B3.3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Γενικά

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι, όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση θέσης y = S(t) ενός κινητού, μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού. Πολλές φορές, όμως, είναι γνωστή η ταχύτητα υ = υ(t) ή η επιτάχυνση α = α(t) του κινητού και ζητείται η θέση του. Για παράδειγμα:

— Αν ένα κινητό κινείται ευθυγράμμως με σταθερή ταχύτητα c, για να προσδιορίσουμε τη θέση του y = S(t), αρκεί να λύσουμε ως προς y την εξίσωση

yʹ = c.

(1)

— Αν σε ένα σώμα μάζας m ασκείται δύναμη F = F(t), τότε το σώμα κινείται με επιτάχυνση α = α(t) η οποία, σύμφωνα με το 2ο νόμο της μηχανικής, δίνεται από τον τύπο F = mα ή, ισοδύναμα, F = myʹʹ, όπου y = S(t) η συνάρτηση θέσης του σώματος. Επομένως, για να προσδιορίσουμε τη θέση y = S(t) του σώματος, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση

m·yʹʹ = F

(2)

Εξισώσεις όπως οι (1) και (2) λέγονται διαφορικές εξισώσεις. Γενικά,

ΟΡΙΣΜΟΣ

Διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή x, μια άγνωστη συνάρτηση y = f(x) και κάποιες από τις παραγώγους της yʹ,yʹʹ,....

Για παράδειγμα, οι εξισώσεις

yʹ = 2x ,

yʹ = 2y ,

yʹʹ + y = 0

είναι διαφορικές εξισώσεις.

Η μεγαλύτερη από τις τάξεις των παραγώγων που εμφανίζονται στην εξίσωση ονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης. Έτσι οι εξισώσεις yʹ = 2x και yʹ = 2y είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, ενώ η yʹʹ + y = 0 είναι δευτέρας τάξεως.

Κάθε συνάρτηση y = f(x) που επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση λέγεται λύση της εξίσωσης.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = x² είναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης yʹ = 2x, αφού yʹ = (x²)ʹ = 2x.

Το σύνολο όλων των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται γενική λύση της εξίσωσης.

Για παράδειγμα, η γενική λύση της εξίσωσης yʹ = 2x είναι η y = x² + c, c ϵ R.

Συχνά ζητάμε εκείνη τη λύση y = f(x) της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί μια αρχική συνθήκη y₀= f(x₀). Για να βρούμε τη λύση αυτή, βρίσκουμε πρώτα τη γενική λύση της εξίσωσης και με τη βοήθεια της αρχικής συνθήκης προσδιορίζουμε τη ζητούμενη λύση.

Για παράδειγμα, η λύση y = f(x) της διαφορικής εξίσωσης yʹ = 2x, που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη f(1) = 2, είναι η συνάρτηση y = x² + 1, αφού από τη γενική λύση y = x²+ c , για x = 1 και y = 2 είναι c = 1.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με δυο ειδικές μορφές διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως:

● Τις εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές και

● Τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως.

Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές

Έχει αποδειχτεί πειραματικά, ότι ο ρυθμός μεταβολής, ως προς το χρόνο, του πληθυσμού y = P(t) μιας κοινωνίας, η οποία δεν επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, είναι ανάλογος του πληθυσμού. Δηλαδή, ισχύει

Pʹ(t) = αP(t),

όπου α θετική σταθερά.

Αν ο αρχικός πληθυσμός της κοινωνίας είναι Ρ₀ , δηλαδή Ρ(0) = Ρ₀ , για να βρούμε τον πληθυσμό Ρ(t) ύστερα από χρόνο t, θα λύσουμε την παραπάνω διαφορική εξίσωση.

Επειδή y = P(t) > 0, η εξίσωση γράφεται

οπότε ολοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της, έχουμε διαδοχικά :

Επειδή Ρ(0) = Ρ₀ , είναι c = Ρ₀ , οπότε

P(t) = P₀e^αt.

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση λέγεται διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές. Γενικά,

ΟΡΙΣΜΟΣ

Διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής
α(y)·yʹ = β(x)	(1) ,
όπου y = f(x) η άγνωστη συνάρτηση, α(y) συνάρτηση του y και β(x) συνάρτηση του x.

Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη της ως προς x. Έχουμε

Επειδή y = f(x), είναι dy = f ʹ(x)dx = yʹdx, οπότε έχουμε

(2)

Αν A(y) είναι μια παράγουσα α(y) και B(x) μια παράγουσα της β(x) , τότε η (2) γράφεται

A(y) = B(x) + c , c ϵ R

(3)

Από την τελευταία εξίσωση προσδιορίζουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

ΣΧΟΛΙΟ

Η ισότητα (2) μας επιτρέπει να γράφουμε τη διαφορική εξίσωση (1) στην "άτυπη" μορφή της

α(y)dy = β(x)dx

και να ολοκληρώνουμε τα μέλη της, το μεν πρώτο μέλος της ως προς y, το δε δεύτερο μέλος της ως προς x.

