοχρωματικό φως μήκους κύματος 600 nm. Σε απόσταση 10 m από τη λάμπα και ακριβώς πίσω από κυκλικό άνοιγμα ακτίνας 20 mm βρίσκεται αισθητήρας. Πόσα φωτόνια φτάνουν στον αισθητήρα σε χρόνο 0,1 s; Θα υποθέσετε ότι όλη η ενέργεια της λάμπας γίνεται φωτεινή ενέργεια. Δίνονται c =3 x 108 m/s, h = 6,626 x10-34Js
    [Απ: 6,013 x 1013 φωτόνια]

    7.22 Τι μήκος κύματος πρέπει να έχει μια ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία ώστε ένα φωτόνιο της να έχει την ίδια ορμή με ένα ηλεκτρόνιο που κινείται με ταχύτητα 2 x 105 m/s. Δίνονται:c =3 x 108 m/s, h = 6,626 x10-34Js, mc = 9,1 x10-31kg
    [Απ: 3,64nm]

    7.23 Πόσα φωτόνια με μήκος κύματος λ=663 nm πρέπει να προσκρούουν ανά δευτερόλεπτο κάθετα σε μια απόλυτα ανακλαστική επιφάνεια, ώστε να ασκήσουν σ' αυτή δύναμη 1Ν. Δίνεται h = 6,626 x10-34Js
    [Απ: 5 x 1026 φωτόνια]

 

 

  1. 7.24 Επιφάνεια Ni, για το οποίο το έργο εξαγωγής είναι 5 eV, δέχεται υπεριώδη ακτινοβολία μήκους κύματος 200 nm. Ποιο το δυναμικό αποκοπής; Δίνονται: c =3 x 108 m/s, h = 6,626 x10-34Js, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 1,2V]

    7.25 Το έργο εξαγωγής για το νάτριο είναι 2,7 eV. Ποιο είναι το μεγαλύτερο μήκος κύματος; Δίνονται: c =3 x 108 m/s, h = 6,626 x10-34Js, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 460nm]

    7.26 Μια μεταλλική επιφάνεια φωτίζεται με φως μήκους κύματος λ1 = 550nm και εκπέμπει φωτοηλεκτρόνια για τα οποία το δυναμικό αποκοπής είναι V = 0,19V
    Να υπολογίσετε:
    α) το έργο εξαγωγής του μετάλλου.      
    β) το δυναμικό αποκοπής στην περίπτωση που η επιφάνεια φωτίζεται με ακτινοβολία μήκους κύματος 
    γ) τη συχνότητα κατωφλίου για το μέταλλο αυτό.
    Δίνονται: c =3 x 108 m/s, h = 6,626 x10-34Js, e=1,6x10-19J, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 2,07eV, 4,47V, 500x1012 Hz]

    Φαινόμενο Compton

    7.27 Φωτόνια μήκους κύματος 2,4 pm προσπίπτουν σε ελεύθερα ηλεκτρόνια.
    Να βρείτε το μήκος κύματος ενός φωτονίου που σκεδάστηκε
    α) κατά 30o και β) κατά 60o
    Δίνονται: h = 6,626 x10-34Js, c =3 x 108 m/s,mc = 9,1 x10-31kg
    [Απ: 2,7pm, 3,6pm]

    7.28 Φωτόνιο ακτίνων Χ μήκους κύματος  10-11m προσκρούει σε ηλεκτρόνιο μετωπικά και σκεδάζεται κατά 180o. Υπολογίστε πόσο μεταβλήθηκε η ενέργεια του φωτονίου.Δίνονται: h = 6,626 x10-34Js, c =3 x 108 m/s,mc = 9,1 x10-31kg, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: Μειώθηκε κατά 41,4 eV]

    7.29 Μια δέσμη φωτονίων που έχουν ενέργεια 0,2 MeV σκεδάζεται από τα ηλεκτρόνια ενός στόχου από άνθρακα.
    α) Ποιο είναι το μήκος κύματος των φωτονίων της δέσμης πριν τη σκέδαση;
    β) Ποιο είναι το μήκος κύματος των φωτονίων που σκεδάζονται κατά 90oγωνία   σε σχέση με την αρχική τους διεύθυνση;
    γ) Ποια είναι η ενέργεια ενός φωτονίου το οποίο έχει σκεδαστεί κατά 60oγωνία   σε σχέση με την αρχική του διεύθυνση;
    Δίνονται: h = 6,626 x10-34Js, c =3 x 108 m/s, mc = 9,1 x10-31kg, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 6,2x10-12m, 8,6x10-12m, 0,168MeV]
  1. Κυματική φύση της ύλης

