Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
| 3.6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δυο γωνίες α, β που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ1, Μ2 αντιστοίχως (Σχ. 1). Έστω επιπλέον και η γωνία α - β, που η τελική της πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. 2).
Όπως είναι γνωστό, τα σημεία Μ1, Μ2, Α και Μ έχουν συντεταγμένες: το Μ1 : το Μ2 : το Α : το Μ : τετμημένη » » » συνα συνβ 1 συν(α - β) και » » » τεταγμένη » » » ημα ημβ 0 ημ(α - β) Επειδή $Μ_2\hat{O}M_1$ = $A\hat{O}M$ = α - β , θα είναι και (Μ2Μ1) = (ΑΜ). Άρα: (Μ2Μ1)2=(ΑΜ)2 |
| Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε το γνωστό μας τύπο: $(Ρ_1Ρ_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$, που δίνει την απόσταση δύο σημείων P1(x1,y1) και P2(x2,y2), έχουμε: ● (Μ2Μ1)2 = (συνα - συνβ)2 + (ημα - ημβ)2 = συν2α + συν2β - 2συνασυνβ + ημ2α + ημ2β - 2ημαημβ = 2 - 2(συνασυνβ + ημαημβ) και ● (ΑΜ)2 = [συν(α - β) - 1]2 + [ημ(α - β) - 0]2 = συν2(α - β) + 1 - 2συν(α - β) + ημ2(α - β) = 2 - 2συν(α - β). Έτσι η σχέση (Μ2Μ1)2=(ΑΜ)2 γράφεται 2 - 2(συνασυνβ +ημαημβ) = 2 - 2συν(α - β) ή συνασυνβ + ημαημβ = συν(α - β) Επομένως: (1)
Η ισότητα αυτή, που αποδείξαμε για γωνίες α, β με 0 ≤ β < α < 360$^\circ$, ισχύει και για οποιεσδήποτε γωνίες α, β. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το -β, έχουμε: συν (α - (-β)) = συνασυν(-β) + ημαημ(-β) = συνασυνβ - ημαημβ Επομένως: (2)
Με τη βοήθεια των τύπων (1) και (2) μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο ορισμένων γωνιών, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικούς πίνακες ή υπολογιστικές μηχανές. Για παράδειγμα, έχουμε: ● συν15ο = συν (45$^\circ$ - 30$^\circ$) = συν45$^\circ$συν30$^\circ$ + ημ45$^\circ$ημ30$^\circ$ = √22 · √32 + √22 · 12 = √2(√3 + 1)4 |
| ● συν75ο = συν (45$^\circ$ + 30$^\circ$) = συν45$^\circ$συν30$^\circ$ - ημ45$^\circ$ημ30$^\circ$ = √22 · √32 - √22 · 12 = √2(√3 - 1)4 Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια του τύπου (1), που βρήκαμε προηγουμένως, θα υπολογίσουμε τώρα το ημίτονο του αθροίσματος δυο γωνιών. Επειδή συν (π2 - x) = ημx και ημ (π2 - x) = συνx, έχουμε: ημ (α + β) = συν (π2 - (α + β)) = συν ((π2 - α) - β) = συν (π2 - α)συνβ + ημ (π2 - α)ημβ = ημασυνβ + συναημβ Επομένως: (3)
Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με -β βρίσκουμε ότι: (4)
Σύμφωνα με τους τύπους αυτούς για παράδειγμα, έχουμε: ● ημ15ο = ημ (45$^\circ$ - 30$^\circ$) = ημ45$^\circ$συν30$^\circ$ - συν45$^\circ$ημ30$^\circ$ = √22 · √32 - √22 · 12 = √2(√3 - 1)4 ● ημ75ο = ημ (45$^\circ$ + 30$^\circ$) = ημ45$^\circ$συν30$^\circ$ + συν45$^\circ$ημ30$^\circ$ = √22 · √32 + √22 · 12 = √2(√3 + 1)4 |
| Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια των προηγούμενων τύπων θα υπολογίσουμε την εφαπτομένη του αθροίσματος α+β δυο γωνιών α, β, αν γνωρίζουμε την εφαπτομένη καθεμιάς. Όπως ξέρουμε, για να ορίζονται οι: εφ(α + β), εφα και εφβ, πρέπει συν(α + β) ≠ 0, συνα ≠ 0 και συνβ ≠ 0. Με την προϋπόθεση αυτή έχουμε:
Επομένως έχουμε: (5)
Αν τώρα στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το -β, βρίσκουμε ότι: (6)
Τέλος με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι: (8)
(7)
Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους για παράδειγμα, έχουμε: ● εφ15ο = εφ(45ο - 30ο) = εφ45ο - εφ30ο 1 + εφ45οεφ30ο = $\dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}$ = 3 - √33 + √3 = (3 - √3)(3 - √3) (3 + √3)(3 - √3) = 12 - 6√36 = 2 - √3 |
| ● εφ75ο = εφ(45ο + 30ο) = εφ45ο + εφ30ο 1 - εφ45οεφ30ο = $\dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}$ = 3 + √33 - √3 = (3 + √3)(3 + √3)(3 - √3)(3 + √3) = 12 + 6√36 = 2 + √3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1º Αν ημα = - 35, με 3π2 < α < 2π και συνβ = - 1213, με π < β < 3π2, να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β. ΛΥΣΗ Επειδή ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ και συν(α + β) = συνασυνβ - ημαημβ αρκεί να υπολογίσουμε το συνα και το ημβ. Έχουμε λοιπόν: συν2α = 1 - ημ2α = 1 - 925 = 1625, οπότε $συνα = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$, αφού 3π2 < α < 2π και ημ2β = 1 - συν2β = 1 - 144169 = 25169, οπότε $ημβ = - \sqrt{\dfrac{25}{169}} = - \dfrac{5}{13}$, αφού π < β < 3π2 Επομένως ημ(α + β) = (- 35)(- 1213) + 45(- 513) = 1665 συν(α + β) = 45(- 1213) - (- 35)(- 513) = - 6365, οπότε: εφ(α + β) = - 1663 και σφ(α + β) = - 6316
2º Να αποδειχθεί ότι ημ(α + β)·ημ(α - β) = ημ2α - ημ2β. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ημ(α + β)ημ(α - β) = (ημασυνβ + συναημβ)(ημασυνβ - συναημβ) = ημ2ασυν2β - συν2αημ2β = ημ2α(1 - ημ2β) - (1 - ημ2α)ημ2β = ημ2α - ημ2αημ2β - ημ2β + ημ2αημ2β = ημ2α - ημ2β |
3º Να λυθεί η εξίσωση: 2συνx = ημ(x + π6). ΛΥΣΗ 2συνx = ημ(x + π6) ⇔ 2συνx = ημxσυν π6 + συνxημ π6 ⇔ 2συνx = √32ημx + 12συνx ⇔ 4συνx = √3ημx + συνx ⇔ 3συνx = √3ημx [αφού συνx ≠ 0] ⇔ εφx = √3 ⇔ εφx = εφ π3 ⇔ x = κπ + π3, κ ∈ ℤ
4º Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εφΑ + εφΒ + εφΓ = εφΑεφΒεφΓ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι εφΑ, εφΒ, εφΓ. Επειδή επιπλέον A + B = π - Γ ≠ π2, ορίζεται η εφ(Α + Β) και έχουμε διαδοχικά: εφ(Α + Β) = εφ(π - Γ) εφΑ + εφΒ1 - εφΑεφΒ = -εφΓ εφΑ + εφΒ = -εφΓ + εφΑεφΒεφΓ εφΑ + εφΒ + εφΓ = εφΑεφΒεφΓ
5º Θεωρούμε έναν αγωγό από τον οποίο διέρχονται τρία εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω με στιγμιαίες εντάσεις I1 = ημωt, I2 = ημ(ωt + 2π3) και I3 = ημ(ωt + 4π3). Να αποδειχθεί ότι η ολική ένταση I = I1 + I2 + I3 του ρεύματος που διέρχεται από τον αγωγό είναι μηδέν. ΑΠΟΔΕΙΞΗ
|
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
