5.1 Εκθετική συνάρτηση

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της δύναμης με βάση έναν πραγματικό αριθμό και εκθέτη ακέραιο. Συγκεκριμένα:

- Στην αρχή ορίσαμε τη δύναμη ενός πραγματικού αριθμού με εκθέτη θετικό ακέραιο, ως εξής:

$α^ν = \begin{cases} \underbrace{α\cdot α\cdots \cdot α}_{v\text{ παράγοντες}} & ,αν\quad ν > 1\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad, α \in ℝ \quad και\quad ν \in \mathbb{N}^* \\ α & ,αν\quad ν = 1\end{cases} $

Για παράδειγμα:

(- 12)³ = (- 12)(- 12)(- 12) = - 18

- Στη συνέχεια με τη βοήθεια των ισοτήτων:

α⁰ = 1     και     α^-ν = 1α^ν = (1α)^ν, α ≠ 0     και     ν ∈ ℕ ^∗

επεκτείναμε την έννοια της δύναμης ενός πραγματικού αριθμού και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ακέραιος. Για παράδειγμα:

(- 23)^-2 = (- 32)² = 94

Στη συνέχεια θα ορίσουμε παραστάσεις της μορφής 2¹², 5¹⁴ και γενικά της μορφής α^μν, όπου α ≥ 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος.

Τις παραστάσεις αυτές θα ονομάσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Ο ορισμός θα γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων. Τι θα πρέπει να σημαίνει π.χ. το 3²⁵; Αν απαιτήσουμε να ισχύει η ιδιότητα (α^p)^q = α^pq και για τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη, τότε θα είναι:

(3²⁵)⁵ = 3^25·5 = 3²

Άρα πρέπει ο 3²⁵ να είναι λύση της εξίσωσης x⁵ = 3², δηλαδή ο αριθμός $\sqrt[5]{3^2}$.

Πρέπει δηλαδή να είναι $3^\frac{2}{5} = \sqrt[5]{3^2}$.

Γενικά

Αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε :

Επιπλέον, αν μ, ν, θετικοί ακέραιοι, ορίζουμε : 0^μν = 0.

Έτσι π.χ.

$8^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

$27^{-\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{27^{-4}} = \sqrt[3]{\dfrac{1}{27^4}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{27^4}} = \dfrac{1}{3^4}$

Αποδεικνύεται ότι, όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο ισχύουν και για τις δυνάμεις με εκθέτη ρητό.

Το γεγονός αυτό διευκολύνει το λογισμό με τα ριζικά. Έτσι είναι π.χ.

$\sqrt[4]{α} \cdot \sqrt[3]{α} = α^{\frac{1}{4}} \cdot α^{\frac{1}{3}} = α^{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = α^\frac{7}{12} = \sqrt[12]{α^7}$

Οι δυνάμεις αυτές υπολογίζονται εύκολα με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης ως εξής:

Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη

Γεννιέται τώρα το ερώτημα:

Μπορούμε να ορίσουμε δυνάμεις της μορφής α^x με x άρρητο, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρούνται οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων με ρητό εκθέτη; Μπορούμε για παράδειγμα να ορίσουμε την 3^√2;

Όπως είδαμε (βιβλίο Β' Γυμνασίου σελ. 104) οι δεκαδικές προσεγγίσεις του √2 κατά προσέγγιση ακέραιας μονάδας, δεκάτου, εκατοστού κτλ. είναι

(1)

1,   1,4 ,   1,41 ,   1,414 ,   1,4142 ,   1,41421 ,   1,414213, …

Ας πάρουμε τώρα την ακολουθία αυτή των δεκαδικών προσεγγίσεων του √2 και την αντίστοιχη ακολουθία των δυνάμεων του 3:

(2)

3¹ ,   3^1,4 ,   3^1,41 ,   3^1,414 ,   3^1,4142 ,   3^1,41421 ,   3^1,414213 , …

Με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε ότι:

