Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής - Βιβλίο Μαθητή
2.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

2.2 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Στατιστικοί Πίνακες

Μετά τη συλλογή των στατιστικών δεδομένων είναι αναγκαία η κατασκευή συνοπτικών πινάκων ή γραφικών παραστάσεων, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συμπερασμάτων. Η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων σε πίνακες γίνεται με την κατάλληλη τοποθέτηση των πληροφοριών σε γραμμές και στήλες, με τρόπο που να διευκολύνεται η σύγκριση των στοιχείων και η καλύτερη ενημέρωση του αναγνώστη σχετικά με τη δομή του πληθυσμού που ερευνάμε.
Οι πίνακες διακρίνονται στους:
α) γενικούς πίνακες, οι οποίοι περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μία στατιστική έρευνα (συνήθως με αρκετά λεπτομερειακά στοιχεία) και αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών στη διάθεση των επιστημόνων-ερευνητών για παραπέρα ανάλυσηκαι εξαγωγή συμπερασμάτων,
β) ειδικούς πίνακες, οι οποίοι είναι συνοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συνήθως έχουν ληφθεί από τους γενικούς πίνακες.
Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει να περιέχει:
α) τον τίτλο, που γράφεται στο επάνω μέρος του πίνακα και δηλώνει με σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα,
β) τις επικεφαλίδες των γραμμών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις μονάδες μέτρησηςτων δεδομένων,
γ) το κύριο σώμα (κορμό), που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομένα,
δ) την πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών στοιχείων, έτσι ώστε ο αναγνώστης να ανατρέχει σ’αυτήν, όταν επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείων ή για λήψη περισσότερων πληροφοριών.
Παρακάτω δίνονται μερικοί στατιστικοί πίνακες, που διευκρινίζουν την εφαρμογή των προηγούμενων εννοιών.

Πίνακας 1

Πληθυσμός της Ελλάδος (σε εκατομμύρια) κατά μεγάλες ομάδες ηλικιών

Ηλικία
(σε έτη)
Απογραφή
1971
Απογραφή
1981
Απογραφή
1991
Εκτίμηση
1993
Εκτίμηση
1994

0-14

15-64

≥65

2,22

5,58

0,96

2,31

6,19

1,24

1,97

6,88

1,40

1,85

6,99

1,54

1,81

7,04

1,58

Πηγή: ΕΣΥΕ, 1996

Πίνακας 2

Επιφάνεια και πληθυσμός των κατοικημένων νησιών της Ελλάδας με πληθυσμό, κατά την απογραφή του 1991, άνω των 10.000 κατοίκων.

Κατοικημένες
νήσοι
Επιφάνεια
σε τ.χμ.
Πληθυσμός κατά τις απογραφές
1971 1981 1991
Κρήτη
Εύβοια
Λέσβος
Ρόδος
Χίος
Κεφαλληνία
Κέρκυρα
Σάμος
Λήμνος
Ζάκυνθος
Νάξος
Θάσος
Λευκάδα
Κως
Κάλυμνος
Σαλαμίνα
Σύρος
Αίγινα
8.261,183
3.661,637
1.635,998
1.401,459
842,796
734,014
585,312
477,942
476,288
406,612
389,434
383,672
301,106
287,611
110,581
91,503
84,069
77,014
456.471
162.986
97.008
66.606
52.487
31.787
89.578
32.664
17.367
30.180
14.201
13.316
22.917
16.650
13.097
23.065
18.642
9.553
502.082
185.626
88.601
87.831
48.700
27.649
96.533
31.629
15.721
30.011
14.037
13.111
19.947
20.350
14.295
28.574
19.668
11.127
539.938
205.502
87.151
98.181
51.060
29.392
104.781
33.032
17.645
32.556
14.838
13.527
19.350
26.379
15.706
34.272
19.870
11.639

Πηγή: ΕΣΥΕ, 1991

Πίνακας 3

Εργατικά ατυχήματα κατά ομάδες ηλικιών
Έτη 1990-94

Ηλικία 1990 1991 1992 1993 1994
Κάτω των 15
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
18
731
3323
4277
3952
3589
3237
2839
2727
2304
728
121
9
564
2785
3921
3700
3146
2803
2593
2564
2230
720
150
10
437
2755
4246
3388
3233
2911
2784
2286
2185
688
140
16
735
2981
3881
3348
3230
2880
2608
2095
1699
420
66
5
442
2696
3717
3282
3000
2903
2403
1877
1664
523
96
Σύνολο 27846 25185 25063 23959 22608

Πηγή: ΙΚΑ, Ελληνικό Ινστιτούτο Υγιεινής και Ασφάλειας της Εργασίας


Πίνακας 4

Χαρακτηριστικά 40 μαθητών Γ' τάξης ενός Λυκείου.


