2.3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Παράγωγος αθροίσματος

ΘΕΩΡΗΜΑ 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Για  x ≠ x₀, ισχύει :

Επειδή οι συναρτήσεις  f, g  είναι παραγωγίσιμες στο  x₀, έχουμε :

δηλαδή

Αν οι συναρτήσεις  f, g  είναι παραγωγίσιμες σ' ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε  x ϵ Δ  ισχύει :

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή, αν f ₁ ,f ₂ ,.......,f _k , είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε

Για παράδειγμα,

Παράγωγος γινομένου

ΘΕΩΡΗΜΑ 2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Για  x ≠ x₀, ισχύει :

Επειδή οι συναρτήσεις  f, g  είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο  x₀, έχουμε :

δηλαδή

Αν οι συναρτήσεις  f, g  είναι παραγωγίσιμες σ' ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε  x ϵ Δ  ισχύει :

Για παράδειγμα,

Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει :

Για παράδειγμα,

Αν f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ' ένα διάστημα Δ και c ϵ R, επειδή (c)ʹ = 0, σύμφωνα με το θεώρημα (2) έχουμε:

Για παράδειγμα,

Παράγωγος πηλίκου

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν οι συναρτήσεις  f, g  είναι παραγωγίσιμες στο  x0 και  g(x0) ≠ 0, τότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει :

Η απόδειξη παραλείπεται.

Αν οι συναρτήσεις  f, g  είναι παραγωγίσιμες σ' ένα διάστημα Δ και για κάθε  x ϵ Δ ισχύει  g(x) ≠ 0, τότε για κάθε  x ϵ Δ  έχουμε :

Για παράδειγμα,

Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες προτάσεις μπορούμε τώρα να βρούμε τις παραγώγους μερικών ακόμη βασικών συναρτήσεων.

● Έστω η συνάρτηση f(x) = x^− ν , ν ϵ N^*. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R^* και ισχύει
f ʹ(x) = −νx ^−ν−1, δηλαδή

Πράγματι, για κάθε  x ϵ R^*  έχουμε :

Για παράδειγμα,

Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι ( x^ν )ʹ = νx ^ν−1,  για κάθε φυσικό  ν > 1. Επομένως, αν κ ϵ Ζ-{0,1}, τότε

● Έστω η συνάρτηση f(x) = εφx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R₁ = R − {x | συνx = 0} και ισχύει , δηλαδή

Πράγματι, για κάθε  x ϵ R₁ έχουμε :

● Έστω η συνάρτηση f(x) = σφx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R₂ = R − {x | ημx = 0} και ισχύει , δηλαδή

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης   .

ΛΥΣΗ

Έχουμε :

2. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων    και g(x) = x² − x + 1 έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο A(0,1) και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης αυτής.

ΛΥΣΗ

Αρκεί να δείξουμε ότι f ʹ(0) = gʹ(0). Έχουμε :

και

οπότε

Άρα

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(0,1) είναι :

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

Έστω ότι ζητάμε την παράγωγο της συνάρτησης y = ημ2x, η οποία είναι σύνθεση της  g(x) = 2x  και της f(x) = ημx. Επειδή ημ2x = 2ημx • συνx, έχουμε

Παρατηρούμε ότι η παράγωγος της  y = ημ2x  δεν είναι η συνάρτηση  y = συν2x , όπως ίσως θα περίμενε κανείς από τον τύπο  (ημx)ʹ = συνx.  Αυτό εξηγείται με το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ

Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(Δ), τότε η συνάρτηση  fog  είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Δηλαδή, αν u = g(x), τότε

Με το συμβολισμό του Leibniz, αν   y = f(u)  και  u = g(x),  έχουμε τον τύπο

που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Το σύμβολο δεν είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συμπεριφέρεται ως πηλίκο, πράγμα που διευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα.

Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι τα εξής :

● Η συνάρτηση f(x) = x ^α , α ϵ R - Z, είναι παραγωγίσιμη στο (0, +∞) και ισχύει f ʹ(x) = αx ^α−1, δηλαδή

Πράγματι, αν y = x ^α = e ^αlnx  και θέσουμε u = αlnx, τότε έχουμε y = e ^u. Επομένως,

● Η συνάρτηση f(x) = α ^x , α > 0, είναι παραγωγίσιμη στο  R  και ισχύει f ʹ(x) = α^x lnα , δηλαδή

(1) Αποδεικνύεται ότι, για α > 1 η f είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο x₀ = 0 και η παράγωγός της είναι ίση με 0, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο.

Πράγματι, αν y = α ^x = e ^xlnα  και θέσουμε  u = xlnα, τότε έχουμε y = e ^u. Επομένως ,

● Η συνάρτηση f(x) = ln |x|,  x ϵ R^*, είναι παραγωγίσιμη στο R^* και ισχύει

Πράγματι.

