1 ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ

Γενικά

Τέσσερα εργοστάσια παραγωγής αυτοκινήτων και Δ δίνουν για το τελευταίο μοντέλο τους ως προς πέντε τεχνικά χαρακτηριστικά τις εξής πληροφορίες:

Τις πληροφορίες αυτές μπορούμε να τις παρουσιάσουμε πιο οργανωμένα ως εξής:

Τα αριθμητικά δεδομένα της ορθογώνιας αυτής διάταξης, κλεισμένα μέσα σε αγκύλες,

λέμε ότι σχηματίζουν έναν πίνακα με 4 γραμμές και 5 στήλες ή, συντομότερα, έναν πίνακα τύπου 4 x 5 ή ακόμα έναν 4 x 5 πίνακα.
Έστω το σύστημα

Το σύστημα αυτό θα μπορούσε να παρασταθεί ως εξής:

Έτσι οι συντελεστές των αγνώστων σχηματίζουν τον 3 x 4 πίνακα

και οι συντελεστές των αγνώστων μαζί με τους σταθερούς όρους τον 3 x 5 πίνακα

Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια διάταξη μ • ν το πλήθος αριθμών σε μορφή ορθογωνίου σχήματος με μ γραμμές και ν στήλες, λέγεται πίνακας τύπου μ x ν ή απλούστερα μ x ν πίνακας.

Τους πίνακες τους συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα κτλ. Οι αριθμοί με τους οποίους σχηματίζουμε έναν πίνακα λέγονται στοιχεία του πίνακα.
Το στοιχείο ενός πίνακα Α που ανήκει στην i-γραμμή και j-στήλη συμβολίζεται με α _{i j}.
Έτσι ο μ x ν πίνακας Α γράφεται:

ή συντομογραφικά [α _{i j}],  1 ≤ i ≤ μ ,  1 ≤ j ≤ ν.

Για παράδειγμα, ο 2 x 2 πίνακας [α _{i j}] με α _{i j} = i − j έχει στοιχεία α ₁₁ = 1 − 1 = 0, α ₁₂ = 1 − 2 = − 1,
α ₂₁ = 2 − 1 = 1 και α ₂₂ = 2 − 2 = 0. Επομένως, ο πίνακας αυτός γράφεται
Η ισότητα μεταξύ των πινάκων ορίζεται ως εξής:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Δυο A, B πίνακες λέμε ότι είναι ίσοι, όταν έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών, τον ίδιο αριθμό στηλών (δηλαδή αν είναι του ίδιου τύπου) και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.
Για να δηλώσουμε ότι δύο πίνακες είναι ίσοι γράφουμε A = B

Από τον ορισμό αυτό προκύπτει ότι δύο πίνακες διαφορετικού τύπου δεν μπορεί να είναι ίσοι. Αν ένας πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, δηλαδή είναι τύπου ν x ν για κάποιο ν ϵ N^*, τότε ο πίνακας αυτός λέγεται τετραγωνικός πίνακας.
Τα στοιχεία α ₁₁ ,α ₂₂ ,α ₃₃ ,.......,α _νν ενός τετραγωνικού πίνακα Α, λέμε ότι σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο του Α. Αν τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα Α που δεν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο είναι όλα 0, τότε ο Α λέγεται διαγώνιος πίνακας.
Για παράδειγμα, οι πίνακες:

είναι διαγώνιοι πίνακες.

Ένας πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή, όπως ο [2 0 1 3 ] λέγεται πίνακας γραμμή, ενώ ένας πίνακας που έχει μία μόνο στήλη, όπως ο λέγεται πίνακας στήλη. Ένας πίνακας που έχει ένα μόνο στοιχείο, όπως ο [−3] λέγεται πίνακας στοιχείο. Τέλος, ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω, όταν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά και τριγωνικός κάτω, όταν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά.
Για παράδειγμα, οι πίνακες

είναι τριγωνικοί άνω, ενώ οι πίνακες

είναι τριγωνικοί κάτω.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Το διπλανό σχήμα παριστάνει το οδικό δίκτυο που συνδέει τις πόλεις Α,Β,Γ,Δ και Ε. Να παρασταθεί το δίκτυο αυτό με έναν πίνακα του οποίου κάθε στοιχείο να φανερώνει το πλήθος των δυνατών τρόπων μετάβασης από πόλη σε πόλη, (όχι οπωσδήποτε διαφορετική πόλη), αφού προηγουμένως περάσουμε από μία μόνο πόλη, π.χ. ΑΒΑ κτλ.

ΛΥΣΗ
Από την πόλη Α στην Α υπάρχουν 3 τρόποι: ABA, ΑΔΑ, ΑΕΑ, από την Α στην Β δεν υπάρχει τρόπος, αφού πρέπει να περάσουμε από μία μόνο πόλη, από την Α στην Γ υπάρχουν 2 τρόποι ΑΔΓ, ΑΒΓ, από την Α στη Δ υπάρχει ένας τρόπος ΑΕΔ, από την Α στην Ε υπάρχει 1 τρόπος ΑΔΕ κτλ. Έτσι το οδικό δίκτυο μπορεί να παρασταθεί με τον πίνακα διπλής εισόδου.
	ή απλά με τον 5 x 5 πίνακα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ
1. Ο διπλανός πίνακας δείχνει για τρεις ομάδες ποδοσφαίρου τους αγώνες Α, τις νίκες Ν, τις ήττες Η, τις ισοπαλίες Ι, τα τέρματα Ε που πέτυχε η ομάδα, τα τέρματα Δ που δέχτηκε η ομάδα και τους βαθμούς Β που έχει. Αν A = [αi j] είναι ο πίνακας αυτός, τότε να βρείτε: i) Ποιος είναι ο τύπος του πίνακα. ii) Ποιες πληροφορίες μας δίνουν τα στοιχεία α 12, α 15 , α 24 και α 37 .
2. Δίνεται συντομογραφικά ο 4 x 4 πίνακας A = [α i j] όπου α i j = | i − j | . Να παραστήσετε τον πίνακα αυτόν, αφού βρείτε τα στοιχεία του.
3. Να βρείτε τα x, y για τα οποία ισχύει:
4. Για ποια τιμή του θετικού αριθμού x ο πίνακας είναι διαγώνιος.
5. Να βρεθούν οι τιμές των x ϵ [0, 2π) για τις οποίες ισχύει: