3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω προκύπτουν ορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Οι ταυτότητες αυτές είναι χρήσιμες στο λογισμό με παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Συγκεκριμένα ισχύουν:

ημ²ω + συν²ω = 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν M (x, y) είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε θα είναι :

x = συνω και y = ημω

Επειδή όμως ,

(OM) =1 και (OM)² = |x|² + |y|² = x² + y²

θα ισχύει :

x² + y² = 1

οπότε θα έχουμε :

ημ²ω + συν²ω = 1

Μικροπείραμα

$εφω = \dfrac{ημω}{συνω}$ και $σφω = \dfrac{συνω}{ημω}$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Στο ίδιο σχήμα έχουμε :

$εφω = \dfrac{y}{x} = \dfrac{ημω}{συνω}$ (εφόσον x = συνω ≠ 0 )

$σφω = \dfrac{x}{y} = \dfrac{συνω}{ημω}$ (εφόσον y = ημω ≠ 0 ) .

Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων (1) και (2), θα αποδείξουμε δύο επιπλέον χρήσιμες ταυτότητες.

εφω∙σφω = 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Είναι :

$εφω = \dfrac{ημω}{συνω}$ και $σφω = \dfrac{συνω}{ημω}$ (εφόσον συνω ≠ 0 και ημω ≠ 0)

Επομένως :

$εφω \cdot σφω = \dfrac{ημω}{συνω} \cdot \dfrac{συνω}{ημω} = 1$ .

Μικροπείραμα

$συν^2ω = \dfrac{1}{1 + εφ^2ω}$ και $ημ^2ω = \dfrac{εφ^2ω}{1 + εφ^2ω}$ .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας $ηµ^2ω + συν^2ω = 1 $ με $συν^2ω \neq 0$ και έχουμε:

$\dfrac{ημ^2ω}{συν^2ω} + \dfrac{συν^2ω}{συν^2ω} = \dfrac{1}{συν^2ω}$ ⇔ $εφ^2ω + 1 = \dfrac{1}{συν^2ω}$ ⇔ $συν^2ω = \dfrac{1}{1 + εφ^2ω}$ .

Άρα $συν^2ω = \dfrac{1}{1 + εφ^2ω}$ .

ii) Αν στην ταυτότητα $ηµ^2ω + συν^2ω = 1 $ θέσουμε $συν^2ω = \dfrac{1}{1 + εφ^2ω}$, έχουμε:

$ηµ^2ω + \dfrac{1}{1 + εφ^2ω} = 1 $ ⇔ $ηµ^2ω = 1 - \dfrac{1}{1 + εφ^2ω} $ ⇔ $ηµ^2ω = \dfrac{εφ^2ω}{1+εφ^2ω}$.

Άρα $ηµ^2ω = \dfrac{εφ^2ω}{1 + εφ^2ω}$ .

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1^η Αν ηµω = $\dfrac{5}{13}$ και 90^o < ω < 180^o να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω.

ΛΥΣΗ

Από την ταυτότητα $ηµ^2ω + συν^2ω = 1 $ προκύπτει ότι $συν^2ω = 1 - ημ^2ω$ .

Αντικαθιστούμε το ημω με $\dfrac{5}{13}$ και έχουμε:

$συν^2ω = 1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{169 - 25}{169} = \dfrac{144}{169}$.

Επειδή 90^o < ω < 180^o , είναι συνω < 0 , οπότε έχουμε:

$συνω = - \sqrt{\dfrac{144}{169}} = - \dfrac{12}{13}$

Από τις ταυτότητες τώρα $εφω = \dfrac{ημω}{συνω}$ και $σφω = \dfrac{συνω}{ημω}$, έχουμε:

$εφω = \dfrac{\dfrac{5}{13}}{-\dfrac{12}{13}} = - \dfrac{5}{12}$ και $σφω = \dfrac{-\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}} = - \dfrac{12}{5}$ .

2^η Να αποδειχθεί ότι

i) ημ⁴ω + συν⁴ω = 1 - 2ημ²ω συν²ω ii) ημ⁴ω - συν⁴ω = 2ημ²ω-1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Έχουμε διαδοχικά:

$ημ^4ω + συν^4ω $	= $(ημ^2ω)^2 + (συν^2ω)^2 $
	$ = (ημ^2ω + συν^2ω)^2 - 2ημ^2ω \cdot συν^2ω $
	$= 1 - 2ημ^2ω \cdot συν^2ω,\quad (Επειδή \quad ημ^2ω + συν^2ω = 1)$

ii) Έχουμε διαδοχικά:

$ημ^4ω - συν^4ω $	$= (ημ^2ω)^2 - (συν^2ω)^2 $
	$= (ημ^2ω + συν^2ω) (ημ^2ω - συν^2ω)$
	= $ημ^2ω - συν^2ω \quad\quad\quad (Επειδή \quad ημ^2ω + συν^2ω = 1)$
	$= ημ^2ω - ( 1 - ημ^2ω) = 2ημ^2ω - 1 .$

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1. Αν ημx = $\dfrac{3}{5}$ και $\dfrac{π}{2}$ < x < π , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.

