3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

● Στην παράγραφο 4.4 είδαμε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και f(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ [α,β] τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x = α , x = β και τον άξονα x'x (Σχ. 16) είναι

Για παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f(x) = √x τον άξονα x'x και τις ευθείες x = 0, x = 1 (Σχ. 17) είναι ίσο με

● Έστω, τώρα, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α,β] με f(x) ≥ g(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ [α,β] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g και τις ευθείες x = α και x = β (Σχ. 18α).

Παρατηρούμε ότι

Επομένως,

Για παράδειγμα, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = − x + 2 και g(x) = x2 (Σχ. 19) είναι ίσο με :

● Ο τύπος (1) βρέθηκε με την προϋπόθεση ότι :

(i) f(x) ≥ g(x) για κάθε x ϵ [α,β] και

(ii) οι f, g είναι μη αρνητικές στο [α,β].

Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι ο τύπος (1) ισχύει και χωρίς την υπόθεση (ii). Πράγματι, επειδή οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχείς στο [α,β] , θα υπάρχει αριθμός c ϵ R τέτοιος ώστε f(x) + c ≥ g(x) + c ≥ 0, για κάθε x ϵ [α,β]. Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω (Σχ. 20α) έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Ωʹ (Σχ. 20β).

Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (1), έχουμε :

Άρα,

● Με τη βοήθεια του προηγούμενου τύπου μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα x'x, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, με g(x) ≤ 0 για κάθε x ϵ [α,β] και τις ευθείες x = α και x = β (Σχ. 21). Πράγματι, επειδή ο άξονας x'x είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 0, έχουμε

Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g(x) ≤ 0 για κάθε x ϵ [α,β] , τότε

έχουμε τον ακόλουθο πίνακα :

Λαμβάνοντας, τώρα, υπόψη τον παραπάνω πίνακα, έχουμε

ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τα παραπάνω το είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x'x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x'x (Σχ. 25)

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = ημx , g(x) = συνx και τις ευθείες x = 0 και x = 2π.

ΛΥΣΗ

Αρχικά βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της διαφοράς f(x)−g(x) στο διάστημα [0,2π], Στο διάστημα αυτό έχουμε

Επομένως, για το πρόσημο της διαφοράς f(x)−g(x) = ημx−συνx έχουμε τον ακόλουθο πίνακα :

Λαμβάνοντας, τώρα, υπόψη τον πίνακα αυτόν, έχουμε

2. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f(x) = lnx, τον άξονα των x και την εφαπτομένη της C_f στο σημείο A(e,1).

ΛΥΣΗ

Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(e,1) είναι

Το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου μείον το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C_f τον άξονα x'x και τις ευθείες x = 1 και x = e, δηλαδή

3. Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε του κυκλικού δίσκου x² + y² = ρ².

ΛΥΣΗ

Το ημικύκλιο C1 είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης
αφού για y > 0 είναι
Αν Ε1 είναι το εμβαδόν του ημικυκλίου, τότε Ε = 2Ε1. Επειδή f(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ [−ρ,ρ] , έχουμε

(1)

Άρα Ε = 2Ε₁ = πρ².

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το εμβαδόν της έλλειψης είναι ίσο με παβ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x² − 2x + 3 τις ευθείες x = 0 , x = 2 και του άξονα των x.

2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των x και τις ευθείες που δίνονται κάθε φορά :

3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x² − 3x και τον άξονα των x.

4. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x³ και g(x) = 2x − x².

5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 4 − x² και την ευθεία x − y − 2 = 0.

1. Έστω η συνάρτηση f(x) = 3x²

i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f στο σημείο της A(1,3).

ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη της στο Α και τον άξονα των x.

2. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , τις ευθείες x = −1, x = 2 και τον άξονα των x.

3. Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και τον άξονα των x .

4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

5. i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν, Ε(λ), του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων , g(x) = lnx , τον άξονα των x και την ευθεία x = λ , λ > e .

ii) Να βρείτε το όριο .

6. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος.

7. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος.

8. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ημx i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf στα σημεία 0(0,0) και Α(π, 0). ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις εφαπτόμενες στα σημεία 0 και Α.

9. i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = √x την εφαπτόμενή της στο σημείο (1,1) και τον άξονα των x.

ii) Να βρείτε την ευθεία x = α, η οποία χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο ισεμβαδικά χωρία.


10. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και την ευθεία y = ln2 .

11. i) Να βρείτε συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(0,2) και η κλίση της στο σημείο Μ (x,f(x)) είναι 2x−3.

ii) Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζουν η C_f και ο άξονας των x.


12. Έστω η συνάρτηση f(x) = (x−1)(x−3).

i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f στα σημεία Α, Β που η C_f τέμνει τον άξονα των x.

ii) Αν Γ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων, να αποδείξετε ότι η C_f χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρία που ο λόγος των εμβαδών τους είναι 2/1 .