α.α Φύλο Ασχολία * Αριθμός
αδελφών
Βαθμός
μαθηματικών
Β' λυκείου
Ύψος
(cm)
Βάρος
(Kg)
Ύψος
πατέρα
(cm)
Ύψος
μητέρας
(cm)
1 K 4 1 15 170 60 172 168
2 A 1 0 17 180 68 185 165
3 K 4 2 12 178 62 181 160
4 K 5 1 18 165 47 180 162
5 K 5 0 15 170 54 180 168
6 K 4 3 16 168 56 185 168
7 K 4 2 15 175 58 193 162
8 A 4 1 15 175 72 174 174
9 A 2 3 13 173 67 182 160
10 K 3 1 15 162 50 176 170
11 K 4 1 16 160 51 176 164
12 A 2 1 11 170 58 182 165
13 K 7 3 20 167 50 174 170
14 A 1 1 18 177 81 177 169
15 A 1 0 17 180 70 170 165
16 K 2 2 19 170 63 165 174
17 A 2 0 14 182 71 176 173
18 A 7 2 17 178 73 182 170
19 K 4 1 14 165 58 180 161
20 A 5 1 16 178 74 173 168
21 K 5 1 12 156 44 170 158
22 K 5 1 13 175 53 170 165
23 A 5 2 18 172 60 178 165
24 K 6 1 16 173 64 182 162
25 K 6 2 14 167 57 172 157
26 A 5 0 14 187 85 185 170
27 K 6 1 17 170 62 180 165
28 A 3 1 12 180 80 180 167
29 A 3 0 15 178 73 173 170
30 A 2 1 10 191 86 180 170
31 A 2 0 16 176 65 180 172
32 K 4 1 12 169 57 170 167
33 K 4 2 14 167 61 179 158
34 K 4 1 19 166 62 178 165
35 A 3 1 19 179 76 178 160
36 A 3 1 16 178 68 180 160
37 A 5 1 19 180 85 170 163
38 K 5 1 19 164 64 184 170
39 K 3 0 15 170 63 165 167
40 K 4 1 15 173 63 186 162

*1: Υπολογιστές, 2: Αθλητισμός, 3: Διασκέδαση - Ντίσκο, 4: Μουσική, 5: Τηλεόραση - Κινηματογράφος, 6: Διάβασμα εξωσχολικών βιβλίων, 7: Άλλο
Πηγή: Δειγματοληπτική έρευνα μεταξύ μαθητών 1ου Λυκείου Αμαρουσίου (Σεπτ. ’98).

Πίνακες Κατανομής Συχνοτήτων

Ας υποθέσουμε ότι x1, x2,..., xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v, κν. Στην τιμή xi αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα (frequency) νi, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος, δηλαδή:

ν1+ ν2 + ... + νκ = v               (1)

Για παράδειγμα, για τη μεταβλητή Χ: “αριθμός αδελφών” του πίνακα 4 οι συχνότητες για τις τιμές x1 = 0, x2 =1, x3 = 2, x4 = 3 είναι, αντίστοιχα, ν1 = 8, ν2 = 22 , ν3 = 7, ν4 = 3 με ν1 + ν2 + ν3 + ν4 = 40. Ο υπολογισμός των συχνοτήτων γίνεται με τη διαλογή των παρατηρήσεων, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 5. Διατρέχοντας με τη σειρά τη λίστα των δεδομένων καταγράφουμε κάθε παρατήρηση με συμβολικό τρόπο σαν μια γραμμή “ | ” στην αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής.

Πίνακας 5

Κατανομή συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: “αριθμός αδελφών” των μαθητών του πίνακα 4.


Αριθμός
αδελφών
xi
Διαλογή Συχνότητα
νi
Σχετική
Συχνότητα
fi
Σχετική
Συχνότητα
fi %
0
1
2
3
Εικόνα 8
22
7
3
0,200
0,550
0,175
0,075
20,0
55,0
17,5
7,5
Σύνολο   40 1,000 100,00

Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα νi με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα (relative frequency) fi της τιμής xi, δηλαδή

Εικόνα


Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

(i) 0 ≤ fi ≤ 1 για i = 1,2,..., κ αφού 0 ≤ νiν.

(ii) f1 + f2 + ... + fκ = 1, αφού

Εικόνα

Συνήθως, τις σχετικές συχνότητες fi τις εκφράζουμε επί τοις εκατό, οπότε συμβολίζονται με fi %, δηλαδή fi % =100fi. Για παράδειγμα, οι σχετικές συχνότητες για τις τιμές x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3 της μεταβλητής Χ: “αριθμός αδελφών΄” είναι αντιστοίχως:

Εικόνα

Συνεπώς  f1% = 20% ,  f2% = 55%,  f3% =17,5% και  f4% = 7,5% με  f1% + f2% + f3% + f4% = 100%.

Οι ποσότητες xi, νi, fi για ένα δείγμα συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα, που ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων ή απλά πίνακας συχνοτήτων.
Για μια μεταβλητή, το σύνολο των ζευγών (xi, νi) λέμε ότι αποτελεί την κατανομή συχνοτήτων και το σύνολο των ζευγών (xi, fi), ή των ζευγών (xi, fi%), την κατανομή των σχετικών συχνοτήτων. Στον πίνακα 5 παρουσιάζονται οι κατανομές συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: “αριθμός αδελφών” των μαθητών του πίνακα 4.

