5.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

Εισαγωγή

Η αποδοχή των μιγαδικών αριθμών, εκτός από τις δυνατότητες που άνοιξε στην επίλυση των εξισώσεων, έδωσε μεγάλη ευελιξία στον αλγεβρικό λογισμό. Για παράδειγμα, η παράσταση μπορεί τώρα να παραγοντοποιηθεί στη μορφή . Οι μαθηματικοί εκμεταλλεύτηκαν αυτό το γεγονός σε πολλά ζητήματα, όπως είναι, για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση των τόξων ενός κύκλου. Το 1739 ο A. de Moivre, συνδυάζοντας τον υπολογισμό των κυβικών ριζών παραστάσεων της μορφής (που εμφανίζονται στον τύπο επίλυσης της ) με την τριγωνομετρική ταυτότητα , έδωσε τις πρώτες ιδέες για την τριγωνομετρική παράσταση των μιγαδικών αριθμών. Το 1748 ο L. Euler, ξεκινώντας από την ανάλυση της ισότητας στη μορφή , τόνισε τη σημασία των παραστάσεων της μορφής και έδειξε ότι (συνx+iημx)(συνy+iημy)=συν(x+y)+iημ(x+y). Γενικεύοντας έφτασε στη σχέση

(που σήμερα φέρει το όνομα του de Moivre), από την οποία, με χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος, βρήκε τύπους για τα ημnz και συνnz.
Σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις οι μιγαδικοί αντιμετωπίζονταν ως καθαρά συμβολικές παραστάσεις, που δεν απεικόνιζαν κάποια συγκεκριμένη πραγματικότητα. Η τριγωνομετρική παράσταση έδωσε όμως τη δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν (από τον C. Wessel το 1799 και τον R. Argand το 1806) για την αναλυτική έκφραση της διεύθυνσης στο επίπεδο, ακριβώς όπως οι θετικοί και αρνητικοί χρησιμοποιούνται για τη διάκριση της φοράς στην ευθεία. Αυτές οι εξελίξεις διεύρυναν τις εφαρμογές των μιγαδικών και άνοιξαν το δρόμο για τη γεωμετρική ερμηνεία τους, την οποία καθιέρωσε ο C.F. Gauss το 1831.

Όρισμα Μιγαδικού

Έστω ένας μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός z=x+yi και η αντίστοιχη διανυσματική ακτίνα του.

Ονομάζουμε όρισμα του μιγαδικού z καθεμιά από τις γωνίες που έχουν αρχική πλευρά την ημιευθεία Ox και τελική πλευρά την ημιευθεία OM .

Από όλα τα ορίσματα του z ένα ακριβώς βρίσκεται στο διάστημα [0,2π) . Αυτό λέγεται πρωτεύον όρισμα του μιγαδικού z και συμβολίζεται με Arg(z) . Είναι φανερό ότι:

• Tο Arg(z) είναι η γωνία που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού z με τον άξονα x'x .

• Δύο ορίσματα του z διαφέρουν κατά γωνία 2κπ, .

Για το μιγαδικό z=0 δεν ορίζεται όρισμα. Γι'αυτό, στη συνέχεια, όταν αναφερόμαστε σε όρισμα μιγαδικού, θα εννοούμε ότι

Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού

Έστω ο μιγαδικός , που έχει μέτρο και ένα όρισμά του είναι το θ . Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθοκανονικό σύστημα έχουμε:

                           x=ρσυνθ

                           y=ρημθ

Επομένως, ο μιγαδικός z μπορεί να γραφεί ως εξής:

Ο τρόπος αυτός γραφής του μιγαδικού z λέγεται τριγωνομετρική ή πολική μορφή του z.

Για παράδειγμα, αν , τότε το μέτρο του z είναι και για κάθε όρισμά του θ ισχύουν:

Επομένως, μια τιμή του ορίσματος είναι η . Άρα, έχουμε ή γενικότερα:

Αποδεικνύεται ότι αν λ>0 και z=λ(συνθ+iημθ) , τότε η παράσταση λ(συνθ+iημθ) είναι τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού z .
Επειδή ίσοι μιγαδικοί αριθμοί έχουν την ίδια εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο και αντιστρόφως, έχουμε το ακόλουθο κριτήριο ισότητας μιγαδικών:

"Δύο μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι, αν και μόνο αν έχουν ίσα μέτρα και η διαφορά των ορισμάτων τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π".