ΕΦΑΡΜΟΓH

Nα λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις

Εικόνα

ΛΥΣΗ

i) Σε καθένα από τα διαστήματα (−∞, 0) και (0, +∞) η εξίσωση γράφεται :

Άρα, σε καθένα από τα διαστήματα (−∞, 0) και (0, +∞) είναι y = cx², όπου c > 0.

ii) Η εξίσωση γράφεται

iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως

Από τη Φυσική γνωρίζουμε ότι στο διπλανό κύκλωμα ισχύει ο κανόνας του Kicrhhoff. Δηλαδή,
	(1)
Για να προσδιορίσουμε την ένταση, I(t), του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, είναι ανάγκη να λύσουμε τη διαφορική εξίσωση (1). Η εξίσωση αυτή λέγεται γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως. Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής

y' + α(x)y = β(x) ,

όπου y = f(x) είναι η άγνωστη συνάρτηση και α(x), β(x) συναρτήσεις του x.

Για την επίλυση της εξίσωσης αυτής :

— Αναζητούμε μια παράγουσα Α(x) της συνάρτησης α(x) και έπειτα

— Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e^Α(x) .

Έτσι, έχουμε διαδοχικά

όπου Β(x) μια παράγουσα της β(x)e^Α(x) .

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

1. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση

yʹ + 2y = 2 .

ΛΥΣΗ

Επειδή μια παράγουσα της α(x) = 2 είναι η Α(x) = 2x, πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης με e^2x . Έτσι, έχουμε διαδοχικά

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Nα λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις :

Εικόνα

2. Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις :

Εικόνα

3. Nα βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης yʹ = 2x²y², y<0, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0, −3).

4. Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης yʹ = 2 − 3y που ικανοποιεί τη συνθήκη y(0) = 2/3 .

5. Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις :

Εικόνα

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος I σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα ικανοποιεί την εξίσωση . Αν I(0) = 0, να βρείτε την ένταση I(t).

2. Να βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης , η οποία διέρχεται από το σημείο Α(2,2).

3. Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση Εικόνα , x > 0 .

4. Η κλίση της εφαπτομένης μιας γραμμής (C) με εξίσωση y = y(x), y>0 στο σημείο M(x,y) είναι ίση με xy. Να βρείτε την εξίσωση της (C), αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από το σημείο Α(0,1).

5. Έστω α, β, λ ϵ R σταθερές, με α > λ > 0.

i) Να λύσετε την εξίσωση yʹ + αy = βe^−λt .

ii) Αν y = y(t) είναι μια λύση της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ισχύει .

6. Έχει αποδειχτεί πειραματικά ότι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας θ ενός σώματος, όταν αυτό βρεθεί σε περιβάλλον σταθερής θερμοκρασίας Τ με θ > Τ , είναι

Να βρείτε τη θερμοκρασία θ(t), αν θ(0) = θ₀.

7. Ο πληθυσμός Ρ = P(t) μιας χώρας μεταναστεύει με σταθερό ρυθμό m > 0. Δίνεται ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού Ρ, αν δεν υπήρχε η μετανάστευση, θα ήταν ανάλογος του Ρ.

i) Να δικαιολογήσετε ότι ο πληθυσμός Ρ ικανοποιεί την εξίσωση Pʹ = kP − m, k > 0 σταθερά.

ii) Να βρείτε τη συνάρτηση Ρ = P(t) , αν Ρ(0) = P₀

iii) Να αποδείξετε ότι :

— Αν m < kP₀ , τότε ο πληθυσμός αυξάνεται.

— Αν m > kP₀ , τότε ο πληθυσμός μειώνεται.

— Αν m = kP₀ , τότε ο πληθυσμός παραμένει σταθερός.

8. Έστω y = y(t) το ύψος και V = V(t) ο όγκος του νερού μιας δεξαμενής τη χρονική στιγμή t. Η δεξαμενή αδειάζει από μια κυκλική οπή εμβαδού α που βρίσκεται στον πυθμένα της. Σύμφωνα με το νόμο του Torricelli ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού είναι

i) Αν η δεξαμενή είναι κυλινδρική με ύψος 3,6m, ακτίνα 1m και η ακτίνα της οπής είναι 0,1m, να αποδείξετε ότι το y ικανοποιεί την εξίσωση

ii) Να βρείτε το ύψος y(t), αν είναι γνωστό ότι τη χρονική στιγμή t = 0 η δεξαμενή ήταν γεμάτη.
iii) Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αδειάσει τελείως η δεξαμενή; (Δίνεται ότι ο όγκος του κυλίνδρου είναι V = πr²υ).

9. Ένας βηματοδότης αποτελείται από μια μπαταρία και έναν πυκνωτή, ενώ η καρδιά παίζει το ρόλο της αντίστασης, όπως φαίνεται στο σχήμα. ΄Οταν ο διακόπτης S βρίσκεται στη θέση Ρ, ο πυκνωτής φορτίζεται ενώ, όταν βρίσκεται στη θέση Q, ο πυκνωτής εκφορτίζεται και προκαλεί ηλεκτρικό ερέθισμα στην καρδιά. Κατά τη διάρκεια αυτή στην καρδιά εφαρμόζεται ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε που ικανοποιεί την εξίσωση

όπου R, C σταθερές.

Να βρείτε την E(t), αν E(t₁) = E₀.

10. Σύμφωνα με τον κανόνα του Kirchhoff για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος ισχύει

i) Αν R = 12Ω, L = 4H, Ε = 60V,

α) να βρείτε την ένταση I(t) του ρεύματος, t sec μετά το κλείσιμο του κυκλώματος.

β) να βρείτε το . Τί συμπεραίνετε;

ii) Αν στο κύκλωμα αντί για μπαταρία που δίνει σταθερή ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε χρησιμοποιήσουμε μια γεννήτρια που δίνει E(t) = 60ημ3t, να βρείτε την ένταση I(t).