Αθροιστικές Συχνότητες

Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες νi και fi χρησιμοποιούνται συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες (cumulative frequencies) Ni και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες (cumulative relative frequencies) Fi, οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi. Συχνά οι Fi πολλαπλασιάζονται επί 100 εκφραζόμενες έτσι επί τοις εκατό, δηλαδή Fi% = 100Fi , βλέπε πίνακα 6. Αν οι τιμές x1, x2,..., μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είναι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχνότητα της τιμής xi είναι Ni = ν1 + ν2 +...+ νi. Όμοια, η αθροιστική σχετική συχνότητα είναι Fi= f1 + f2 +...+ fi, για i = 1,2,...,κ. Για παράδειγμα, για τη μεταβλητή Χ: “αριθμός αδελφών” του πίνακα 4 είναι Ν1 = ν= 8 ,   Ννν= 30 ,  Ν3 = ννν3 = 37  και  Νννννν = 40, οπότε
F1 = f1 = 0,20 ,   F2 = f1 + f2 = 0,75 ,   F3 = f1 + f2 + f3 = 0,925   και  F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 1 , οπότε F1%=20%, F2%=75% ,  F3%=92,5%  και  F4%=100%. Είναι φανερό ότι ισχύουν οι σχέσεις:

ν1 = N1 , ν2 = N2 - N,..., νκ = Nκ - Nκ-1

f1 = F1f2 = F2 - F,..., fκ = Fκ - Fκ-1.

Πίνακας 6

Κατανομή συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων της μεταβλητής
“αριθμός αδελφών” των μαθητών του πίνακα 4.


Αριθμός
αδελφών
xi
Συχνότητα
νi
Σχετ.
Συχν.
fi
Σχετ.
Συχν.
fi%
Άθροισ.
Συχν.
Ni
Αθροιστική
Σχετ. Συχν.
Fi
Αθροιστική
Σχετ. Συχν.
Fi%
0
1
2
3
8
22
7
3
0,200
0,550
0,175
0,075
20,0
55,0
17,5
7,5
8
30
37
40
0,200
0,750
0,925
1,000
20,0
75,0
92,5
100,0
Σύνολο 40 1,000 100,0 - - -

Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων

Τα στατιστικά δεδομένα παρουσιάζονται πολλές φορές και υπό μορφή γραφικών παραστάσεων ή διαγραμμάτων. Οι γραφικές παραστάσεις παρέχουν πιο σαφή εικόνα του χαρακτηριστικού σε σχέση με τους πίνακες, είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσες και ελκυστικές, χωρίς βέβαια να προσφέρουν περισσότερη πληροφορία από εκείνη που περιέχεται στους αντίστοιχους πίνακες συχνοτήτων. Επί πλέον με τα διαγράμματα διευκολύνεται η σύγκριση μεταξύ ομοειδών στοιχείων για το ίδιο ή για διαφορετικά χαρακτηριστικά. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι γραφικής παρουσίασης, ανάλογα με το είδος των δεδομένων που έχουμε. Όπως όμως οι στατιστικοί πίνακες έτσι και τα στατιστικά διαγράμματα πρέπει να συνοδεύονται από α) τον τίτλο, β) την κλίμακα με τις τιμές των μεγεθών που απεικονίζονται, γ) το υπόμνημα που επεξηγεί συνήθως τις τιμές της μεταβλητήςκαι δ) την πηγή των δεδομένων.

α) Ραβδόγραμμα

Το ραβδόγραμμα (barchart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα. Έτσι έχουμε αντίστοιχα το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Τόσο η απόσταση μεταξύ των στηλών όσο και το μήκος των βάσεών τους καθορίζονται αυθαίρετα. Στον πίνακα 7 έχουμε την κατανομή συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: “απασχόληση στον ελεύθερο χρόνο” και στα σχήματα 1(α), (β) τα αντίστοιχα ραβδογράμματα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

Πίνακας 7

Κατανομή συχνοτήτων για την απασχόληση στον ελεύθερο χρόνο τους
των μαθητών του πίνακα 4.


i Απασχόληση
xi
Συχνότητα
νi
Σχετική
συχνότητα
fi
Σχετική
συχνότητα
fi%
1
2
3
4
5
6
7
Υπολογιστές
Αθλητισμός
Διασκέδαση-ντίσκο
Μουσική
Τηλεόραση-Κινηματογράφος
Διάβασμα εξωσχ. Βιβλίων
Άλλο
3
6
6
11
9
3
2
0,075
0,150
0,150
0,275
0,225
0,075
0,050
7,5
15,0
15,0
27,5
22,5
7,5
5,0
Σύνολο 40 1,000 100,0

Μερικές φορές σε ένα ραβδόγραμμα συχνοτήτων ο ρόλος των δύο αξόνων είναι δυνατόν να αντιστραφεί, όπως φαίνεται στο σχήμα 1(β), που παριστάνεται το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων της ίδιας μεταβλητής. Αν θέλουμε να συγκρίνουμε τον τρόπο που περνούν τον ελεύθερο χρόνο τους τα αγόρια και τα κορίτσια, τότε κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων του σχήματος 1(γ), όπως προκύπτει από τον πίνακα 4.

Εικόνα Εικόνα

(α)

(β)

Ραβδόγραμμα συχνοτήτων (α) και σχετικών συχνοτήτων (β) για την απασχόληση των μαθητών
του πίνακα 7.

Εικόνα

(γ)

Ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων για την απασχόληση των μαθητών του πίνακα 4
ανάλογα με το φύλο.

β) Διάγραμμα Συχνοτήτων

Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων (line diagram). Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόνη διαφορά ότι αντί να χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώνια υψώνουμε σε κάθε xi (υποθέτοντας ότι x1 < x2 <...< xκ) μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα, όπως φαίνεται στο σχήμα 2(α). Μπορούμε επίσης αντί των συχνοτήτων νi στον κάθετο άξονα να βάλουμε τις σχετικές συχνότητες fi, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Ενώνοντας τα σημεία (xi, νi) ή (xi, fi) έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων, αντίστοιχα, που μας δίνουν μια γενική ιδέα για τη μεταβολή της συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητήςπου εξετάζουμε, βλέπε σχήμα 2(β).

Εικόνα Εικόνα

(α)

(β)

Διάγραμμα συχνοτήτων (α) και πολύγωνο συχνοτήτων (β) για τη μεταβλητή
“αριθμός αδελφών” του πίνακα 4.

γ) Κυκλικό Διάγραμμα

Το κυκλικό διάγραμμα (piechart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες νi ή τις σχετικές συχνότητες fi των τιμών xi της μεταβλητής. Αν συμβολίσουμε με αi το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, τότε

Εικόνα

Στο σχήμα 3 παριστάνεται το αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων της “απασχόλησης των μαθητών” για τα δεδομένα του πίνακα 4.

Εικόνα

Κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων της
απασχόλησης των μαθητών για τα δεδομένα
του πίνακα 4.







δ) Σημειόγραμμα

Όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η κατανομή τους μπορεί να περιγραφεί με το σημειόγραμμα (dot diagram), στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία υπεράνω ενός οριζόντιου άξονα. Στο σχήμα 4 έχουμε το σημειόγραμμα των χρόνων (σε λεπτά) 4,2,3,1,5,6,4,2,3,4,7,4,8,6,3 που χρειάστηκαν δεκαπέντε μαθητές, για να λύσουν ένα πρόβλημα.

Εικόνα

ε) Χρονόγραμμα.

Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του χρόνου και ο κάθετος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής. Στο σχήμα 5 έχουμε το χρονόγραμμα του ποσοστού ανεργίας στη χώρα μας από το 1990 έως το 1995. (Πηγή ΕΣΥΕ).

Εικόνα

Ποσοστά ανεργίας στην Ελλάδα

Παρατηρούμε ότι στο γυναικείο πληθυσμό υπάρχει συστηματικά μεγαλύτερο ποσοστό ανεργίας, γύρω στις 8 εκατοστιαίες μονάδες. Στο διάστημα 1993-95 το ποσοστό ανεργίας έχει σταθεροποιηθεί γύρω στο 6,5% για τους άνδρες και γύρω στο 15% για τις γυναίκες.








Ομαδοποίηση των Παρατηρήσεων

Οι πίνακες συχνοτήτων και κατ’ αναλογίαν τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι δύσκολο να κατασκευαστούν, όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο. Αυτό μπορεί να συμβεί είτε στην περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν (ομαδοποιηθούν) τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων, που ονομάζονται και κλάσεις (class intervals), έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μία κλάση. Τα άκρα των κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων (class boundaries). Συνήθως υιοθετούμε την περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άνω άκρο της (ανοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είναι της μορφής [ , ). Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες, οπότε μπορούν να “αντιπροσωπευθούν” από τις κεντρικές τιμές, τα κέντρα δηλαδή κάθε κλάσης.

  • Το πρώτο βήμα στην ομαδοποίηση των δεδομένων είναι η εκλογή του αριθμού κ των ομάδων ή κλάσεων. Ο αριθμός αυτός συνήθως ορίζεται αυθαίρετα από τον ερευνητή σύμφωνα με την πείρα του. Γενικά όμως μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίνακας:
Μέγεθος δείγματος
ν
Αριθμός κλάσεων
κ
Μέγεθος δείγματος
ν
Αριθμός κλάσεων
κ
<20
20-50
50-100
100-200
5
6
7
8
200-400
400-700
700-1000
≥1000
9
10
11
12
  • Το δεύτερο βήμα είναι ο προσδιορισμός του πλάτους των κλάσεων. Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το ανώτερο όριο της κλάσης. Στην πλειονότητα των πρακτικών εφαρμογών οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος. Φυσικά υπάρχουν και περιπτώσεις όπου επιβάλλεται οι κλάσεις να έχουν άνισο πλάτος, όπως, για παράδειγμα, στις κατανομές εισοδήματος, ημερών απεργίας κτλ. Για να κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις, χρησιμοποιούμε το εύρος (range) R του δείγματος, δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος. Τότε υπολογίζουμε το πλάτος c των κλάσεων διαιρώντας το εύρος R διά του αριθμού των κλάσεων κ, στρογγυλεύοντας, αν χρειαστεί για λόγους διευκόλυνσης, πάντα προς τα πάνω.