3¹ = 3

3^1,4 $\simeq$ 4, 6555367

3^1,41 $\simeq$ 4,7 069650

3^1,414 $\simeq$ 4,72 76950

3^1,4142 $\simeq$ 4,728 7339

3^1,41421 $\simeq$ 4,728 7839

3^1,414213 $\simeq$ 4,7288 015

Αν παρατηρήσουμε τους αριθμούς αυτούς μας δίνεται η εξής εντύπωση: Όταν το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της ακολουθίας (1) αυξάνει, οι όροι της ακολουθίας (2) φαίνεται να προσεγγίζουν ένα ορισμένο αριθμό, που λέγεται οριακή τιμή ή όριο της ακολουθίας αυτής. Είναι επομένως λογικό να ορίσουμε τη δύναμη 3^√2 ως την πιο πάνω οριακή τιμή. Έτσι με προσέγγιση τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων είναι 3^√2 $\cong$ 4,7288.

Γενικά αποδεικνύεται ότι:

Αν α > 0, x άρρητος και ρ_ν η δεκαδική προσέγγιση του x με ν δεκαδικά ψηφία, τότε καθώς το ν αυξάνει τείνοντας στο +∞, οι όροι της ακολουθίας (α^ρ_ν) «προσεγγίζουν» έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό, τον οποίο στο εξής θα ονομάζουμε όριο της ακολουθίας (α^ρ_ν).

Το όριο αυτό συμβολίζεται με α^x και λέγεται δύναμη του α με εκθέτη x. Συμβολικά γράφουμε:

$α^x = \lim_{ν\to\infty}α^{ρ_ν}$

Επιπλέον, για κάθε x > 0, ορίζουμε 0^x = 0.

Ο υπολογισμός δυνάμεων με άρρητο εκθέτη γίνεται με υπολογιστή τσέπης όπως στα παρακάτω παραδείγματα:

Οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων, γνωστές από την Α′ Λυκείου, αποδεικνύεται ότι ισχύουν και για δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό αριθμό. Συγκεκριμένα:

Μικροπείραμα

Εκθετική συνάρτηση

Έστω α ένας θετικός αριθμός. Όπως είδαμε προηγουμένως για κάθε x ∈ ℝ ορίζεται η δύναμη α^x. Επομένως αντιστοιχίζοντας κάθε x ∈ ℝ στη δύναμη α^x, ορίζουμε τη συνάρτηση:

f : ℝ → ℝ     με     f(x) = α^x,

η οποία, στην περίπτωση που είναι α ≠ 1, λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α.

Αν είναι α = 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f(x) = 1.

Έστω τώρα η εκθετική συνάρτηση f(x) = 2^x. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών:

Τοποθετώντας τα σημεία (x, y) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη έχουμε το διπλανό σχήμα.

Η συνάρτηση αυτή, καθώς και κάθε συνάρτηση της μορφής

f(x) = α^x     με α > 1,

αποδεικνύεται ότι:

● 

Έχει πεδίο ορισμού το ℝ.

● 

Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, +∞) των θετικών πραγματικών αριθμών.

● 

Είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ. Δηλαδή για κάθε x₁, x₂ ∈ ℝ ισχύει:

αν     x₁ < x₂,     τότε     α^x₁ < α^x₂

● 

Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y′y στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x.

Έστω επιπλέον και η εκθετική συνάρτηση g(x) = (12)^x. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών:

Τοποθετώντας τα σημεία (x, y) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη έχουμε το διπλανό σχήμα.

Η συνάρτηση αυτή, καθώς και κάθε συνάρτηση της μορφής

f(x) = α^x     με 0 < α < 1,

αποδεικνύεται ότι:

● 

Έχει πεδίο ορισμού το ℝ.

● 

Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, +∞) των θετικών πραγματικών αριθμών.

● 

Είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ. Δηλαδή για κάθε x₁, x₂ ∈ ℝ ισχύει:

αν     x₁ < x₂,     τότε     α^x₁ > α^x₂

● 

Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y′y στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα των x.

