Άλγεβρα (Β Γενικού Λυκείου - Γενικής Παιδείας) - Βιβλίο Μαθητή
5.1 Εκθετική συνάρτηση 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

5.2 Λογάριθμοι

Η έννοια του λογάριθμου

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός της γης αυξάνει με ετήσιο ρυθμό 1,7%. Το 1987 ήταν 5 δισεκατομμύρια κάτοικοι. Αν συνεχίζει να αυξάνει με τον ίδιο ρυθμό, πότε θα διπλασιαστεί;

ΛΥΣΗ:

Σύμφωνα με τον τύπο αν = α1 (1 +  ε 100)ν (βλ. ανατοκισμός σελ. 93) ο πληθυσμός της γης μετά από t χρόνια θα είναι:

N(t) = 5·109·1,017t κάτοικοι

Σύμφωνα με το πρόβλημα ζητάμε εκείνη την τιμή του t για την οποία ισχύει N(t) = 2·5·109 κάτοικοι, ζητάμε δηλαδή τη λύση της εξίσωσης

5·109·1,017t = 2·5·109

ή ισοδύναμα της:

(1)

1,017t = 2

Την εξίσωση αυτή, με τις γνώσεις που έχουμε μέχρι τώρα, μόνο με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(t) = 1,017t μπορούμε να τη λύσουμε. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι t ≈ 41. Επομένως ο πληθυσμός της γης θα διπλασιαστεί σε 41 περίπου χρόνια από το 1987, δηλαδή το 2028.

Εικόνα

Με ανάλογο τρόπο, όπως στο παραπάνω πρόβλημα, μπορούμε να βρούμε κατά προσέγγιση τη λύση της εξίσωσης:

αx = θ,        όπου α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0

Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση, αφού η εκθετική συνάρτηση f(x) = αx είναι γνησίως μονότονη και ο θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. Τη μοναδική αυτή λύση τη συμβολίζουμε με logαθ και την ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α.

Ώστε, αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, τότε:

αx = θ ⇔ x = logαθ

Ισοδύναμα αυτό διατυπώνεται ως εξής:

Ο logαθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ.

Για παράδειγμα:

log28 = 3

log42 = 12

log100,001 = -3

log0,50,25 = 2

,γιατί

,γιατί

,γιατί

,γιατί

8 = 23

2 = 41/2

0,001 = 10-3

0,25 = 0,52

Από τον παραπάνω ορισμό του λογαρίθμου προκύπτει αμέσως ότι, αν α > 0 με α ≠ 1, τότε για κάθε x ∈ R και για κάθε θ > 0 ισχύει:

 

logααx = x

 

και

 

αlogαθ = θ

Εξάλλου, επειδή 1 = α0 και α = α1, ισχύει:

 

logα1 = 0

 

και

 

logαα = 1

 

Ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι ιδιότητες που ακολουθούν και είναι γνωστές ως ιδιότητες των λογαρίθμων, είναι πολύ σημαντικές για το λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών.Οι ιδιότητες αυτές, όπως θα δούμε, προκύπτουν από αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων, πράγμα φυσικό άλλωστε, αφού και οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται ως εκθέτες δυνάμεων.

Αν α > 0 με α ≠ 1, τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ2, θ > 0 και k ∈ R ισχύουν:

1.     logα1θ2) = logαθ1 + logαθ2

2.     logαθ1θ2 = logαθ1 - logαθ2

3.     logαθk = klogαθ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1. Έστω ότι είναι:

(1)

logαθ1 = x1

και

logαθ2 = x2

Τότε έχουμε

αx1 = θ1

και

αx2 = θ2

οπότε:

αx1·αx2 = θ1θ2,

δηλαδή

αx1+x2 = θ1θ2

Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με

logα1θ2) = x1 + x2

από την οποία, λόγω των (1), έχουμε τελικά:

logα1θ2) = logαθ1 + logαθ2

2. Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο.

3. Έστω ότι είναι:

(2)

logαθ = x

Τότε έχουμε αx = θ οπότε:

αkx = θk

Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την

logαθk = kx

από την οποία, λόγω της (2), προκύπτει ότι:

logαθk = k·logαθ



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Επειδή για κάθε θ > 0 ισχύει Εικόνα, έχουμε

Εικόνα

Ας δούμε τώρα με ένα παράδειγμα πως οι παραπάνω ιδιότητες μας διευκολύνουν στο λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών.

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την τιμή της παράστασης:

A = 12 log2256 + 2log23 - log218

Έχουμε διαδοχικά:









= 12 log2256 + 2log23 - log218

[Ιδιότητα 3]

= log2256 + log232 - log218

= log216 + log29 - log218

[Ιδιότητες 1, 2]

= log2(16·918)

= log28 = log223 = 3

Δεκαδικοί λογάριθμοι

Πριν από την εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, για πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν λογάριθμους με βάση το 10. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι.

Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται απλά με logθ και όχι με logl0θ.

Επομένως:

logθ = x ⇔ 10x = θ

Οι δεκαδικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν:

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ

log 213

log 0,325

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

 2.328379603

-0.488116639

ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ

213       log =

0.325    log =


Φυσικοί λογάριθμοι

Γνωρίσαμε σε προηγούμενες παραγράφους τον αριθμό e και είδαμε τη σημασία του στην περιγραφή διαφόρων φαινομένων. Στα μαθηματικά είναι πολύ χρήσιμοι και οι λογάριθμοι με βάση τον αριθμό e. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι.

Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται με lnθ, και όχι με logeθ.

Επομένως:

lnθ = x ⇔ ex = θ

Οι φυσικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν:

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ

ln 325

ln 0,37

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

 5.783825172

-0.994252273

ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ

325       ln =

0.37      ln =


Αλλαγή βάσης

Αν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το 10 και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων.

Αν α, β > 0, με α, β ≠ 1 τότε για κάθε θ > 0 ισχύει:     logβθ = logαθlogαβ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι είναι     logβθ = x.    Τότε     θ = βx,     οπότε:

(επειδή x = logβθ)

logαθ = logαβx = xlogαβ = logβθ·logαβ

Άρα έχουμε:

logβθ·logαβ = logαθ,     οπότε     logβθ = logαθlogαβ



ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τον τύπο αυτό έχουμε:

logβθ = logθlogβ       και       logβθ = lnθlnβ

Επομένως ο υπολογισμός του logβθ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών λογαρίθμων logθ και logβ, ή των φυσικών λογαρίθμων lnθ και lnβ.

Για παράδειγμα είναι:

log217 = log17log2 = 4,087462841



Εικόνα   

Επειδή το σύμβολο logαθ ορίσθηκε μόνο όταν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, όπου στο εξής το συναντάμε, θα εννοείται ότι α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0 χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα.


ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 










Σύμφωνα με την κλίμακα Richter το μέγεθος R ενός σεισμού εντάσεως I δίνεται από τον τύπο

R = log II0

όπου Ι0 μια ορισμένη ελάχιστη ένταση.

i)   

Να βρεθεί το μέγεθος R ενός σεισμού που έχει ένταση I = 1000Ι0.

ii)  

Να εκφρασθεί το I ως συνάρτηση του R και του Ι0.

iii) 

Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η ένταση ενός σεισμού από την ένταση ενός άλλου σεισμού που είναι μικρότερος κατά 1 μονάδα Richter.

ΛΥΣΗ

i)   

Επειδή I = 1000Ι0 από τον τύπο R = log II0 βρίσκουμε ότι:

R = log 1000Ι0I0 = log1000 = 3

ii)  

Από τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου προκύπτει ότι

(1)

R = log II0II0 = 10R ⇔ I = I0·10R

iii) 





Έστω δυο σεισμοί με εντάσεις I, I′ και μεγέθη R, R′ αντίστοιχα. Αν R′ = R + 1, τότε λόγω του τύπου (1) έχουμε:

I′I = I0·10R′I0·10R = 10R+110R = 10, οπότε Ι′ = 10·I

Επομένως η ένταση I′ ενός σεισμού είναι 10πλάσια της έντασης I ενός άλλου σεισμού μικρότερου κατά 1 μονάδα Richter.

 










Οι χημικοί χρησιμοποιούν έναν αριθμό που συμβολίζεται με pΗ για να περιγράψουν την οξύτητα ενός διαλύματος. Εξ' ορισμού είναι pH = -log[H+], όπου [H+] είναι η συγκέντρωση των Η+ σε γραμμοϊόντα ανά λίτρο.

i)  



Να υπολογίσετε το pΗ των εξής ουσιών:

- του ξιδιού: [H+] ≈ 6,3·10-3

- του νερού της θάλασσας:: [H+] ≈ 5,0·10-9

ii) 


Να υπολογίσετε τη συγκέντρωση γραμμοϊόντων υδρογόνου [Η+] στις εξής ουσίες:

- Μπύρα: pH ≈ 4,2

- Γάλα: pH ≈ 6,6

ΛΥΣΗ

i)  

- Το pΗ του ξιδιού είναι ίσο με -log(6,3·10-3) ≈ 2,2

- Το pΗ του νερού της θάλασσας είναι ίσο με -log(5,0·10-9) ≈ 8,3

ii) 




- Επειδή για τη μπύρα είναι pΗ ≈ 4,2, έχουμε

4,2 = -log[H+] ⇔ log[H+] = -4,2 ⇔ [H+] = 10-4,2 ⇔ [H+] = 6,3·10-5

- Επειδή για το γάλα είναι pΗ ≈ 6,6, έχουμε

6,6 = -log[H+] ⇔ log[H+] = -6,6 ⇔ [H+] = 10-6,6 ⇔ [H+] = 2,5·10-7

 

Αν η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση του φωσφόρου Ρ32 είναι N(t) = N0·e-0,0495t, όπου t ο χρόνος σε ημέρες, να βρεθεί η ημιζωή του φωσφόρου Ρ32.