  • Το επόμενο βήμα είναι η κατασκευή των κλάσεων. Ξεκινώντας από την μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από την μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλάσεις. Αυτονόητο είναι ότι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα (πρέπει να) ανήκει οπωσδήποτε στην τελευταία κλάση.

  • Τέλος, γίνεται η διαλογή των παρατηρήσεων. Το πλήθος των παρατηρήσεων νi που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση i καλείται συχνότητα της κλάσης αυτής ή συχνότητα της κεντρικής τιμής xi, i = 1,2,..., κ.
    Έστω, για παράδειγμα, ότι από τα δεδομένα του πίνακα 4 εξετάζουμε το ύψος των μαθητών. Το ύψος των μαθητών, όπως έχει καταγραφεί με τη σειρά, δίνεται στον παρακάτω πίνακα 8.

Πίνακας 8

Το ύψος (σε cm) των μαθητών της Γ' Λυκείου, όπως έχει καταγραφεί στον πίνακα 4.
Σε αγκύλες έχουμε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή.

170
160
[156]
176
180
170
175
169
178
167
172
167
165
177
173
166
170
180
167
179
168
170
187
178
175
182
170
180
175
178
180
164
173
165
178
170
162
178
[191]
173

Παρατηρούμε ότι το εύρος του δείγματος είναι R = 191 - 156 = 35. Επειδή έχουμε ν = 40 παρατηρήσεις, χρησιμοποιούμε κ = 6 κλάσεις.

Το πλάτος των κλάσεων είναι c = R / κ = 35 / 6 = 5,83 ≈ 6. Αν θεωρήσουμε ως αρχή της πρώτης κλάσης το 156, θα έχουμε τον επόμενο πίνακα 9.
Πρέπει να προσεχτεί ότι:

  • Καμία παρατήρηση δεν μπορεί να μείνει έξω από κάποια κλάση.

  • Οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος των κλάσεων, που εδώ είναι ίσο με 6.

  • Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άνω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στην αμέσως επόμενη κλάση. Για παράδειγμα, ο μαθητής με ύψος 180 θα τοποθετηθεί στην πέμπτη κλάση [180, 186).

Πίνακας 9

Κατανομές συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών, αθροιστικών) για τα δεδομένα
του πίνακα 8.

Κλάσεις
[ - )
Κεντρικές τιμές
xi
Διαλογή Συχν.
νi
Σχετική Συχνότητα
fi%
Αθρ. συχν.
Ni
Αθρ. Σχετ.
Συχν.
Fi%
156-162
162-168
168-174
174-180
180-186
186-192
159
165
171
177
183
189
Εικόνα 2
8
12
11
5
2
5,0
20,0
30,0
27,5
12,5
5,0
2
10
22
33
38
40
5,0
25,0
55,0
82,5
95,0
100,0
Σύνολο - 40 100 - -

Ιστόγραμμα Συχνοτήτων

Η αντίστοιχη γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το λεγόμενο ιστόγραμμα (histogram) συχνοτήτων. Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς), από καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται μετη συχνότητατης κλάσης αυτής.

α) Κλάσεις Ίσου Πλάτους

Θεωρώντας το πλάτος c ως μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα, το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο προς τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε να ισχύει πάλι ότι το εμβαδόν των ορθογωνίων είναι ίσο με τις αντίστοιχες συχνότητες.

Επομένως, στον κατακόρυφο άξονα σε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων βάζουμε τις συχνότητες. Με ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, οπότε στον κάθετο άξονα βάζουμε τις σχετικές συχνότητες.
Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων, σχηματίζεται το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων (frequency polygon). Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος ν. Όμοια κατασκευάζεται από το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων με εμβαδόν ίσο με 1, (βλέπε σχήμα 6).

Εικόνα Εικόνα

(α)

(β)

Ιστόγραμμα και πολύγωνο (α) συχνοτήτων και (β) σχετικών συχνοτήτων για τα
δεδομένα του πίνακα 9.

Εικόνα

Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζονται και τα ιστογράμματα αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Αν ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων (ogive) της κατανομής. Στο σχήμα 7 παριστάνεται το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων για το ύψος των μαθητών του πίνακα 9.



β) Κλάσεις Άνισου Πλάτους

Όπως προαναφέραμε, συνήθως επιλέγουμε κλάσεις ίσου πλάτους.

Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που είναι απαραίτητο να έχουμε κλάσεις διαφορετικού πλάτους όπως, για παράδειγμα, στην κατανάλωση νερού και ηλεκτρικού ρεύματος ή ακόμα και περιπτώσεις όπου οι συχνότητες σε κάποιες κλάσεις να είναι πολύ μικρές οπότε γίνεται συγχώνευση κλάσεων.