Μικροπείραμα    

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για τις συναρτήσεις f(x) = 2^x και g(x) = (12)^x παρατηρούμε ότι για κάθε x ∈ R ισχύει:

g(x) = (12)^x = 12^x = 2^− x = f(-x)

Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y′y.

Μικροπείραμα

ΣΧΟΛΙΟ Από τη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης     f(x) = α^x, με 0 < α ≠ 1,     προκύπτει ότι:

αν x₁ ≠ x₂ ,  τότε  α^x₁ ≠ α^x₂

οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι:

αν  α^x₁ = α^x₂  , τότε x₁ = x₂.

Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:

α^x₁ = α^x₂ ⇔ x₁ = x₂

Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στον εκθέτη. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται εκθετικές εξισώσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) 2^3x = 164                      ii) 9^x - 8·3^x - 9 = 0

ΛΥΣΗ

i)  

Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

2^3x = 164

  ⇔ 2^3x = 2^− 6

[Επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι 1-1]

  ⇔ 3x = -6

  ⇔ x = -2

ii) 

Η εξίσωση γράφεται

3^2x - 8·3^x - 9 = 0 ⇔ (3^x)² - 8·3^x - 9 = 0

Αν θέσουμε 3^x = y, αυτή γίνεται y² - 8y - 9 = 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς -1 και 9. Επομένως η αρχική εξίσωση έχει ως λύσεις τις λύσεις των εξισώσεων:

3^x = -1     και     3^x = 9

Απ' αυτές η πρώτη είναι αδύνατη, αφού 3^x > 0, ενώ η δεύτερη γράφεται 3^x = 3² και έχει ρίζα το x = 2, που είναι και μοναδική ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Να λυθεί το σύστημα:

$\begin{cases} 2 \cdot 3^x - 3 \cdot 2^y = -22\\ 5 \cdot 3^x + \dfrac{1}{2} \cdot 2^y = 9 \end{cases} $                 (εκθετικό σύστημα)

ΛΥΣΗ

Αν θέσουμε 3^x = ω και 2^y = φ το σύστημα γίνεται:

$\begin{cases} 2ω - 3φ = -22\\ 5ω + \dfrac{1}{2}φ = 9\end{cases} $

Το γραμμικό αυτό σύστημα έχει λύση ω = 1 και φ = 8, οπότε το αρχικό σύστημα γράφεται:

$\begin{cases} 3^x = 1\\ 2^y = 8 \end{cases} $            ή ισοδύναμα            $\begin{cases} 3^x = 3^0\\ 2^y = 2^3 \end{cases} $

από το οποίο παίρνουμε x = 0 και y = 3.

Να λυθούν οι ανισώσεις:

i) 3^x2− 3x > 19                      ii) (12)^x2+x < 14

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε            3^x2-3x > 19

  ⇔ 3^x2− 3x > 3^− 2

[αφού 3 > 1]

  ⇔ x² - 3x > -2

  ⇔ x² - 3x + 2 > 0

  ⇔ x < 1     ή     x > 2

ii) Έχουμε            (12)^x2+x < 14

  ⇔ (12)^x2+x < (12)²

[αφού 12 < 1]

  ⇔ x² + x > 2

  ⇔ x² + x - 2 > 0

  ⇔ x < -2     ή     x > 1

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) f(x) = 2^x + 3                      ii) g(x) = 2^x −3                      iii) h(x) = 2^x −3 + 2

ΛΥΣΗ

i)   

Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της φ(x) = 2^x κατά 3 μονάδες προς τα πάνω.

ii)  

Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της φ(x) = 2^x κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά.

iii) 

Τέλος η γραφική παράσταση της h προκύπτει από δυο μετατοπίσεις της φ(x) = 2^x

- μιας οριζόντιας κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και

- μιας κατακόρυφης κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.

Μικροπείραμα    Μικροπείραμα -Παράδειγμα 5

Ο αριθμός e

Μια Τράπεζα για να διαφημιστεί κάνει μια πολύ ειδική προσφορά. Όποιος καταθέσει την επόμενη μέρα ποσό 1 εκατομμυρίου ευρώ, αυτό θα τοκιστεί με ετήσιο επιτόκιο 100% και με δυνατότητα ανατοκισμού του 1, 2, 3, … ή ν φορές το χρόνο, σε ίσα χρονικά διαστήματα, ανάλογα με την επιθυμία του καταθέτη.

