Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Άλγεβρα Β Λυκείου 1.2 Μη Γραμμικά Συστήματα Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

Chap

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Η εξίσωση αx + βy = γ

Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με τη βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση

αx + βy = γ, με α ≠ 0  ή  β ≠ 0 ,

που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει ευθεία γραμμή. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το συμπέρασμα αυτό ως εξής :

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :

• Αν , β ≠0 , τότε η εξίσωση γράφεται :

Εικόνα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης Εικόνα και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Εικόνα

 

Εικόνα

 

Ειδικότερα :

✔ Αν α ≠ 0 , τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α΄), ενώ

✔ Αν α = 0 , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή y = Εικόνα και επομένως παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Εικόνα(Σχ. β΄).

 

• Αν β = 0 (οπότε α ≠ 0), τότε η εξίσωση γράφεται

Εικόνα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y'y και τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Εικόνα

Για παράδειγμα :

Εικόνα
✔ Η εξίσωση x − 2y = 2 παίρνει τη μορφή y = 1/2x − 1 η οποία παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 1/2 και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο −1 . Εικόνα
 
✔ Η εξίσωση y=2 παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο 2 . Εικόνα
 
✔ Η εξίσωση x=2 παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y'y και τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο 2. Εικόνα
 
Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μία γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της γραμμικής εξίσωσης.

 

Μικροπείραμα 


Για παράδειγμα, το ζεύγος (4,-1) είναι λύση της εξίσωσης x − 2y = 6, αφού 4 − 2(−1) = 4 + 2 = 6. Διαπιστώνουμε, όμως, ότι και τα ζεύγη (16,5), (−10, −8) είναι λύσεις της εξίσωσης και γενικά ότι κάθε ζεύγος της μορφής (K, 1/2K−3), K ∈ R είναι λύση της εξίσωσης.

Γραμμικό σύστημα 2 x 2

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α΄x+β΄y=γ΄ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 2 x 2 και γράφουμε

Εικόνα

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος.
Στο Γυμνάσιο μάθαμε μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με κατάλληλη μετατροπή του σε άλλο γραμμικό σύστημα το οποίο έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό. Τα δύο αυτά συστήματα λέγονται ισοδύναμα συστήματα.
Η μετατροπή ενός συστήματος σε ισοδύναμό του γίνεται συνήθως με έναν από τους εξής δύο τρόπους :

• Λύνουμε τη μια εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση.

• Αντικαθιστούμε μια από τις εξισώσεις (ε) ή (ε') του συστήματος, π.χ. την (ε), με την εξίσωση « λ(ε) + λ'(ε') » που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα με λ≠0, προσθέσουμε τα μέλη της (ε') πολλαπλασιασμένα με λ'.

Η εξίσωση  λ(ε) + λ'(ε') λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε').

Η απόδειξη του ότι τα συστήματα που προκύπτουν από τις παραπάνω μετατροπές είναι ισοδύναμα στηρίζεται στις παρακάτω ιδιότητες της ισότητας που είδαμε στο 1 o κεφάλαιο :

✔ Αν γ ≠ 0, τότε: α = β ⇔ αγ = βγ

✔ Αν α=β και γ=δ , τότε α+γ = β+δ.

Έστω, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να λύσουμε το σύστημα :

Εικόνα

Θα λύσουμε το σύστημα με τις δύο μεθόδους που μάθαμε στο Γυμνάσιο, τη μέθοδο της αντικατάστασης και τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών (ή μέθοδο της απαλοιφής)

Μέθοδος της αντικατάστασης


Λύνουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο, π.χ. την (1) ως προς x. Έτσι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το

Εικόνα

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το x με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει

Εικόνα

Έτσι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το

Εικόνα

Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο :

x = 2(−1) + 6 = 4

Άρα λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (4, 1).

ΣΧΟΛΙΟ

Επειδή κάνουμε πολλά βήματα μέχρι να λύσουμε ένα σύστημα, είναι πολύ πιθανό να κάνουμε λάθος στους αριθμητικούς υπολογισμούς. Για το λόγο αυτό είναι σκόπιμο να αντικαθιστούμε τις τιμές των αγνώστων που βρήκαμε στις αρχικές εξισώσεις του συστήματος και να ελέγχουμε αν τις επαληθεύουν, δηλαδή να κάνουμε επαλήθευση του συστήματος.