Εικόνα

Έστω, για παράδειγμα, η διάρκεια (σε sec) ν=80 τηλεφωνημάτων που έγιναν τυχαία από ένα κινητό τηλέφωνο, η οποία δίνεται στο διπλανό πίνακα συχνοτήτων. Το αντίστοιχο ιστόγραμμα συχνοτήτων κατασκευάζεται πάλι, έτσι ώστε το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης. Άρα, αν ci είναι το πλάτος της κλάσης i με συχνότητα νi, το ύψος του ορθογωνίου θα είναι Εικόνα, i = 1,2,..., κ. Επομένως, για την κατασκευή του ιστογράμματος συχνοτήτων χρειαζόμαστε τα πλάτη των κλάσεων και τα ύψη των ορθογωνίων. Αυτά δίνονται στον επόμενο πίνακα.

Διάρκεια τηλεφ.
σε sec.
Πλάτος
κλάσης
ci
Συχνότητα
νi
Ύψος
Εικόνα
Ύψος
Εικόνα
0-20
20-25
25-30
30-40
20
5
5
10
20
20
24
16
1,0
4,0
4,8
1,6
1,25
5,00
6,00
2,00

Τότε το ιστόγραμμα συχνοτήτων δίνεται στο σχήμα 8(α). Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων είναι ίσο με το συνολικό μέγεθος δείγματος ν, όπως δηλαδή συμβαίνει και στο ιστόγραμμα με κλάσεις ίσου πλάτους.

Εικόνα Εικόνα

(α)

(β)

Ιστόγραμμα συχνοτήτων (α) και σχετικών συχνοτήτων (β) της διάρκειας τηλεφωνημάτων.

Με ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, (σχήμα 8(β)) αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ως ύψος των ορθογωνίων το λόγο των σχετικών συχνοτήτων προς το πλάτος των κλάσεων, δηλαδή Εικόνα.

Καμπύλες Συχνοτήτων

Εικόνα

Καμπύλη συχνοτήτων για το ύψος
των μαθητών του πίνακα 4

Εάν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρκετά μεγάλος (τείνει στο άπειρο) και ότι το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μικρό (τείνει στο μηδέν), τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων (frequency curve), όπως δείχνει το σχήμα 9. Οι καμπύλες συχνοτήτων έχουν μεγάλη εφαρμογή στη Στατιστική, όπου οι ιδιότητες τους μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων.






Η μορφή μιας κατανομής συχνοτήτων εξαρτάται από το πώς είναι κατανεμημένες οι παρατηρήσεις σε όλη την έκταση του εύρους τους. Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες συχνοτήτων που συναντάμε συχνά στις εφαρμογές δίνονται στο σχήμα 10. Η κατανομή (β), με “κωδωνοειδή” μορφή λέγεται κανονική κατανομή (normal distribution) και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική. Όταν οι παρατηρήσεις “κατανέμονται” ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β], όπως στην κατανομή (α), η κατανομή λέγεται ομοιόμορφη. Όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες, η κατανομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στην κατανομή (γ) ή αρνητική ασυμμετρία όπως στην κατανομή (δ).

Εικόνα

Μερικές χαρακτηριστικές κατανομές συχνοτήτων

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Από το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων του παρακάτω διαγράμματος να βρεθεί
(α) το ύψος x*, κάτω από το οποίο ανήκει το 25% των μαθητών
(β) το ποσοστό p των μαθητών που έχουν ύψος μέχρι και 170cm.


ΛΥΣΗ

Εικόνα

α) Ακολουθούμε τη διαδρομή ΑΒ, όπως φαίνεται στο διάγραμμα, και ξεκινώντας από το σημείο (0, 0,25) πηγαίνουμε παράλληλα προς τον άξονα 0x μέχρι το αθροιστικό διάγραμμα και μετά κάθετα στον άξονα 0x μέχρι το σημείο (x *,0). Το x * = 168 είναι το ζητούμενο ύψος.

β) Όμοια, ακολουθώντας τη διαδρομή ΓΔ από το σημείο (170, 0) καταλήγουμε, όπως φαίνεται στο σχήμα, στο σημείο (0, p). Το p = 0,35 = 35% είναι το ζητούμενο ποσοστό.


2. Στο διπλανό ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων σβήστηκε κατά λάθος το ορθογώνιο της κλάσης [2-5).

Εικόνα

Εάν είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει μισθός άνω των $1000, να κατασκευάσετε το ορθογώνιο αυτό.


ΛΥΣΗ


Επειδή έχουμε ένα ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων (fi%), το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων θα πρέπει να ισούται με 100. Το εμβαδόν του πρώτου ορθογωνίου είναι E1 = (1 - 0) · 10 =10 , του δεύτερου ορθογωνίου E2 = (2 - 1) · 20 = 20, και του τέταρτου E4 = (10 - 5) · 5 = 25.

Εικόνα

Άρα, το εμβαδόν του τρίτου ορθογωνίου θα είναι E3 = 100 - (10 + 20 + 25 = 45. Επειδή το πλάτος του ορθογωνίου είναι 5 - 2 = 3, το ύψος του θα είναι 45/3 = 15, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Ασκήσεις

Α' ΟΜΑΔΑΣ
1.