— αν  x > 0, τότε ενώ

— αν  x < 0, τότε  ln |x| = ln (−x), οπότε, αν θέσουμε  y = ln(−x)  και  u = −x , έχουμε y = lnu. Επομένως,

και άρα .

Ανακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση u = f(x) είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε :

ΕΦΑΡΜΟΓEΣ

1. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων

ΛΥΣΗ

i) Αν θέσουμε u = 3x² + 5, τότε η συνάρτηση  y = f(x)  γράφεται

οπότε έχουμε

Ομοίως, έχουμε

2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου C : x 2 + y 2 = ρ 2 στο σημείο του M1 (x1 , y1).

ΛΥΣΗ

Αν λύσουμε την εξίσωση του κύκλου ως προς y, βρίσκουμε ότι

Επομένως, ο κύκλος C αποτελείται από τα σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

οι οποίες είναι ορισμένες στο κλειστό διάστημα [−ρ, ρ] και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα (−ρ, ρ). Αν, τώρα, με y = f(x) συμβολίσουμε εκείνη από τις παραπάνω συναρτήσεις στην οποία ανήκει το M₁(x₁,y₁), τότε θα ισχύει

Έτσι, με παραγώγιση και των δύο μελών της (2), έχουμε

οπότε, για x = x₁ , θα ισχύει

Έτσι, λόγω της (1) θα έχουμε

οπότε, για y₁ ≠ 0, θα είναι

Άρα, η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση :

η οποία γράφεται διαδοχικά :

αφού x ² + y ² = ρ ².

Αν y₁ = 0, που συμβαίνει όταν το σημείο M₁(x₁,y₁) είναι το A(ρ, 0) ή το Aʹ(−ρ, 0), τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι οι εφαπτόμενες της C_f στα σημεία αυτά είναι οι κατακόρυφες ευθείες

αντιστοίχως. Και οι δυο αυτές εξισώσεις δίνονται από τον παραπάνω τύπο (3) για (x₁,y₁) = (ρ, 0) και (x₁,y₁) = (−ρ, 0) αντιστοίχως.

Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης οποιασδήποτε άλλης κωνικής τομής.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

2. Ομοίως των συναρτήσεων :

3. Ομοίως των συναρτήσεων :

4. βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων :

5. Nα βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των x, όταν

6. Aν να βρείτε τις συναρτήσεις f ʹ, gʹ. Ισχύει f ʹ = gʹ;

7. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = x²  και  στο κοινό σημείο τους A(1,1) , είναι κάθετες.

8. Δίνεται η συνάρτηση ,  α ϵ R^*. Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η κλίση της C_f στο σημείο της Α(0,1) είναι ίση με 1/2.

9. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = x³ − 3x + 5, στα οποία η εφαπτομένη είναι :

i) παράλληλη προς την ευθεία y = 9x + 1

ii) κάθετη προς την ευθεία y = −x.

10. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f(x) = x²  η οποία άγεται από το σημείο Α(0, −1).

11. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx²  + βx + γ,  α, β, γ ϵ R. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ϵ R  για τις οποίες η C_f , διέρχεται από το σημείο Α(1, 2) και εφάπτεται της ευθείας y = x στην αρχή των αξόνων.

12. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων :

13. Nα βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x₀ όταν :

14. Nα βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων :

15. Aν f(x) = ημ²x, να αποδείξετε ότι f ʹʹ(x) + 4f(x) = 2.

1. Nα αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο οι εφαπτομένες τους είναι κάθετες.

2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = 3x − 2 έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x³ δύο κοινά σημεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σημεία αυτά.

3. Δίνονται οι συναρτήσεις Να βρείτε τα α, β ϵ R για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη x₀ = 1.

4. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = e ^x  και  g(x) = − x² − x. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C_f στο σημείο A(0,1) εφάπτεται και στην C_g.

5. Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε f(0) = 4,

f ʹ(−1) = 2,     f ʹʹ(2) = 4   και  f  ⁽³⁾ (1) = 6

6. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο f δεύτερου βαθμού του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών y = x + 1 και y = 3x − 1 στα σημεία  A(0,1)  και  B(1,2) αντιστοίχως.

7. Αν μία συνάρτηση f : R → R είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x₀ = α, να αποδείξετε ότι

8. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των x.

9. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f στο Ο(0,0) σε καθεμια περίπτωση χωριστά.

10. Έστω f μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει f ʹ(1) = 1 και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα g(x) = f(x² + x + 1) − 1,  x ϵ R. Να αποδείξετε οτι η εφαπτομένη της  C_f  στο A(1, f(1)) εφάπτεται της  C_g  στο  B(0, g(0)).

11. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει

i) Να βρείτε την f ʹ(0)

ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C_f στο σημείο  A(0, f(0))  σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.