Δηλαδή:

Αν και είναι οι τριγωνομετρικές μορφές των μιγαδικών z₁ και z₂, τότε:
                                           

Τριγωνομετρική Μορφή Γινομένου Μιγαδικών

Αν και είναι οι τριγωνομετρικές μορφές δύο μιγαδικών αριθμών z₁ και z₂, τότε για το γινόμενό τους έχουμε:

Ομοίως, για το πηλίκο τους , έχουμε:

Aποδείξαμε λοιπόν ότι:

Αν και είναι δυο μιγαδικοί σε τριγωνομετρική μορφή, τότε

                                             

Από τις τριγωνομετρικές μορφές του γινομένου και του πηλίκου μιγαδικών προκύπτουν οι ιδιότητες

τις οποίες έχουμε συναντήσει και στην

Η γεωμετρική ερμηνεία του γινομένου και του πηλίκου δύο μιγαδικών φαίνεται στα παρακάτω σχήματα:

Σύμφωνα με τα παραπάνω:

• Ο πολλαπλασιασμός του μιγαδικού με το μιγαδικό σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του z₁ κατά γωνία θ₂ και μετά πολλαπλασιασμό της με ρ₂ (Σχ. α). Επομένως, ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού z με το μιγαδικό συνθ+iημθ στρέφει μόνο τη διανυσματική ακτίνα του z κατά γωνία θ , αφού . Ειδικότερα, ο πολλαπλασιασμός του z με i στρέφει τη διανυσματική ακτίνα του z κατά γωνία , αφού .

• Η διαίρεση του μιγαδικού z₁=(συνθ₁+iημθ₁) με το μιγαδικό σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του z₁ κατά γωνία -θ₂ και μετά πολλαπλασιασμό της με (Σχ. β).

Θεώρημα του De Moivre

Αν z=ρ(συνθ+iημθ) είναι ένας μιγαδικός αριθμός σε τριγωνομετρική μορφή, σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε:

Ομοίως βρίσκουμε ότι

Γενικά, ισχύει το επόμενο θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 1

Αν z=ρ(συνθ+iημθ) είναι ένας μιγαδικός αριθμός σε τριγωνομετρική μορφή και v είναι ένας θετικός ακέραιος, τότε
                                          

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω Ρ(ν) η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε.

• Για v=1 η ισότητα γίνεται ή ισοδύναμα , δηλαδή η Ρ(1) είναι αληθής.

• Θα αποδείξουμε ότι αν Ρ(ν) αληθής, τότε Ρ(ν+1) αληθής, δηλαδή αν , τότε .

Έχουμε         

Άρα η Ρ(ν) αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους ν .

Για παράδειγμα, αν , επειδή , έχουμε:
           

Το προηγούμενο θεώρημα αποδίδεται στο μαθηματικό De Moivre και γι'αυτό φέρει το όνομά του.

Το Θεώρημα του De Moivre ισχύει και όταν ο εκθέτης είναι αρνητικός ακέραιος.

Πράγματι, έχουμε

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1.Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z , αν

ΛΥΣΗ

Αν z=x+yi, τότε

Άρα,

Επομένως, η συνθήκη είναι
ισοδύναμη με τις σχέσεις:

Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι το τόξο του κύκλου κέντρου και ακτίνας ρ=2 που είναι πάνω από τον άξονα x'x .

2. Αν ημα+ημβ+ημγ=0 και συνα+συνβ+συνγ=0, να αποδειχτεί ότι
      α)
      β)

ΛΥΣΗ

Έστω οι μιγαδικοί a=συνα+iημα, b=συνβ+iημβ, c=συνγ+iημγ. Έχουμε

και επομένως

Με αντικατάσταση των και a,b και c έχουμε διαδοχικά:

Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των δύο μελών έχουμε:

και

ΑΣΚΗΣΕΙΣ