Η βαθμολογία 50 φοιτητών στις εξετάσεις ενός μαθήματος είναι:

3

4

5

8

9

7

6

8

7

10

8

7

6

5

9

3

8

5

6

6

6

3

5

6

4

2

9

8

7

7

1

6

3

1

5

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

9

8

7

6

5

α)   Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών).

β)   Από τον πίνακα αυτό να εκτιμήσετε το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθμό  i) κάτω από τη βάση (μικρότερο του 5)  ii) άριστα (9 ή 10) iii) τουλάχιστον 7 αλλά το πολύ 9.

 

2.

Οι παραπάνω φοιτητές ήταν αντίστοιχα αγόρια (Α) ή κορίτσια (Κ):

Α

Α

Κ

Α

Κ

Α

Α

Α

Κ

Κ

Κ

Κ

Α

Α

Α

Κ

Α

Κ

Α

Α

Α

Α

Α

Α

Κ

Κ

Α

Κ

Α

Κ

Κ

Κ

Κ

Α

Κ

Κ

Α

Α

Α

Α

Α

Α

Κ

Α

Κ

Κ

Α

Α

Α

Κ


Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα χρησιμοποιώντας απόλυτες συχνότητες.

Φύλο Βαθμολογία Σύνολο
<5 ≥5
Α
Κ      
Σύνολο      
3. Να μετατρέψετε τον προηγούμενο πίνακα συχνοτήτων της άσκησης 2 σε πίνακα σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό:
α) ως προς το σύνολο των φοιτητών
β) ως προς το φύλο (γραμμές)
γ) ως προς τη βαθμολογία (στήλες).
4.

Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δίνει την κατανομή του αριθμού των ημερών απουσίας από την εργασία τους λόγω ασθένειας 50 εργατών, να βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό των εργατών που απουσίασαν:

Εικόνα

α) τουλάχιστον 1 ημέρα
β) πάνω από 5 ημέρες
γ) από 3 έως 5 ημέρες
δ) το πολύ 5 ημέρες
ε) ακριβώς 5 ημέρες.

5.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

xi νi fi Ni Fi fi% Fi%
1
2
3
4
5
6

4


2

0,20

6


0,60



25
10
Σύνολο            
6. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα συχνοτήτων του βαθμού Μαθηματικών για τα αγόρια και κορίτσια (χωριστά) του πίνακα 4.
7.

Τα δημοφιλέστερα ξένα μουσικά συγκροτήματα των 18 αγοριών του πίνακα 4 ήσαν:
Metallica, Iron Maiden, Άλλο, Scorpions, Oasis, Άλλο, Άλλο, Rolling Stones, Metallica, Metallica, Rolling Stones, Metallica, Iron Maiden, Iron Maiden, Scorpions, Scorpions, Scorpions, Metallica.
Να κατασκευάσετε α) το ραβδόγραμμα και β) το κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

8.

Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η βαθμολογία των 450 μαθητών ενός Γυμνασίου σε τέσσερις κατηγορίες “Άριστα”, “Λίαν Καλώς”, “Καλώς” και “Σχεδόν Καλώς”. Το 30% των μαθητών έχουν επίδοση “Λίαν Καλώς”. Η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση “Καλώς” είναι 144°. Οι μαθητές με βαθμό “Σχεδόν Καλώς” είναι διπλάσιοι των μαθητών με “Άριστα”. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

9.

Από το 1960 έως το 1998 (Πρωταθλήματα Α΄ Εθνικής) ο Παναθηναϊκός έχει κατακτήσει 15 τίτλους, ο Ολυμπιακός 12, η ΑΕΚ 9, ο ΠΑΟΚ 2 και η Λάρισα 1. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα και το κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

10.

Παρακάτω δίνονται τα μετάλλια που πήραν μερικές χώρες στο 17ο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Στίβου, το 1998. Να παρασταθούν τα δεδομένα αυτά σε ένα ραβδόγραμμα.

Χώρα Χρυσά Ασημένια Χάλκινα
Μ. Βρετανία
Γερμανία
Ρωσία
Πολωνία
Ρουμανία
Ουκρανία
Ιταλία
Πορτογαλία
Ισπανία
Γαλλία
Ελλάδα
9
8
6
3
3
3
2
2
2
2
1
4
7
9
4
2
2
4
3
1
1
0
3
8
7
1
2
1
3
1
4
1
2
11.
Έτος Έρπης ζωστήρ Ηπατίτιδα Α
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
85
58
123
178
134
201
241
252
338
296
256
351
254
273
172
213
127
123
259
295
107
131
Τα κρούσματα δύο λοιμωδών νόσων από το 1987 έως το 1997 δίνονται στο διπλανό πίνακα. (Πηγή: ΕΚΕΠΑΠ.)
Να κατασκευάσετε τα αντίστοιχα χρονογράμματα και να τα σχολιάσετε.
12.

Τα παρακάτω δεδομένα αντιπροσωπεύουν την επίδοση 50 υποψηφίων για την πρόσληψή τους σε μια ιδιωτική σχολή (κλίμακα 0-10).

