Φυσική (Β Λυκείου Θετικών Σπουδών) - Βιβλίο Μαθητή
3-5 Τα πρώτα σημαντικά αποτελέσματα 3-7 Τα συμπεράσματα της κινητικής θεωρίας έχουν ευρύτερη εφαρμογή Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
3-6 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

Το πείραμα του Zartman (Ζάρτμαν)

 

Ο αριθμός των μορίων ενός αερίου, όσο μικρή και αν είναι η ποσότητά του, είναι τεράστιος. Το κάθε μόριο συγκρούεται και αλλάζει ταχύτητα περίπου ένα δισεκατομμύριο φορές το δευτερόλεπτο. Έτσι είναι φανερό ότι η ερώτηση πόσα μόρια έχουν κάποια στιγμή μια συγκεκριμένη ταχύτητα υ δεν έχει νόημα. Μπορούμε όμως να βρούμε τον αριθμό των μορίων dN που έχουν ταχύτητες από υ μέχρι υ+dυ.

 

Το 1920 έγινε το πρώτο πείραμα για τη μέτρηση των μοριακών ταχυτήτων. Το πείραμα που θα περιγράψουμε είναι το πείραμα με το οποίο ο Zartman προσδιόρισε πειραματικά τις ταχύτητες των μορίων ενός αερίου.

 

Μέσα σε ένα φούρνο εξαερώνεται μια ουσία. Τα μόρια του ατμού διαφεύγουν από ένα άνοιγμα του φούρνου προς ένα θάλαμο κενού (σχ.1.10). Στο θάλαμο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ένας κύλινδρος που φέρει, παράλληλα στον άξονά του, λεπτή σχισμή και στο εσωτερικό της κυρτής του επιφάνειας φέρει ειδικό ευαίσθητο φίλμ. Τα μόρια του ατμού που εισέρχονται από τη σχισμή μέσα στον κύλινδρο συνεχίζουν να κινούνται ευθύγραμμα μέχρι να συναντήσουν το φιλμ, στο οποίο προσκολλώνται και αφήνουν τα ίχνη τους σε απόσταση από το σημείο του φιλμ που βρίσκεται ακριβώς απέναντι από την σχισμή.

Αν u η γραμμική ταχύτητα του φιλμ και t ο χρόνος που χρειάζεται το μόριο για να διατρέξει τη διάμετρο του κυλίνδρου

η απόσταση d ισούται με          d = ut
όμως    t = 2r / u
όπου υ  η ταχύτητα των μορίων    
και    u = ω r
όπου r η ακτίνα του κυλίνδρου    

 

Επομένως,   d  =   ut   =   ωr  2r  =  2ωr2
υ υ

 

 


Η ταχύτητα των μορίων υπολογίζεται από τη σχέση υ = 2ω r2 / d. Δηλαδή, η μέτρηση της ταχύτητας των μορίων βασίζεται στη μέτρηση της απόστασης d.

 

Στην πράξη, αυτό που μπορούμε να υπολογίσουμε είναι πόσα μόρια πέφτουν σε κάθε σημείο του φιλμ και επομένως να υπολογίσουμε την κατανομή των μορίων στις διάφορες ταχύτητες.

 

Σήμερα είναι δυνατή η μέτρηση των μοριακών ταχυτήτων των αερίων με μεγάλη ακρίβεια.

 

To μοντέλο της πειραματικής διάταξης του Zartman

 





















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Σχ. 3.10 To μοντέλο της πειραματικής διάταξης του Zartman
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3-5

Από ένα πείραμα ανάλογο με το πείραμα του Zartman, μετρήθηκαν οι ταχύτητες των μορίων και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας.

υ (m/s)
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
Δυ (m/s)
0,4 0,25 0,2 0,1 0,2 0,2 0,4 0,5 0,8 1,2 5
ΔΝ (μόρια)
200 240 400 220 360 240 200 200 160 120 250
ΔΝ/Δυ (μόρια/m/s)
500 960 2000 2200 1800 1200 500 400 200 100 50

όπου

υ :        ταχύτητες των μορίων
Δυ :   περιοχές ταχυτήτων γύρω από κάθε ταχύτητα  Οι περιοχές ταχυτήτων δεν έχουν όλες το ίδιο
εύρος ώστε να εξασφαλίζεται ότι σε κάθε περιοχή υπάρχει ένας ικανοποιητικός, μετρήσιμος
αριθμός ΔΝ μορίων που κινούνται με ταχύτητες εντός της περιοχής.
ΔΝ :   αριθμός μορίων που έχουν ταχύτητες μέσα στα όρια της κάθε περιοχής ταχυτήτων. Για
παράδειγμα στην πρώτη στήλη 200 μόρια έχουν ταχύτητες από 99,8 m/s έως 100,2 m/s.
ΔΝ/Δυ  :   ο αριθμός των μορίων ανά μοναδιαία περιοχή ταχύτητας
      η μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων του αερίου.