Στο συγκεκριμένο σύστημα, για x = 4 και y = −1, έχουμε :

1η εξίσωση: 4 – 2(–1) = 6

2η εξίσωση: 3•4 + 4(−1) = 12 − 4 = 8

 

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής)

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι :

Εικόνα

Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε :

Εικόνα

Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου :

Εικόνα

Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (4, −1) (η ίδια φυσικά που βρέθηκε και με την προηγούμενη μέθοδο).

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος 2 x 2

Κάθε εξίσωση του γραμμικού συστήματος

Εικόνα

που λύσαμε προηγουμένως παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Το σημείο τομής των ευθειών αυτών προσδιορίζει τη λύση του συστήματος, αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν συγχρόνως τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

Εικόνα

Γενικά, μπορούμε να επιλύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα

Εικόνα

με το να σχεδιάσουμε τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και να βρούμε, εφόσον υπάρχει, το σημείο τομής τους.
Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 δίνει λύσεις που μπορεί να είναι προσεγγιστικές. Παρά την αδυναμία αυτή, η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 διευκολύνει πάρα πολύ σε περιπτώσεις, όπου μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή, ακόμη, όταν η αλγεβρική του επίλυση είναι δυσχερής.

Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί να τέμνονται ή να είναι παράλληλες ή ακόμα και να συμπίπτουν.

Για παράδειγμα :

✔ Το σύστημα Εικόνα γράφεται Εικόνα και έχει μοναδική λύση ,

αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του τέμνονται, επειδή έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης.

Αν χαράξουμε τις ευθείες που παριστάνουν
οι εξισώσεις, βλέπουμε ότι προσεγγιστικά
η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος
(1, 0,3) .

Αν όμως λύσουμε το σύστημα αλγεβρικά, θα βρούμε ότι η ακριβής λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (1, 1/3)

Εικόνα

✔ Το σύστημα Εικόνα γράφεται

Εικόνα οπότε είναι αδύνατο, αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του είναι παράλληλες.

Εικόνα
✔ Το σύστημα Εικόναγράφεται Εικόνα οπότε έχει άπειρο πλήθος λύσεων, αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος συμπίπτουν. Εικόνα

Προφανώς κάθε λύση του συστήματος είναι της μορφής (k, 2k−1), k ∈ R.

Γενικά, από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 αναμένουμε μια μόνο από τις περιπτώσεις :

✔ Το σύστημα να έχει μοναδική λύση

✔ Το σύστημα να είναι αδύνατο

✔ Το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

Λύση – διερεύνηση γραμμικού συστήματος 2 x 2

Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 στη γενική του μορφή.

Έστω λοιπόν το γραμμικό σύστημα

Εικόνα

Αρχικά θα εξετάσουμε την περίπτωση που είναι β≠0 και β ≠0 . Τότε το σύστημα γράφεται :

Εικόνα

και οι εξισώσεις του παριστάνουν ευθείες ε1 και ε2 με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης Εικόνα

• Αν Εικόνα, δηλαδή αν αβ − α' β' ≠ 0, τότε οι ευθείες ε1 και ε2 έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης, οπότε τέμνονται σε ένα σημείο του οποίου η τετμημένη προσδιορίζεται από την λύση της εξίσωσης

Εικόνα

Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι :

Εικόνα

Επομένως Εικόνα

Άρα, στην περίπτωση αυτή, το σύστημα έχει μοναδική λύση την

Εικόνα

• Αν Εικόνα , δηλαδή αν αβ΄- α΄β =0 , τότε οι ευθείες ε1 και ε2 έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οπότε ή είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις αντιστοίχως. Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και στην περίπτωση που είναι β=0 ή β' =0.

Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα για το γραμμικό σύστημα

Εικόνα

Έχουμε :

• Αν αβ' − α'β ≠0 το σύστημα έχει μοναδική λύση την

Εικόνα

• Αν αβ' − α'β = 0 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι αδύνατο.