    7.30 Να βρείτε το μήκος κύματος de Broglie που αντιστοιχεί
    α) σε ηλεκτρόνιο (mc = 9,1 x10-31kg) που κινείται με ταχύτητα 2x106 m/s.
    β) σε πρωτόνιο (mc = 1,67 x10-27kg) της ίδιας ταχύτητας.
    γ) σε μπαλάκι (m=0,2kg) της ίδιας ταχύτητας.Δίνεται h = 6,626 x10-34Js
    [Απ: 3,6 x10-10 m, 2x10-13 m, 1,65x10-39 m]

    7.31 Ένα ηλεκτρόνιο επιταχύνεται από την ηρεμία με τάση 150 V. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος de Broglie του ηλεκτρονίου. Δίνονται h = 6,626 x10-34Js, e=1,6x10-19J, mc = 9,1 x10-31kg
    [Απ: 10-10 m ]

    7.32
    α)  Ποια είναι η ενέργεια ενός φωτονίου με μήκος κύματος 1 nm;
    β) Ποια είναι η κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου για το οποίο το μήκος κύματος de Broglie είναι lnm; Δίνονται h = 6,626 x10-34Js, mc = 9,1 x10-31kg, c =3 x 108 m/s, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 1242eV, 1,5 eV]

    Αρχή της αβεβαιότητας

    7.33 Αν υποθέσουμε ότι η σταθερά του Planck είχε την τιμή 0,6 J s, ποια θα ήταν η αβεβαιότητα θέσης για μια μπάλα μάζας 0,5 kg που κινείται με ταχύτητα 20 m/s αν η αβεβαιότητα της ορμής της είναι 1%; Θα μπορούσαμε να πιάσουμε εύκολα αυτή τη μπάλα;
    [Απ: Δx≥ 0,96m]

    7.34 Το ηλεκτρόνιο ενός ατόμου του υδρογόνου παραμένει στην κατάσταση n=2 πριν μεταπέσει στην κατάσταση n=1-επί 10-8s. Ποια είναι η αβεβαιότητα στην ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου; Δίνεται h = 6,626 x10-34Js, 1eV=1,6x10-19J
    [Απ: 0,66x10-7eV]

    7.35 Ένα σωματίδιο κινείται σε ευθεία, με ταχύτητα πολύ μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός. Αν η αβεβαιότητα Δχ της θέσης του είναι ίση με το μήκος κύματος που έχει κατά de Broglie, δείξτε ότι η αβεβαιότητα της ταχύτητας του είναι  Δυx = aaaυx.

 

Εικόνα

ΤΟ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΟ ΣΑΡΩΣΗΣ ΣΗΡΑΓΓΑΣ (SCANNING TUNNELING MICROSCOPE STM)

Η υπόθεση της ύπαρξης των ατόμων υφίσταται χιλιάδες χρόνια. Ξεκινάει τουλάχιστον από το Δημόκριτο. Μέχρι πρόσφατα τα άτομα παρέμεναν υποθετικά και όχι παρατηρήσιμα.

Το 1982 οι Ελβετοί φυσικοί Gerd Binnig και Heinrich Rohrer ανέπτυξαν το μικροσκόπιο σάρωσης σήραγγας (STM) που μας έδωσε τη δυνατότητα να «δούμε» άτομα. Για την ανακάλυψή τους τιμήθηκαν με το βραβείο Νόμπελ μόλις τέσσερα χρόνια μετά.

Η λειτουργία του STM στηρίζεται στο κβαντομηχανικό φαινόμενο της σήραγγας. Εδώ θα ξεκινήσουμε χρησιμοποιώντας ένα κοντινό ανάλογο, το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης (παράγραφος 2-10) για να καταλάβουμε την αρχή λειτουργίας του STM.

Μία μονοχρωματική δέσμη φωτός που διαδίδεται μέσα σε ένα γυάλινο πλακίδιο και προσπίπτει σε μια έδρα του με γωνία μεγαλύτερη από την κρίσιμη   ανακλάται κατά εκατό τοις εκατό. Το φαινόμενο λέγεται ολική εσωτερική ανάκλαση. Στην πραγματικότητα το κύμα του φωτός δε σταματάει ακαριαία πάνω στην ανακλαστική επιφάνεια. Για πολύ μικρό διάστημα, ένα τμήμα της δέσμης, συνεχίζει την πορεία του και έξω από το γυάλινο πλακίδιο. Αυτό μπορούμε να το δείξουμε πλησιάζοντας ένα δεύτερο γυάλινο πλακίδιο κοντά στο πρώτο. Το φωτεινό κύμα που πέρασε έξω από το πρώτο γυάλινο πλακίδιο και εξασθενεί ταχύτατα παραλαμβάνεται από το δεύτερο πλακίδιο και διαδίδεται μέσα σ' αυτό. Η ένταση του μεταδιδόμενου κύματος στο δεύτερο πλακίδιο εξαρτάται από το πόσο κοντά φέραμε τα δύο πλακίδια μεταξύ τους (σχ. 7.21).

