1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Μονοτονία συνάρτησης

● Οι έννοιες "γνησίως αύξουσα συνάρτηση", "γνησίως φθίνουσα συνάρτηση" είναι γνωστές από προηγούμενη τάξη. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f ↑ Δ (αντιστοίχως f ↓ Δ).

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x2:
— είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+∞), αφού για 0 ≤ x1 < x2 έχουμε , δηλαδή
f(x1) < f(x2)
— είναι γνησίως φθίνουσα στο (−∞,0], αφού για x1 < x2 ≤ 0 έχουμε 0 ≤ − x2 < − x1, οπότε , δηλαδή
f(x1) > f(x2)

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως μονότονη σ' αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη.

⁽¹⁾ Μια συνάρτηση f λέγεται, απλώς , :

● αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ , όταν για οποιαδήποτε x₁ , x₂ ϵ Δ με x₁ < x₂ ισχύει

● φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ , όταν για οποιαδήποτε x₁ , x₂ ϵ Δ με x₁ < x₂ ισχύει

Ακρότατα συνάρτησης

Οι έννοιες "μέγιστο", "ελάχιστο", συνάρτησης είναι και αυτές γνωστές από προηγούμενες τάξεις. Συγκεκριμένα μάθαμε ότι :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Για παράδειγμα:

— Η συνάρτηση f(x) = − x² + 1 (Σχ. 28α) παρουσιάζει μέγιστο στο x₀ = 0, το f(0) = 1 ,

αφού f(x) ≤ f(0)   για κάθε   x ϵ R.

— Η συνάρτηση f(x) = | x−1 | (Σχ. 28β) παρουσιάζει ελάχιστο στο x₀ = 1, το f(1) = 0,

αφού f(x) ≥ f(1)   για κάθε    x ϵ R.

— Η συνάρτηση f(x) = ημx (Σχ. 29α) παρουσιάζει μέγιστο, το y = 1, σε καθένα από τα σημεία

2κπ + π/2, κ ϵ Z και ελάχιστο, το y = −1, σε καθένα από τα σημεία 2κπ − π/2, κ ϵ Z, αφού −1 ≤ ημx ≤ 1

για κάθε x ϵ R.

— Η συνάρτηση f(x) = x³ (Σχ. 29β) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα.

Όπως είδαμε και στα προηγούμενα παραδείγματα, άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.

Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f.

Συνάρτηση 1−1

Έστω η συνάρτηση Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε x1 , x2 ≠ 0 ισχύει η συνεπαγωγή:
"Aν x1 ≠ x2, τότε f(x1) ≠ f(x2)",
που σημαίνει ότι:
"Τα διαφορετικά στοιχεία x1 , x2 ϵ Df  έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες".

Λόγω της τελευταίας ιδιότητας η συνάρτηση λέγεται συνάρτηση 1−1 (ένα προς ένα). Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Έτσι για παράδειγμα:

— Η συνάρτηση f(x) = αx + β, με α ≠0 είναι συνάρτηση 1−1. (Σχ. 31α, β)

αφού, αν υποθέσουμε ότι f(x₁) = f(x₂), τότε έχουμε διαδοχικά:

— Η συνάρτηση f(x) = β δεν είναι συνάρτηση 1-1 (Σχ. 31γ), αφού f(x1) = f(x2) = β για οποιαδήποτε x1 , x2 ϵ R,
— Η συνάρτηση f(x) = x2 (Σχ. 32) δεν είναι συνάρτηση 1-1, αφού f(−1) = f(1) = 1 αν και είναι −1≠1.

ΣΧΟΛΙΑ

● Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν:

— Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

— Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ. 33α).

Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με f −1 . Επομένως έχουμε

οπότε

Για παράδειγμα, έστω η εκθετική συνάρτηση f(x) = αx. Όπως είναι γνωστό η συνάρτηση 1-1 αυτή είναι με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το (0,+∞). Επομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f −1 της f. Η συνάρτηση αυτή, σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως,
— έχει πεδίο ορισμού το (0, +∞) — έχει σύνολο τιμών το R και — αντιστοιχίζει κάθε y ϵ (0, +∞) στο μοναδικό x ϵ R για το οποίο ισχύει αx = y. Επειδή όμως
αx = y     ⇔    x = logαy
θα είναι f −1(y) = logαy. Επομένως, η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης f(x) = αx, 0< α ≠1, είναι η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = logαx. Συνεπώς

● Ας πάρουμε τώρα μια 1-1 συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και Cʹʹ των f και της f −1, αντιστοίχως, στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχ. 37). Επειδή
f(x) = y    ⇔  f −1(y) = x ,
αν ένα σημείο M(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση C της f, τότε το σημείο Μʹ(α,β) θα ανήκει στη γραφική παράσταση Cʹ της f −1 και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και xʹOyʹ. Επομένως:

Οι γραφικές παραστάσεις C και Cʹ των συναρτήσεων f και f ⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και xʹOyʹ.

Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = α^x και g(x) = log_αx,   0< α ≠1, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση f(x) = 2e^3x−2 + 1είναι 1-1 και να βρεθεί η αντίστροφή της.

ΛΥΣΗ

— Έστω x₁ , x₂ ϵ R με f(x₁) = f(x₂). Θα δείξουμε ότι x₁ = x₂. Πράγματι έχουμε διαδοχικά:

— Για να βρούμε την αντίστροφη της f θέτουμε y =f(x) και λύνουμε ως προς x. Έχουμε λοιπόν

Επομένως, , οπότε η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες

2. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1-1" και για καθεμία απ' αυτές να βρείτε την αντίστροφή της

3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, φ και ψ.

Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις f, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ' αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της.

4. Να δείξετε ότι:

i) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση − f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

ii) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση f + g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

iii) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f(x) ≥ 0 και g(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ Δ, τότε η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι f, g είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ.