Μαθηματικά (Γ΄ Λυκείου Θετικών Σπουδών & Σπουδών Υγείας και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής)- Βιβλίο Μαθητή

2.4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Στην αρχή του κεφαλαίου αυτού, ορίσαμε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0 ως το όριο

Εικόνα

Το όριο αυτό το λέμε και ρυθμό μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t0 . Γενικά,

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη  x , y  συνδέονται με τη σχέση  y = f(x) , όταν  f  είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο  x0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο  x0  την παράγωγο f ʹ(x0) .

Για παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t0 είναι η παράγωγος  υʹ(t0) , της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t0 . Η παράγωγος  υʹ(t0)  λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t0 και συμβολίζεται με α(t0). Είναι δηλαδή

α(t0) =  υʹ(t0) =  Sʹʹ(t0)

Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγος  Κʹ(x0)  παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα x, όταν  x = x0  και λέγεται οριακό κόστος στο  x0. Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο  x0 και οριακό κέρδος στο  x0.

 

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μία λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό. Μία συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή t0 που η ακτίνα r του κυματισμού είναι 50 cm, ο ρυθμός μεταβολής της r είναι 20 cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε που περικλείεται από το κυκλικό κύμα, τη χρονική στιγμή t0.

ΛΥΣΗ

Επειδή Ε = π r2 και η ακτίνα r είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε

Ε(t) = π r2(t).

οπότε

Εʹ(t) = 2π r(t) rʹ(t).

Επομένως, (cm2/sec).

Εικόνα


2. Aν το συνολικό κόστος παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι Κ(x) και η συνολική είσπραξη από την πώλησή τους είναι E(x), τότε  P(x) = E(x) − K(x)  είναι το συνολικό κέρδος και Εικόνα είναι το μέσο κόστος.
i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους και ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης είναι ίσοι.

ii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος.

ΛΥΣΗ

i) Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι

Pʹ(x) = Eʹ(x) − Kʹ(x) .

Επομένως,

Pʹ(x) = 0  ⇔  Eʹ(x) − Kʹ(x) = 0  ⇔  Eʹ(x) = Kʹ(x).

ii) Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι

Εικόνα

Επομένως

Εικόνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Mια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λυώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 − t 2, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας, όταν t = 1sec. (Θυμηθείτε ότι Ε = 4π r2  και Εικόνα).

2. Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό 100cm3/sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή t0, που αυτή είναι ίση με 9cm;

3. To κόστος παραγωγής, Κ(x), και η τιμή πώλησης, Π(x), x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις Εικόνα και Π(x) = 420x αντιστοίχως. Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, P(x) = Π(x) − K(x), είναι θετικός.

4. Δύο πλοία Π1 και Π2 αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι Λ. Το πλοίο Π1 κινείται ανατολικά με ταχύτητα 15km/h και το Π2 βόρεια με ταχύτητα 20km/h.

i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των Π1 και Π2

ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = (Π1Π2) των δυο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε.
  Εικόνα

5. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύληςΕικόνα. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι  xʹ( t) > 0 για κάθε t ≥ 0.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 10cm2/sec, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r = 85cm.

2. Έστω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία  O(0,0),  A(x, 0)  και  B(0, lnx) με x >1. Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 4cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, όταν x = 5cm.

3. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα 3m/s. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του y.   Εικόνα

4. Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση 100m από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα 50m/min. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος 100m   Εικόνα

5. Mία γυναίκα ύψους 1,60m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8m με ταχύτητα 0,8m/s. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της;   Εικόνα
 
 

6. Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της καμπύλης Εικόνα, πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο

                    αʹ(t) = − α(t)

να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη − 3.

  Εικόνα

7. Μία σκάλα μήκους 3m είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλυστράει στο δάπεδο με ρυθμό 0,1m/sec. Τη χρονική στιγμή  t0 , που η κορυφή της σκάλας απέχέι από το δάπεδο 2,5m, να βρείτε:

i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ (Σχήμα).

ii) Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας.

  Εικόνα


8. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση x 2 + y 2 = 1. Καθώς περνάει από το σημείο Εικόνα , η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 3 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α.