Με βάση τα στοιχεία αυτά το διάγραμμα ΔΝ/Δυ=f(υ), της κατανομής των ταχυτήτων των μορίων του αερίου είναι:

 

Σχ. 3.11

Σχ. 3.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Κατανομή κατά Maxwell – Boltzmann (Μάξγουελ - Μπόλτζμαν)

Οι Maxwell και Boltzmann γύρω στο 1860, πολύ πριν γίνει εφικτό να μετρηθούν πειραματικά οι ταχύτητες των μορίων, υπολόγισαν θεωρητικά πώς κατανέμονται τα μόρια ενός αερίου στις διάφορες ταχύτητες.

 

Στο σχήμα 1.12 παριστάνεται γραφικά η συνάρτηση dN/dυ=f(υ) των Maxwell και Boltzmann για  Ν=105 μόρια αζώτου στις θερμοκρασίες 300 Κ και 900 Κ.

Σχ. 3.12Σχ. 3.12

 

Οι ταχύτητες καλύπτουν ευρεία περιοχή. Η συνάρτηση dN/dυ τείνει στο μηδέν όταν υ → 0 και όταν υ → ∞. Η ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης είναι η πιο πιθανή ταχύτητα και συμβολίζεται με υx.

Δύο άλλες ταχύτητες που παρουσιάζουν ενδιαφέρον είναι η μέση ταχύτητα εικόνα και η ενεργός ταχύτητα υεν.

Η μέση ταχύτητα εικόνα είναι η μέση τιμή των ταχυτήτων των μορίων του αερίου. Δηλαδή αν οι ταχύτητες των μορίων είναι υ1, υ2, ... και ο αριθμός των μορίων Ν

εικόνα

Η ενεργός ταχύτητα είναι

εικόνα

Συχνά, σε διάφορες κατανομές, η μέση τιμή ενός μεγέθους ταυτίζεται με την πιθανότερη τιμή του μεγέθους. Στην κατανομή Maxwell-Boltzmann η εικόνα είναι μεγαλύτερη της υπ γιατί προβλέπονται μόρια, έστω και λίγα, με πολύ μεγάλες ταχύτητες (δεν υπάρχει άνω όριο στις ταχύτητες των μορίων). Όσον αφορά τη υεν αποδεικνύεται μαθηματικά ότι η ενεργός τιμή είναι μεγαλύτερη από τη μέση τιμή (βλέπε ένθετο στη σελίδα 32). Έτσι μεταξύ των τριών ταχυτήτων που προαναφέραμε ισχύει υπ < εικόνα < υεν.

 

Αν το τμήμα που έχει κίτρινο χρώμα μπορεί να θεωρηθεί παραλληλόγραμμο -και μπορεί να θεωρηθεί αν το dυ είναι απειροστά μικρό-τότε το εμβαδόν του είναι: dυ × dN/dυ = dN δηλαδή δίνει τον αριθμό dN των μορίων που έχουν ταχύτητες από υ έως υ+. Το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη και τον άξονα των υ δίνει το συνολικό αριθμό των μορίων του αερίου.

 

Βλέπουμε ότι όταν η θερμοκρασία του αερίου αυξάνεται η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά και η κορυφή της χαμηλώνει. Αυτό συμβαίνει γιατί όσο αυξάνεται η θερμοκρασία ο αριθμός των μορίων που έχουν ταχύτητα  μεγαλύτερη από μία δεδομένη τιμή αυξάνεται, η μετατόπιση όμως της καμπύλης δεξιότερα διευρύνει την βάση της και, καθώς το εμβαδόν που περικλείει παραμένει αμετάβλητο (συνολικός αριθμός μορίων), η κορυφή της χαμηλώνει.

 

 

Ludwig Boltzmann (1844-1906) Αυστριακός θεωρητικός φυσικός. Η συνεισφορά του στην κινητική θεωρία και στη στατιστική μηχανική υπήρξε μεγάλη.Εικ. 3.4 Ludwig Boltzmann (1844-1906) Αυστριακός θεωρητικός φυσικός. Η συνεισφορά του στην κινητική θεωρία και στη στατιστική μηχανική υπήρξε μεγάλη.