Εικόνα


α) Να παραστήσετε τα δεδομένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων.
β) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα σχετικών και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.
γ) Αν η σχολή θελήσει να πάρει όσουςείχαν επίδοση μεγαλύτερη ή ίση του 8, πόσους θα πάρει;
δ) Αν η σχολή πάρει μόνο το 36% των υποψηφίων, τι επίδοση πρέπει να έχει κάποιος για να επιλεγεί;
13.

Εικόνα

Δίπλα δίνεται μόνο ένα ορθογώνιο από το ιστόγραμμα του ετήσιου εισοδήματος των οικογενειών μιας περιοχής. Τι ποσοστό οικογενειών της περιοχής είχαν εισόδημα 5.000.000 δρχ. έως 7.000.000 δρχ.;

14.

Εικόνα

Ένας μαθητής έκανε το διπλανό πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων για το ύψος των αγοριών της τάξης του και ο καθηγητής το διέγραψε σαν λάθος. Είχε δίκιο ο καθηγητής;

Β' ΟΜΑΔΑΣ
1.

Να κατασκευάσετε τα αντίστοιχα χρονογράμματα για τον πληθυσμό των νησιών α) Λέσβου, β) Θάσου, γ) Σαλαμίνας με βάση τα δεδομένα του πίνακα 2. Τι συμπέρασμα συνάγετε;

2.

Οι βεβαιωθέντες θάνατοι από χρήση ναρκωτικών κατά τα έτη 1988-1998 (για το 1998 έως 8 Απριλίου) σύμφωνα με τον Οργανισμό κατά των Ναρκωτικών (ΟΚΑΝΑ) ήταν 62, 72, 66, 79, 79, 78, 146, 176, 222, 222 και 65 αντίστοιχα. Από αυτούς είχαμε 7, 4, 2, 2, 1, 4, 8, 7, 14, 22 και 6 μέχρι και 20 ετών, 43, 51, 34, 44, 47, 49, 71, 90, 98, 99 και 33 από 21-30 ετών και οι υπόλοιποι ήσαν άνω των 30 ετών.
Να παρασταθούν τα δεδομένα αυτά σε μορφή πίνακα.

3.

Να παρασταθούν τα παραπάνω δεδομένα της άσκησης 2 σε μορφή πίνακα αναφορικά με το έτος και το φύλο των ατόμων, αν γνωρίζουμε ότι από τους βεβαιωθέντες θανάτους από χρήση ναρκωτικών κατά τα έτη 1988-1998 οι 8, 10, 7, 5, 9, 8, 11, 14, 20, 20 και 9 αντίστοιχα ήταν γυναίκες.

4.

Το παρακάτω χρονόγραμμα δίνει τη σχετική συχνότητα των νέων πτυχιούχων Μαθηματικών σε όλη την Ελλάδα από το 1930 έως το 1995 ανάλογα με το φύλο. α) Μελετώντας προσεκτικά το χρονόγραμμα αυτό ποιά συμπεράσματα εξάγονται; β) Ο συνολικός αριθμός νέων πτυχιούχων Μαθηματικών το έτος 1995 ήταν 789. Πόσες ήσαν οι γυναίκες και πόσοι οι άνδρες; γ) Ο αριθμός των γυναικών που έγιναν πτυχιούχοι Μαθηματικών το έτος 1974 ήσαν 173. Πόσοι ήσαν οι άνδρες που έγιναν πτυχιούχοι Μαθηματικοί το ίδιο έτος; δ) Πόσοι άνδρες και πόσες γυναίκες πήραν πτυχίο Μαθηματικών στην Ελλάδα το 1985;

Εικόνα

5.

Να δοθεί και να ερμηνευτεί το χρονόγραμμα των δεδομένων του πίνακα 1 για κάθε ομάδα ηλικιών.

6.

Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων της συστολικής πίεσης 150 γυναικών ηλικίας 17-24 ετών που χρησιμοποιούν το φάρμακο Α για κάποια πάθηση και 200 γυναικών, ανάλογης ηλικίας, που χρησιμοποιούν το φάρμακο Β.
α) Να συγκρίνετε τα ποσοστά γυναικών που παίρνουν τα φάρμακα Α και Β και έχουν συστολική πίεση μεγαλύτερη ή ίση των 130 mm Hg
β) Να κατασκευάσετε τα πολύγωνα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, χρησιμοποιώντας τους ίδιους άξονες συντεταγμένων.

Συστολική πίεση
(σε mm Hg)
Φάρμακο Α Φάρμακο Β
νi νi
95-99
100-104
105-109
110-114
115-119
120-124
125-129
130-134
135-139
140-144
145-149
6
15
16
22
30
20
15
12
6
5
3
4
14
18
24
32
28
28
26
12
8
6
Σύνολο 150 200

Πηγή: Υποθετικά δεδομένα

7.

Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν 55 μαθητές να λύσουν ένα πρόβλημα δίνονται παρακάτω:

Εικόνα

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κατάλληλο αριθμό κλάσεων.
β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες νi, fi %, Ni, Fi %.
γ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.