Έχει σημασία για τον καταθέτη το πόσες φορές το χρόνο θα ανατοκιστεί το κεφάλαιο:

Μικροπείραμα

Από το γνωστό τύπο του ανατοκισμού α_ν = α₀(1 + τ)^ν, όπου τ =  ε 100.

● αν ν = 1, είναι τ = 1 και α₁ = 1·(1 + 1)¹ = 2 εκατομμύρια ευρώ.

● αν ν = 2, είναι τ = 12 και α₂ = 1·(1 + 12)² = 2,25 εκατομμύρια ευρώ.

● αν ν = 3, είναι τ = 13 και α₃ = 1·(1 + 13)³ = 2,44 εκατομμύρια ευρώ.

…………………………………………………………………………………

● αν ν = ν, είναι τ = 1ν και α_ν = 1·(1 + 1ν)^ν = (1 + 1ν)^ν εκατομμύρια ευρώ.

Αν χρησιμοποιήσουμε υπολογιστή τσέπης κατασκευάζουμε τον πίνακα:

Παρατηρούμε ότι, καθώς το ν αυξάνει, αυξάνει και το (1 + 1ν)^ν και προσεγγίζει έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό. Ο αριθμός αυτός είναι άρρητος και συμβολίζεται με e. Ο συμβολισμός αυτός οφείλεται στο μεγάλο Ελβετό, μαθηματικό Leohard Euler (1707-1783). Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e = 2,71828.

Συμβολικά γράφουμε

Μικροπείραμα    Μικροπείραμα

Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι οι τιμές του ν έχουν μεγάλη σημασία όσο αυτές παραμένουν «μικρές». Από μια τιμή όμως και μετά, όσο και αν αυξάνει το ν, το τελικό ποσό δεν μεταβάλλεται ουσιαστικά.

Σε πολλές πραγματικές εφαρμογές εμφανίζονται εκθετικές συναρτήσεις με βάση τον αριθμό e. Η απλούστερη τέτοια συνάρτηση είναι η f(x) = e^x. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται απλώς εκθετική και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

Μία ακόμη εκθετική συνάρτηση με βάση το e είναι η

(1)

Q(t) = Q₀·e^ct

Αυτή εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος, που μεταβάλλεται με το χρόνο t. To Q₀ είναι η αρχική τιμή του Q (για t = 0) και είναι Q₀ > 0, ενώ το c είναι μια σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως νόμος της εκθετικής μεταβολής. Αν c > 0 η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής αύξησης, ενώ αν c < 0 η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής απόσβεσης. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής αποτελεί ένα ικανοποιητικό μοντέλο για πάρα πολλές εφαρμογές της Φυσικής, της Βιολογίας, της Στατιστικής και άλλων επιστημών. Για παράδειγμα ο αριθμός των γραμμαρίων μιας ραδιενεργού ουσίας κατά τη χρονική στιγμή t (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από τον τύπο Q(t) = 200·e^− 0,3t. Αυτό σημαίνει ότι η ουσία που παραμένει αδιάσπαστη μετά από 7 δευτερόλεπτα είναι:

Q(7) = 200e^− 0,3·7 $\simeq$ 200(2,718)^− 2,1 $\simeq$ 24,5 γραμμάρια.

Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού ουσίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί αναφέρεται η ημιζωή ορισμένων ραδιενεργών ισοτόπων:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 5 χρόνια, να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση αυτού είναι Q(t) = Q₀2 ^−t/5.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αφού η ημιζωή είναι 5 χρόνια, από το νόμο της εκθετικής απόσβεσης Q(t) = Q₀·e^ct έχουμε:

Q₀2 = Q₀·e^ct 

⇔ e^5c = 12

⇔ $e^c = \sqrt[5]{\dfrac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{5}}$

Άρα Q(t) = Q₀2^− t/5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