Μαθηματικά (Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης) - Βιβλίο Μαθητή
B2.5: TO ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ B2.7: TOΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤHΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Το Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού θεωρείται μία από τις σπουδαιότερες προτάσεις της ανάλυσης, αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το Θ.Μ.Τ. για να αποδείξουμε τα επόμενα δύο βασικά θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν

   η f είναι συνεχής στο Δ και

    f ʹ(x) = 0 για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,


τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε   x1  x2 ϵ Δ   ισχύει   f(x1) = f(x2) .

Πράγματι

● Αν   x1 = x2 , τότε προφανώς  f(x1) = f(x2).

● Αν  x1 < x2, τότε στο διάστημα [x1,x2] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει  ξ ϵ (x1,x2)  τέτοιο, ώστε

Εικόνα (1)

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ʹ(ξ) = 0, οπότε, λόγω της (1), είναι  f(x1) = f(x2). Αν  x2 < x1, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι  f(x1) = f(x2).

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι  f(x1) = f(x2). ■

ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω δυο συναρτήσεις f, g  ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν

   οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και

    f ʹ(x) = gʹ(x)  για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε  x ϵ Δ  να ισχύει :

f(x) = g(x) + c

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η συνάρτηση f − g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο  x ϵ Δ  ισχύει

  Εικόνα
(f − g)ʹ(x) = f ʹ(x) − gʹ(x) = 0.

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f − g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε  x ϵ Δ  να ισχύει  f(x) − g(x) = c, οπότε f(x) = g(x) + c. ■

ΣΧΟΛΙΟ

Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

Εικόνα

Παρατηρούμε ότι, αν  f ʹ(x) = 0 και για κάθε  x ϵ (−∞,0) ∪ (0,+∞), εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο (−∞,0) ∪ (0,+∞).

ΕΦΑΡΜΟΓH

Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει για κάθε

f ʹ(x) = f(x)   για κάθε  x ϵ R

i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση Εικόνα είναι σταθερή και

ii) Να βρεθεί ο τύπος της f, αν δίνεται επιπλέον ότι  f(0) = 1.

 

ΛΥΣΗ

i) Για κάθε  x ϵ R  έχουμε :

Εικόνα

Επομένως, η φ είναι σταθερή στο R .

ii) Επειδή η φ είναι σταθερή, υπάρχει  c ϵ R  τέτοιο, ώστε  φ(x)= c  για κάθε x ϵ R  ή, ισοδύναμα, Εικόνα για κάθε  x ϵ R. Επομένως

f(x) = ce x   για κάθε  x ϵ R.

Επειδή  f(0) = 1, έχουμε 1 = c , οπότε

f(x) = e x   για κάθε  x ϵ R.

Μονοτονία συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση f(x) = x2. Παρατηρούμε ότι στο διάστημα (−∞,0), στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα, ισχύει f ʹ(x) = 2x < 0, ενώ στο διάστημα (0,+∞), στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει f ʹ(x) = 2x > 0. Βλέπουμε, δηλαδή, ότι υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στο πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης. Συγκεκριμένα ισχύει:   Εικόνα

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.

  Αν  f ʹ(x) > 0  σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

  Αν  f ʹ(x) < 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

● Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f ʹ(x) > 0.

Έστω  x1  x2 ϵ Δ  με x1 < x2. Θα δείξουμε ότι  f(x1) < f(x2). Πράγματι, στο διάστημα [x1,x2] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ ϵ (x1,x2) τέτοιο, ώστε Εικόνα, οπότε έχουμε

 f(x2) − f(x1) = f ʹ(ξ) (x2 x1)

Επειδή  f ʹ(ξ) > 0  και  x2 − x1 > 0, έχουμε f(x2) − f(x1) > 0, οπότε f(x1) < f(x2).

● Στην περίπτωση που είναι  f ʹ(x) < 0  εργαζόμαστε αναλόγως. ■

Για παράδειγμα :

— η συνάρτηση f(x) = √x, είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+∞), αφού είναι συνεχής στο [0,+∞) και ισχύει Εικόνα > 0 για κάθε x ϵ (0,+∞).

  Εικόνα
— η συνάρτηση f(x) = x2 − 2x είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+∞), αφού είναι συνεχής στο [1,+∞) και  f ʹ(x) = 2(x − 1) > 0 για κάθε x ϵ (1,+∞), ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο (−∞,1], αφού είναι συνεχής στο (−∞,1] και f ʹ(x) = 2(x − 1) < 0 για κάθε x ϵ (−∞,1).   Εικόνα

— η συνάρτηση Εικόνα είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (−∞,0), και (0,+∞), αφού Εικόναγια κάθε x ϵ (−∞,0) και για κάθε x ϵ (0,+∞).

  Εικόνα

ΣΧΟΛΙΟ

Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x3 , αν και είναι γνησίως αύξουσα στο R, εντούτοις έχει παράγωγο f(x) = 3x2 η οποία δεν είναι θετική σε όλο το R, αφού f ʹ(0) = 0. Ισχύει όμως f ʹ(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ R.

