1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Oρισμός της συνέχειας

Έστω οι συναρτήσεις f, g, h των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα παρακάτω σχήματα.

Παρατηρούμε ότι :

— Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο x₀ και ισχύει :

— Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο x₀ αλλά

— Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο x₀ αλλά δεν υπάρχει το όριό της.

Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράσταση της f δε διακόπτεται στο x₀. Είναι, επομένως, φυσικό να ονομάσουμε συνεχή στο x₀ μόνο τη συνάρτηση f. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό.

ΟΡΙΣΜΟΣ

΄Εστω μια συνάρτηση f και x0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x0, όταν

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = |x| είναι συνεχής στο 0, αφού

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της όταν :

α) Δεν υπάρχει το όριό της στο x₀ ή

β) Υπάρχει το όριό της στο x₀ , αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f(x₀ ), στο σημείο x₀ .

Για παράδειγμα :

— Η συνάρτηση  δεν είναι συνεχής στο 0, αφού

οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο 0.

— Η συνάρτηση  δεν είναι συνεχής στο 1, αφού

Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση.

Για παράδειγμα :

— Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής , αφού για κάθε x₀ ϵ R ισχύει .

— Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής , αφού για κάθε x₀ του πεδίου ορισμού της ισχύει

— Οι συναρτήσεις f(x) = ημx  και  g(x) = συνx είναι συνεχείς , αφού για κάθε x₀ ϵ R ισχύει

Τέλος, αποδεικνύεται ότι:

— Οι συναρτήσεις f(x) = α^x  και  g(x) = log_αx ,   0 <α ≠ 1 είναι συνεχείς.

Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις

Από τον ορισμό της συνέχειας στο x₀ και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακάτω θεώρημα :

θεώρημα

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x0 , τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις:

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το x0 .

Για παράδειγμα:

— Οι συναρτήσεις  f(x) = εφx  και  g(x) = σφx  είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων.

— Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της  [2/3, +∞), αφού η συνάρτηση
g(x) = 3x−2 είναι συνεχής.

— Η συνάρτηση f(x) = |xημx| είναι συνεχής, αφού είναι της μορφής f(x) = |g(x)|, όπου g(x) = xημx η οποία είναι συνεχής συνάρτηση ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων   f₁(x) = x   και   f₂(x) = ημx.

Τέλος, αποδεικνύεται ότι για τη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:

θεώρημα

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x₀ και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f(x₀), τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο x₀.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση φ(x) = ημ(x2 −1) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων  f(x) = x2 −1  και   g(x) = ημx.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Για ποια τιμή του α η συνάρτηση    είναι συνεχής;

ΛΥΣΗ

— Στο διάστημα (−∞, 0)  η f έχει τύπο f(x) = x² + 2α και επομένως είναι συνεχής ως πολυωνυμική.

Στο διάστημα (0, +∞)  η f έχει τύπο και επομένως είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων.

Για να είναι η f συνεχής, αρκεί να είναι συνεχής και στο x₀ = 0, δηλαδή αρκεί . Έχουμε όμως :

Επομένως, αρκεί  2α = 1  ή, ισοδύναμα,  α = 1/2.

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα

Πολλά από τα θεωρήματα της Ανάλυσης αναφέρονται σε συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους. Είναι, επομένως, απαραίτητο να γνωρίζουμε τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα.

ΟΡΙΣΜΟΣ

● Μια συνάρτηση  f  θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β).   (Σχ. 63α)

● Μια συνάρτηση  f  θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) και επιπλέον

Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (α, β] , [α, β) .

Δυο βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε διαστήματα εκφράζονται από τα παρακάτω θεωρήματα :

Θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [α, β]. Επειδή τα σημεία Α(α, f(α))  και  Β(β, f(β))  βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα xʹx, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρημα του οποίου η απόδειξη παραλείπεται.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΣΧΟΛΙΟ

Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:

— Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ' αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ϵ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ϵ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.   (Σχ. 65)

— Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής:

α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f.

β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα.

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης

Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της στο . Έχουμε

Έτσι οι ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα.

Επομένως, στα διαστήματα , είναι f(x) < 0, ενώ στο διάστημα είναι
f(x) > 0.