Συνήθως η παράσταση αβ' − α'β , συμβολίζεται με

Εικόνα

και λέγεται ορίζουσα του συστήματος

Δηλαδή :

Εικόνα

Την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του x θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με :

Εικόνα

Ομοίως, την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με :

Εικόνα

Τα προηγούμενα συμπεράσματα τα οποία αφορούν στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος συνοψίζονται, με τη βοήθεια των οριζουσών, ως εξής :

Το γραμμικό σύστημα

Εικόνα

• Αν D ≠0, έχει μοναδική λύση, την (x,y) μεΕικόνα
• Αν D = 0, είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

 

Μικροπείραμα 


Για παράδειγμα :

✔ Το σύστημα Εικόνα έχει

Εικόνα

οπότε έχει μοναδική λύση. Επειδή

Εικόνα

έχουμε :

Εικόνα

Άρα, η μοναδική λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x, y) = (4, −1) .

✔ Το σύστημα Εικόνα έχει

Εικόνα

και επομένως το σύστημα αναμένεται ή να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το 2, τότε το σύστημα γράφεται

Εικόνα

δηλαδή έχει μόνο μία εξίσωση την 2x − 3y = 40. Αυτό σημαίνει ότι οι λύσεις του συστήματος είναι οι λύσεις της εξίσωσης

Εικόνα

Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων τα ζεύγη της μορφής

Εικόνα

✔ Το σύστημα Εικόνα έχει

Εικόνα

και επομένως το σύστημα αναμένεται ή να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Το σύστημα αυτό γράφεται

Εικόνα

που είναι προφανώς αδύνατο.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

1ηΝα λυθεί το σύστημα

Εικόνα

ΛΥΣΗ

Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές και οι σταθεροί όροι του συστήματος δεν είναι όλοι συγκεκριμένοι αριθμοί, αλλά εξαρτώνται από το λ. Πρέπει επομένως για τις διάφορες τιμές του λ, να εξετάσουμε πότε προκύπτει σύστημα που έχει μοναδική λύση την οποία και να βρούμε ή πότε προκύπτει σύστημα αδύνατο ή σύστημα με άπειρες λύσεις. Όπως και στις εξισώσεις, ο λ λέγεται παράμετρος και η εργασία αυτή λέγεται διερεύνηση.
Έχοντας υπόψη τον παραπάνω πίνακα, ακολουθούμε την εξής πορεία.

• Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D, Dx, Dy . Έχουμε :

Εικόνα

• Βρίσκουμε τις τιμές της παραμέτρου, για τις οποίες είναι D = 0 . Έχουμε :

Εικόνα

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :

✔ Αν D ≠0 , δηλαδή αν και λ ≠0 και λ ≠ 2, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση (x, y), με :

Εικόνα


Δηλαδή, για λ ≠0 και λ ≠ 2 , η μοναδική λύση του συστήματος είναι (-1/λ, -λ) .

✔ Αν D = 0 ,δηλαδή αν λ = 0 ή λ = 2 , τότε το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.

Συγκεκριμένα :

• Αν λ = 0 , τότε το σύστημα γράφεται

Εικόνα

και άρα είναι αδύνατο.

• Αν λ = 2 , τότε το σύστημα γράφεται

Εικόνα

και άρα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Επειδή ,

Εικόνα

Οι λύσεις του συστήματος είναι όλα τα ζεύγη της μορφής

Εικόνα

Μικροπείραμα 


Γραμμικό Σύστημα 3 x 3

Μία εξίσωση της μορφής αx+βy+γz=0 , με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α, β, γ διάφορο του μηδενός, λέγεται γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους.

Λύση
μιας γραμμικής εξίσωσης με τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθμών που την επαληθεύει.

Για παράδειγμα η εξίσωση 2x+3y+z=6 είναι μια γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους και η τριάδα (2, −1,5) είναι μια λύση της εξίσωσης, αφού 2·2+3(–1)+5=6.

Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους :

Εικόνα

και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 3 x 3 και γράφουμε

Εικόνα

Για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος χρησιμοποιούμε μεθόδους ανάλογες με τις μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 .

Έστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να λύσουμε το σύστημα

Εικόνα

Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο, π.χ. την (3) ως προς z, και αντικαθιστούμε στις άλλες δύο. Έτσι έχουμε :

Εικόνα


οπότε οι εξισώσεις (1) και (2) γράφονται :

Εικόνα


Οι (5), (6) ορίζουν το γραμμικό σύστημα

Εικόνα

από την επίλυση του οποίου βρίσκουμε ότι x=1 και y=2 .

Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των x και y στην (4) και βρίσκουμε z = − 3.

Άρα η λύση του αρχικού συστήματος είναι η τριάδα (1,2, −3).

ΣΧΟΛΙΟ

Επειδή η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 3 x 3, όπως είδαμε παραπάνω, ανάγεται στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2, προκύπτει ότι και ένα γραμμικό σύστημα 3 x 3 ή έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Να λύσετε το σύστημα Εικόνα

i) αλγεβρικά         ii) γραφικά.

2. Να λύσετε τα συστήματα

Εικόνα

3. Να λύσετε τα συστήματα :

Εικόνα

4. Να λύσετε τα συστήματα :

Εικόνα

5. Να λύσετε τα συστήματα με τη μέθοδο των οριζουσών :

Εικόνα

6. Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων των παρακάτω συστημάτων, χωρίς να τα λύσετε.

Εικόνα

7. Να λύσετε τα συστήματα :

Εικόνα

8. Να λύσετε τα συστήματα :

Εικόνα

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε1 και ε2 του διπλανού σχήματος.

ii) Ποιο σύστημα ορίζουν οι ε1 και ε2 και ποια είναι η λύση του συστήματος;

Μικροπείραμα 


Εικόνα

2. Ένα ξενοδοχείο έχει 26 δωμάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια;

Μικροπείραμα 


3. Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει 1,5 € και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4€. Τον αγώνα παρακολούθησαν 2200 άτομα και εισπράχτηκαν 5050 €. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι
ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα.

4. Η αντίσταση R ενός σύρματος ως συνάρτηση της θερμοκρασίας T μπορεί να βρεθεί με τον τύπο R = αT + β. Αν στους 20o C η αντίσταση ήταν 0,4 Ω και στους 80o C η αντίσταση ήταν 0,5 Ω , να βρείτε τα α και β .

5. Ένας χημικός έχει δύο διαλύματα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικότητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδροχλωρικό οξύ. Ποια ποσότητα από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξει ώστε να πάρει 100 ml διάλυμα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ;

6. Δίνονται οι ευθείες ε1: 2x + 4y = 3 και ε2 : x + 2y = α , α ∈

i) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ε1 και ε2 .

ii) Υπάρχουν τιμές της παραμέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέμνονται;

iii) Για ποιες τιμές της παραμέτρου α οι ευθείες είναι παράλληλες;

 

7. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του α ∈ τα κοινά σημεία των ευθειών :

Εικόνα

Μικροπείραμα1  Μικροπείραμα2 


8. Να λύσετε τα συστήματα :

Εικόνα

9. Οι κύκλοι του διπλανού σχήματος εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ισχύει Ο1Ο2 = 6,   Ο1Ο3 = 5 και Ο2Ο3 = 7 . Να υπολογίσετε τις ακτίνες των τριών κύκλων.

Εικόνα

10. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραμμένο του κύκλο που εφάπτεται των πλευρών στα σημεία Δ, Ε και Ζ. Nα υπολογίσετε τα τμήματα ΑΖ = x , BΔ = y και ΓΕ = z , συναρτήσει των πλευρών α , β και γ.

Εικόνα

11. Ένας χημικός έχει τρία διαλύματα από το ίδιο οξύ. Το πρώτο περιέχει 50% οξύ, το δεύτερο 10% οξύ και το τρίτο 30% οξύ. Ο χημικός θέλει να παρασκευάσει 52 lit διάλυμα περιεκτικότητας 32% σε οξύ, χρησιμοποιώντας και τα τρία διαλύματα και μάλιστα η ποσότητα του πρώτου διαλύματος να είναι διπλάσια από την ποσότητα του τρίτου διαλύματος. Να βρείτε πόσα λίτρα από κάθε διάλυμα θα χρησιμοποιήσει.

12. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών τριωνύμων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής y = αx+ β + γ . Να βρείτε τα τριώνυμα αυτά.

Εικόνα

Μικροπείραμα