Σχ 7.21

                                                                     Σχ 7.21

Μια από τις σημαντικότερες ανακαλύψεις του εικοστού αιώνα είναι ότι τα σωματίδια συμπεριφέρονται ως κύματα. Όπως το φως μπορεί να διαπεράσει την «απαγορευμένη περιοχή» ανάμεσα στα πλακίδια έτσι και τα σωματίδια μπορούν να διαπεράσουν με το φαινόμενο σήραγγας περιοχές που σύμφωνα με την κλασική θεωρία είναι απαγορευμένες. Ένα απλό παράδειγμα του φαινομένου σήραγγας έχουμε στην περίπτωση δύο μετάλλων που βρίσκονται πολύ κοντά το ένα στο άλλο χωρίς όμως να έρχονται σε επαφή. Μια διαφορά δυναμικού εφαρμόζεται ανάμεσα στα δύο μέταλλα (σχ.7.22β). Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του κομματιού στα αριστερά δεν έχουν αρκετή ενέργεια για να περάσουν στο κομμάτι στα δεξιά. Εντούτοις, όπως τα φωτεινά κύματα, τα κύματα που είναι συνδεδεμένα με τα ηλεκτρόνια δε σταματούν ακαριαία στα όρια της επιφάνειας του μετάλλου αλλά εκτείνονται και έξω από αυτό εξασθενώντας πολύ γρήγορα. Εάν το κενό ανάμεσα στα δύο κομμάτια μετάλλου είναι

πολύ μικρό, το ηλεκτρόνιο - κύμα μπαίνει στο δεύτερο κομμάτι πριν εξασθενήσει ολοκληρωτικά και διαδίδεται μέσα σ' αυτό. Ένα ρεύμα ρέει ανάμεσα στα δύο μεταλλικά ηλεκτρόδια. Το ρεύμα αυτό αυξάνεται εκθετικά καθώς τα δύο τμήματα μετάλλου πλησιάζουν μεταξύ τους.

Σχ. 7.22 (α) Τα ηλεκτρόνια στο εσωτερικό ενός μετάλλου είναι «φυλακισμένα» μέσα σ' αυτό γιατί βρίσκονται μέσα σ' ένα πηγάδι δυναμικού παραγόμενο από την έλξη των θετικών πυρήνων. Οι ενέργειες των ηλεκτρονίων αντιστοιχούν στη σκιασμένη περιοχή. Είναι φανερό ότι τα ηλεκτρόνια δεν έχουν αρκετή ενέργεια για να «δραπετεύσουν από το μέταλλο». (β) Εφαρμόζοντας μια διαφορά δυναμικού ανάμεσα σε δύο γειτονικά μεταλλικά τμήματα ψηλώνουμε τα τοιχώματα δυναμικής ενέργειας του ενός πηγαδιού σε σχέση με το άλλο κατά eV. Σύμφωνα με την κλασική θεωρία ένα φράγμα δυναμικού εξακολουθεί να εμποδίζει τα ηλεκτρόνια να περάσουν από το ένα τμήμα στο άλλο. Η κβαντομηχανική προβλέπει ότι κάποια ηλεκτρόνια μπορούν να διαπεράσουν το φράγμα.

Σχ. 7.22 (α) Τα ηλεκτρόνια στο εσωτερικό ενός μετάλλου είναι «φυλακισμένα» μέσα σ' αυτό γιατί βρίσκονται μέσα σ' ένα πηγάδι δυναμικού παραγόμενο από την έλξη των θετικών πυρήνων. Οι ενέργειες των ηλεκτρονίων αντιστοιχούν στη σκιασμένη περιοχή. Είναι φανερό ότι τα ηλεκτρόνια δεν έχουν αρκετή ενέργεια για να «δραπετεύσουν από το μέταλλο». (β) Εφαρμόζοντας μια διαφορά δυναμικού ανάμεσα σε δύο γειτονικά μεταλλικά τμήματα ψηλώνουμε τα τοιχώματα δυναμικής ενέργειας του ενός πηγαδιού σε σχέση με το άλλο κατά eV. Σύμφωνα με την κλασική θεωρία ένα φράγμα δυναμικού εξακολουθεί να εμποδίζει τα ηλεκτρόνια να περάσουν από το ένα τμήμα στο άλλο. Η κβαντομηχανική προβλέπει ότι κάποια ηλεκτρόνια μπορούν να διαπεράσουν το φράγμα.