ΛΥΣΗ

Αν t είναι η ζητούμενη ημιζωή, τότε θα είναι N(t) = N02. Επομένως έχουμε:

N0·e-0,0495t = N02 





⇔ e-0,0495t = 12

⇔ -0,0495t = ln 12

⇔ -0,0495t = -0,69314718

⇔ t = 14 μέρες


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

   Α′ ΟΜΑΔΑΣ

1.

Να υπολογισθούν, χωρίς τη χρήση υπολογιστή τσέπης, οι λογάριθμοι:

 

i) log100,001

ii) log11010

iii) log1232

 

iv) log9273

v) log216

vi) Εικόνα

2.

Για ποια τιμή του x ισχύει:

 

i) log10x = 3

ii) log4x = - 12

iii) log2x = 23

3.

Για ποια τιμή του α ισχύει:

 

i) logα16 = 4

ii) logα8 = 32

iii) logα0,1 = -3

4.

Να αποδείξετε ότι:

 

i) log23 + 2log24 - log212 = 2

ii) 3log102 + log105 - log104 = 1

 

iii) 12log1025 + 13log108 - 15log1032 = 1 - log102

 

iv) 2log26-2log23 = 2

 

v) 2log2(2 + √2) + log2(6 - 4√2) = 2

5.

Ο αριθμός των βακτηριδίων που εμφανίζονται σε μια καλλιέργεια μετά από t ώρες δίνεται από τον τύπο Q(t) = Q0e0,34t, όπου Q0 είναι ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων. Πόσος χρόνος θα περάσει ώστε ο αριθμός των βακτηριδίων να δεκαπλασιασθεί;

6.

Κάτω από σταθερή θερμοκρασία, η ατμοσφαιρική πίεση p (σε Pascals), σε ύψος h (σε μέτρα) δίνεται από τον τύπο

p = 101300·ekh

i)  

Να βρείτε την τιμή του k, αν σε ύψος 3050m η ατμοσφαιρική πίεση είναι 68900 Pascals.

ii) 

Ποια είναι η ατμοσφαιρική πίεση σε ύψος 1000m;

7.

Οι αστέρες ταξινομούνται ανάλογα με τη (φαινόμενη) λαμπρότητά τους σε κατηγορίες που καλούνται μεγέθη. Οι ασθενέστεροι αστέρες με λαμπρότητα L0 λέμε ότι έχουν μέγεθος 6. Κάθε άλλος αστέρας λαμπρότητας L έχει μέγεθος m που καθορίζεται από τον τύπο:

m = 6 - 2,5·logLL0

i)  

Να βρείτε το μέγεθος m του αστέρα που έχει λαμπρότητα Εικόνα.

ii) 

Πόσες φορές λαμπρότερος είναι ένας αστέρας 1ου μεγέθους από έναν αστέρα 6ου μεγέθους;

8.

Οι πωλήσεις S(t) (σε χιλιάδες μονάδες) ενός προϊόντος σε διάστημα t χρόνων μετά την εισαγωγή του στην αγορά δίνονται από τον τύπο S(t) = 100(1 - ekt).

i)  

Να υπολογίσετε το k, αν οι πωλήσεις κατά το πρώτο έτος ανήλθαν σε 15000 μονάδες.

ii) 

Πόσες θα είναι οι πωλήσεις στα 5 πρώτα χρόνια;



   B′ ΟΜΑΔΑΣ

1.

Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

 

i) 41- 12log23

ii) 912log318-1

2.

Αν οι θετικοί αριθμοί θ1, θ2, θ3, … είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι logθ1, logθ2, logθ3, … είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και αντιστρόφως.

3.

Μιας αριθμητικής προόδου ο πρώτος όρος είναι ίσος με log2 και ο δεύτερος όρος με log8. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα Σν των ν-πρώτων όρων της δίνεται από τον τύπο

Σν = ν2·log2

4.

Να αποδείξετε ότι:

Εικόνα

5.

Να αποδείξετε ότι:

log(1 - 12) + log(1 - 13) + log(1 - 14) + … + log(1 - 1ν) = -logν

6.

Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει:

logαx = logα2x2

7.

Να αποδείξετε ότι:

 

i) logαβ·logβα = 1

ii) logαβ2·logβα3 = 6

 

iii) logαβ·logβγ·logγα = 1

 

8.

Να αποδείξετε ότι:

i)  

logαθ + log1αθ = 0

ii) 

logα(αβ) + logβ(αβ) = logα(αβ)·logβ(αβ)