2. Αν συνx = $-\dfrac{2}{3}$ και π < x < $\dfrac{3π}{2}$ , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.

3. Αν εφx = -$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ και $\dfrac{3π}{2}$ < x <2π , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.

4. Αν σφx = $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$και 0 < x < $\dfrac{π}{2}$ , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.

5. Αν σφx = -2 και $\dfrac{3π}{2} < x <2π $, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\dfrac{2ημχσυνχ}{1 + συνχ}$ .

6. Να εξετάσετε, αν υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες : i) Να ισχύει συγχρόνως ημx = 0 και συνx = 0. ii) Να ισχύει συγχρόνως ημx = 1 και συνx = 1. iii) Να ισχύει συγχρόνως ημx = $\dfrac{3}{5}$ και συνx = $\dfrac{4}{5}$ .

7. Να αποδείξετε ότι, τα σημεία M ( x, y) του επιπέδου με x = 3συνθ και y = 3ημθ, είναι σημεία κύκλου O(0,0) κέντρου και ακτίνας ρ = 3.

8. Αν ισχύει x = 2συνθ και y = 3ημθ , να δείξετε ότι 9x² + 4y² =36.

9. Αν είναι x = r ημθσυνφ , y = r ημθημφ και z = r συνθ , να δείξετε ότι x² + y² + z² = r² . Μικροπείραμα

10. Να αποδείξετε ότι : i) $\dfrac{ημα}{1 + συνα} = \dfrac{1 - συνα}{ημα}$ ii) $συν^4α - ημ^4α = 2συν^2α - 1$ .

11. Να αποδείξετε ότι :

i) $\dfrac{ημθ}{1 + συνθ} + \dfrac{1 + συνθ}{ημθ} = \dfrac{2}{ημθ}$ ii) $\dfrac{συνx}{1 - ημx} + \dfrac{συνx}{1 + ημx} = \dfrac{2}{συνx}$ .

12. Να αποδείξετε ότι :

i) $\dfrac{εφα + σφβ}{εφβ + σφα} = \dfrac{εφα}{εφβ}$ ii) $εφ^2α - ημ^2α = εφ^2α \cdot ημ^2α$ .

13. Να αποδείξετε ότι :

i) $\dfrac{συνx}{1 - εφx} + \dfrac{ημx}{1 - σφx} = ημx + συνx$ ii) $(1 - συνx) \left(1 + \dfrac{1}{συνx}\right) = ημx \cdot εφx $

iii) $\dfrac{1}{εφx + σφx} = ημx \cdot συνx $ iv) $ \left(\dfrac{1}{ημx} - ημx\right) \left(\dfrac{1}{συνx} - συνx\right) = ημx \cdot συνx $.

B′ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν ημx + συνx = α , να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις :

i) $ημx \cdot συνx$ ii) $\dfrac{1}{ημx} + \dfrac{1}{συνx}$

iii) $εφx + σφx$ iv) $ημ^3x + συν^3x .$

Μικροπείραμα

2. Να αποδείξετε ότι :

i) $ημ^4x + συν^4x = 1 - 2ημ^2x \cdot συν^2x$ ii) $ημ^6x + συν^6x = 1 - 3ημ^2x \cdot συν^2x$ .

iii) Η παράσταση $2 (ημ^6x + συν^6x) - 3(ημ^4x + συν^4x)$ έχει τιμή ανεξάρτητη του x , δηλαδή είναι σταθερή.

3. Αν -$\dfrac{π}{2}$ < x < $\dfrac{π}{2}$ , να αποδείξετε ότι $\sqrt{\dfrac{1 + ημx}{1 - ημx}} - \sqrt{\dfrac{1 - ημx}{1 + ημx}} = 2εφx .$

4. Αν 0 ≤ x < $\dfrac{π}{2}$ , να αποδείξετε ότι $\dfrac{\sqrt{1 + συνx} + {\sqrt{1 - συνx}}} {\sqrt{1 + συνx} - {\sqrt{1 - συνx}}} = \dfrac{1 + ημx}{συνx} = \dfrac{συνx}{1 - ημx}$ .