Οι Binnig και Rohrer πέτυχαν να κατασκευάσουν ένα μικροσκόπιο εκμεταλλευόμενοι το φαινόμενο σήραγγας. Το εγχείρημα παρουσίασε μεγάλες δυσκολίες. Η τελική επιτυχία αποτελεί απόδειξη της ιδιοφυΐας των ερευνητών.

Η κεντρική ιδέα τους ήταν να μιμηθούν κάποιον που προσπαθεί να προσδιορίσει την υφή μιας ανώμαλης επιφάνειας μέσα σε ένα σκοτεινό δωμάτιο σαρώνοντας σχολαστικά την επιφάνεια με τα δάκτυλά του πολλές φορές.

Υποθέστε ότι αντί για ένα δάκτυλο χρησιμοποιούμε μια πολύ αιχμηρή ακίδα την οποία πλησιάζουμε σ' ένα αγώγιμο δείγμα χωρίς να την φέρνουμε ποτέ σε επαφή με αυτό. Εφαρμόζοντας μια διαφορά δυναμικού, από λίγα

 

 

millivolts έως λίγα volts, ανάμεσα στην ακίδα και το δείγμα προκαλούμε ένα ρεύμα σήραγγας της τάξεως των 10-9 Α(nΑ).  Εάν η ακίδα κινείται παράλληλα στην επιφάνεια του δείγματος, το ρεύμα μεγαλώνει ή μικραίνει ανάλογα με το αν το δείγμα παρουσιάζει «λόφους» και «κοιλάδες» στην επιφάνειά του. Για να διατηρηθεί το ρεύμα σταθερό πρέπει η απόσταση ακίδας -δείγματος να διατηρείται σταθερή. Πρέπει δηλαδή η ακίδα να κινείται συνεχώς πλησιάζοντας ή απομακρυνόμενη από το δείγμα. Παρακολουθώντας την κίνηση της ακίδας έχουμε μια εικόνα των ανωμαλιών που παρουσιάζει η επιφάνεια του δείγματος σε κάθε θέση.
.Σχ 7.23

                                                                     Σχ 7.23

Με πολλαπλές σαρώσεις της επιφάνειας του δείγματος και με εξομοιώσεις που πετυχαίνουμε με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών καταλήγουμε σε απεικονίσεις αγώγιμων επιφανειών σε ατομική κλίμακα, όπως στις εικόνες 7.9 και 7.10.

aaa

Γεννιέται το ερώτημα πώς είναι δυνατόν η ακίδα να κινείται μπρος - πίσω με την απαιτούμενη ακρίβεια κατά τη σάρωση της επιφάνειας; Σίγουρα αυτό δεν θα μπορούσε να γίνει με μηχανικό τρόπο, με βίδες και γρανάζια. Οι Binnig και Rohrer χρησιμοποίησαν πιεζοηλεκτρικούς κρυστάλλους για να στερεώσουν την ακίδα τους και να ελέγξουν την κίνηση της στο επίπεδο xy (σάρωση) και στον άξονα z (πλησίασμα - απομάκρυνση).

Οι πιεζοηλεκτρικοί κρύσταλλοι αναπτύσσουν στα άκρα τους μια διαφορά δυναμικού όταν συμπιέζονται και, αντίστροφα, συμπιέζονται ή εκτείνονται όταν μια διαφορά δυναμικού εφαρμόζεται σ' αυτούς.

Εάν εφαρμοστεί η κατάλληλη διαφορά δυναμικού στους x και y κρυστάλλους μπορούμε να εξασφαλίσουμε την κίνηση σάρωσης της ακίδας με ταχύτητες της τάξης των 10 nm/s.

Καθώς η σάρωση προχωράει, ένα κύκλωμα «νιώθει» κάθε αλλαγή στο ρεύμα σήραγγας και παράγει την κατάλληλη τάση, που εφαρμόζεται στον κρύσταλλο z μετακινώντας την ακίδα μέχρι να αποκατασταθεί η σταθερότητα του ρεύματος σήραγγας.

Από την αρχή λειτουργίας του το STM, δε μπορεί να απεικονίσει επιφάνειες μη αγώγιμων υλικών. Για τέτοιου είδους απεικονίσεις χρησιμοποιείται το SFM (Scanning Force Microscope), το οποίο στηρίζεται στην ανίχνευση των απωστικών δυνάμεων που αναπτύσσονται ανάμεσα στα άτομα όταν αυτά πλησιάσουν πολύ μεταξύ τους.

Σχ 7.24

                           Σχ 7.24