  Εικόνα

 

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f(x) = 2x3 − 3x2 + 1 είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα.

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f ʹ(x) = 6x2 − 6x = 6x (x − 1).

Το πρόσημο της f ʹ δίνεται στον παρακάτω πίνακα

Εικόνα

Eπομένως, η συνάρτηση f :

— είναι γνησίως αύξουσα στο (−∞,0], αφού είναι συνεχής στο (−∞,0] και ισχύει f ʹ(x) > 0 στο (−∞,0).

— είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1], αφού είναι συνεχής  στο [0,1]  και ισχύει f ʹ(x) < 0 στο  (0,1).

— είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+∞), αφού είναι συνεχής [1,+∞) στο και ισχύει f ʹ(x) > 0 στο (1,+∞).

Το πρόσημο της f ʹ και το είδος μονοτονίας της f στα διαστήματα (−∞,0] , [0,1] και [1,+∞) συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα :

Εικόνα

2. i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση f(x) = x − συνx − 2,  x ϵ [0,π] είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

ii) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση συνx = x − 2 έχει ακριβώς μια λύση στο [0,π].

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Είναι

f ʹ(x) = (x − συνx − 2)ʹ = 1 + ημx > 0   για κάθε  x ϵ [0,π].

Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,π]. Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, σύμφωνα με την παράγραφο 1.8, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f(0), f(π)] = [− 3,π − 1].

ii) Έχουμε :   Εικόνα
Εικόνα
Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα [−3,π − 1], που περιέχει το 0, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ϵ (0,π), τέτοιο ώστε f(x0) = 0.
Επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,π], η x0 είναι μοναδική ρίζα της f(x) = 0 στο διάστημα αυτό. Η ρίζα αυτή, όπως φαίνεται και στο σχήμα 28, είναι η τετμημένη του σημείου τομής της  y = x − 2  και της  y = συνx.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν :

f ʹ(x) = g(x) και gʹ(x) = − f(x) για κάθε  x ϵ R ,

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ(x) = [f(x)] 2 + [g(x)] 2 είναι σταθερή.

2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων :

Εικόνα

3. Oμοίως των συναρτήσεων :

Εικόνα

4. Oμοίως των συναρτήσεων :

Εικόνα

5. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x5 + 5x − 6  και  g(x) = 2√x + x − 3

i) Να αποδείξετε ότι oι f, g είναι γνησίως αύξουσες.

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών τους.

iii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις :

x5 + 5x − 6 = 0  
και
  2√x + x − 3 = 0

έχουν ακριβώς μία ρίζα την x = 1.

6. Να αποδείξετε ότι :

i) H συνάρτηση  f(x) = e x − 1 + ln(x + 1)  είναι γνησίως αύξουσα.

ii) Η εξίσωση  e x = 1 − ln(x + 1)  έχει ακριβώς μία λύση την x = 0.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σ' όλο το R ισχύει

| f(x) − f(y) | ≤ (x − y) 2 για όλα τα  x,y ϵ R

να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

2. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση  f(x) = x 3 − 3x + α  είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [−1,1].

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα [−1,1].

iii) Αν  −2 < α < 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση  x 3 − 3x + α  έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (−1,1).

3. Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη συνάρτηση :

Εικόνα

Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού και στη συνέχεια να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα :

i) Πότε το κινητό έχει ταχύτητα μηδέν;

ii) Πότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά ;

iii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη ;

4. Η τιμή V (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την παραγωγή του, δίνεται από τον τύπο

Εικόνα

Να αποδείξετε ότι το προϊόν συνεχώς υποτιμάται χωρίς, όμως, η τιμή του να μπορεί να γίνει μικρότερη από το μισό της αρχικής τιμής του.

5.Να αποδείξετε ότι :

i) Η συνάρτηση Εικόνα είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της και να βρείτε το σύνολο των τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.

ii) H εξίσωση  x 3 − αx 2 − 9x + α = 0  είναι ισοδύναμη με την f(x) = α  και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α ϵ R.

6. Να βρείτε τις τιμές του  α ϵ R*  για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = αx3 + 3x2 + x + 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R.

7. Να αποδείξετε οτι :

i) H συνάρτηση  f(x) = ημx − xσυνx  είναι γνησίως αύξουσα στο κλειστό διάστημα [0, π/2].

ii) ημx − xσυνx > 0, για κάθε x ϵ [0, π/2].

iii) H συνάρτηση Εικόνα είναι γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό διάστημα (0, π/2).


8. Να αποδείξετε ότι:

i) H συνάρτηση  f(x) = 2ημx + εφx − 3x,  x ϵ [0, π/2]  είναι γνησίως αύξουσα.

ii) 2ημx + εφx ≥ 3x, για κάθε  x ϵ [0, π/2].