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας υποθέσουμε ότι f(α) < f(β). Τότε θα ισχύει  f(α) < η < f(β)    (Σχ. 67). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση

g(x) = f(x) − η,   x ϵ [α, β], παρατηρούμε ότι :

● η g είναι συνεχής στο [α, β] και
● g(α) g(β) < 0 ,
αφού
g(α) = f(α) − η < 0   και g(β) = f(β) − η > 0 .
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει x0 ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε  g(x0) = f(x0) − η = 0, οπότε f(x0) = η . ■

ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], τότε, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

● Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι :

Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.

Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [α, β] , ισχύει το παρακάτω θεώρημα.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής)

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β] , τότε η f παίρνει στο [α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.    (Σχ. 69δ)

Δηλαδή, υπάρχουν  x₁ , x₂ ϵ [α, β]  τέτοια, ώστε, αν  m = f(x₁)  και M = f(x₂) , να ισχύει

ΣΧΟΛΙΟ

Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M] , όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση  f(x) = ημx,   x ϵ [0, 2π]   έχει σύνολο τιμών το   [−1,1] , αφού είναι συνεχής στο   [0, 2π]   με   m = −1  και   M = 1.

● Τέλος, αποδεικνύεται ότι :

Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β)   (Σχ. 71α), όπου

Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Β, Α)   (Σχ. 71β).

Για παράδειγμα,

— Το σύνολο τιμών της f(x) = lnx + 1,  x ϵ (0, e), η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ. 72), είναι το διάστημα (−∞, 2), αφού

— Το σύνολο τιμών της , x ϵ (0, 1), η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση, (Σχ. 73) είναι το διάστημα (1, +∞), αφού

Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [α,β] , [α, β) και (α, β].

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Να δειχτεί ότι η εξίσωση x + συνx = 4  έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (π, 2π).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x + συνx − 4,    x ϵ [π, 2π]. Τότε:

● Η f είναι συνεχής στο  [π, 2π]  ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

● Είναι f(π) • f(π) < 0, αφού

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x₀ ϵ (π, 2π) τέτοιο, ώστε f(x₀) = 0 , οπότε  x₀ + συνx₀ − 4  και  συνεπώς  x₀ + συνx₀ = 4.  Άρα, η εξίσωση x + συνx = 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (π, 2π).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς.

2. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x₀ τις παρακάτω συναρτήσεις :

3. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συνρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν

4. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις

5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς :

6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημx − x + 1 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0,π).

7. Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις f, να βρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα (α, α+1) η εξίσωση f(x) = 0 να έχει μία τουλάχιστον ρίζα

8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

όπου α, β, γ > 0  και  λ < μ < ν, έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (λ,μ) και μια στο (μ,ν).

9. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του x (όπου η f ορίζεται), όταν:

10. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων

1. Αν , να προσδιορίσετε το κ, ώστε η f να είναι συνεχής στο x₀ = 2.

2. Αν , να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες η f να είναι συνεχής
στο x₀ = 1 .

3. i) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο x₀ = 0. Να βρείτε το f(0), αν για κάθε x ϵ R^* ισχύει

ii) Ομοίως, να βρείτε το g(0) για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο x₀ = 0 και για κάθε x ϵ R ισχύει

4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [0,1] και πληρούν τις σχέσεις f(0) < g(0) και f(1) > g(1), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ϵ (0,1) τέτοιο ώστε f(ξ) = g(ξ).

5. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις :

6. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο

7. i) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [−1,1] , για την οποία ισχύει

α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0.

β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα (−1,1).

γ) Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση;

ii) Με ανάλογο τρόπο να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο σύνολο R, για την οποία ισχύει

8. Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [0,1] συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου και
ii) Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C f τέμνει και τις δύο διαγώνιες.

9. Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι συνεχής στο [α, β] και το M0(x0,y0) είναι ένα σημείο του επιπέδου, i) Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d(x) = (M0M) του σημείου M0(x0,y0) από το σημείο M(x,f(x)) της C f για κάθε x ϵ [α, β] .
ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α,β] και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της C f που απέχει από το M0 λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της C f που απέχει από το M0 περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της