<
Μαθηματικά (Β΄ Λυκείου Θετικών Σπουδών) - Βιβλίο Μαθητή

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Το ζήτημα της διαιρετότητας των ακεραίων είναι κυρίαρχο θέμα στη Θεωρία των Αριθμών. Μια έννοια που βοηθάει στη μελέτη και επίλυση προβλημάτων διαιρετότητας είναι η έννοια των ισοϋπόλοιπων αριθμών. Για να γίνει αντιληπτή η έννοια αυτή, ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, τα υπόλοιπα των διαιρέσεων των ακεραίων με τον αριθμό 5.

Από την ταυτότητα της αλγοριθμικής διαίρεσης γνωρίζουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός ακεραίου με το 5 είναι ένας από τους πέντε ακεραίους 0,1,2,3 και 4. Έτσι έχουμε

Εικόνα

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 2,7, -3 διαιρούμενοι με 5 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο 2. Λέμε ότι οι αριθμοί αυτοί είναι ισοϋπόλοιποι με μέτρο 5. Ομοίως, λέμε ότι και οι αριθμοί 4,9, -1, -6 είναι ισοϋπόλοιποι με μέτρο 5, αφού διαιρούμενοι με 5 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο 4. Γενικότερα, έχουμε:


ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω m ένας θετικός ακέραιος. Δύο ακέραιοι α και β λέγονται ισοϋπόλοιποι με μέτρο m , όταν διαιρούμενοι με m αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο.


Για να δηλώσουμε ότι οι α και β είναι ισοϋπόλοιποι με μέτρο m, γράφουμε

Εικόνα

και διαβάζουμε "α ισοϋπόλοιπος του β μόντουλο m ". Αν ο ακέραιος α δεν είναι ισοϋπόλοιπος του β μόντουλο m , γράφουμε Εικόνα . Έτσι, Εικόνα.

Αν το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με τον m είναι υ , τότε προφανώς ισχύει

Εικόνα

Από την ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης προκύπτει το επόμενο θεώρημα, με το οποίο μπορούμε να διαπιστώσουμε αν δυο αριθμοί είναι ισοϋπόλοιποι.


ΘΕΩΡΗΜΑ 11

Εικόνα, αν και μόνον αν Εικόνα .


ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν Εικόνα , τότε από τις ευκλείδειες διαιρέσεις των α και β με το m έχουμε α=κm + υ, β= λm +υ . Επομένως, α - β=(κ - λ)m , που σημαίνει ότι Εικόνα .

Αντιστρόφως, αν Εικόνα , τότε α - β=ρm, δηλαδή α= β + ρm για κάποιο ακέραιο ρ . Αν ο β διαιρούμενος με τον m δίνει πηλίκο κ και υπόλοιπο υ , τότε Εικόνα. Επομένως, α= κm +υ +ρm = (κ +ρ)m +υ , που σημαίνει ότι ο α διαιρούμενος με m δίνει υπόλοιπο επίσης υ. ■

Το συμβολισμό Εικόνα τον εισήγαγε ο Gauss(1777-1855). Όπως εξήγησε ο ίδιος, υιοθέτησε το σύμβολο Εικόνα , επειδή η σχέση Εικόνα έχει ανάλογες ιδιότητες με την ισότητα.

Πράγματι, ως άμεσες συνέπειες του ορισμού των ισοϋπόλοιπων αριθμών προκύπτουν οι ιδιότητες:

Εικόνα

Επίσης, ισχύει το επόμενο θεώρημα:


ΘΕΩΡΗΜΑ 12

Αν Εικόνα τότε

Εικόνα


ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έχουμε α - β=κm και γ - δ=λm , όπου κ,λ ακέραιοι. Επομένως:

(α +γ) - (β +δ)= (α -β) + (γ-δ)= κm +λm=(κ + λ)m , που σημαίνει ότι

Εικόνα

(α - γ) - (β - δ)= (α -β) - (γ-δ)= κm - λm=(κ - λ)m, που σημαίνει ότι

Εικόνα

(αγ - βδ)= αγ - βγ + βγ - βδ = (α - β)γ - (γ - δ)β =κmγ - λmβ=(κγ - λβ)m, που σημαίνει ότι

Εικόνα

Η σχέση Εικόνα λέγεται ισοτιμία.

Ως άμεση συνέπεια του θεωρήματος προκύπτει ότι:

Αν Εικόνα για κάθε ακέραιο γ .

Το παραπάνω θεώρημα γενικεύεται και για περισσότερες από δύο ισοτιμίες.

Δηλαδή

Εικόνα

Ενώ, με πολλαπλασιασμό των μελών μιας ισοτιμίας με τον ίδιο ακέραιο προκύπτει πάλι ισοτιμία, δεν ισχύει το ίδιο και για τη διαίρεση. Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε τα μέλη της ισοτιμίαςΕικόνα με 2, δεν προκύπτει ισοτιμία. Πράγματι,Εικόνα .

Οι ισοτιμίες εμφανίζονται συχνά στην καθημερινή μας ζωή. Για παράδειγμα, ο ωροδείκτης των ρολογιών δείχνει την ώρα modulo 12 και ο χιλιομετρικός δείκτης των αυτοκινήτων δείχνει τα χιλιόμετρα που έχουμε διανύσει modulo 100.000. Έτσι, όταν η ώρα είναι 18, το ρολόι δείχνει 6, που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 18 με το 12, και όταν ένα αυτοκίνητο έχει διανύσει συνολικά 245.000 km, δείχνει 45.000 km, που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 245.000 με το 100.000.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Έστω Εικόνα η δεκαδική παράστα-ση ενός θετικού ακέραιου N και Εικόνα το άθροισμα των ψηφίων του. Να αποδειχτούν τα κριτήρια διαιρετότητας:

(i) Εικόνα , αν και μόνο αν Εικόνα .

(ii) Εικόνα , αν και μόνο αν Εικόνα .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Εικόνα

Δηλαδή, ένας ακέραιος διαιρείται με 25, αν και μόνο αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του διαιρείται με 25.

Εικόνα

Επομένως,Εικόνα. Προσθέτουμε τις ισοτιμίες κατά μέλη και έχουμε:

Εικόνα

2. Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 31999 + 21999

ΛΥΣΗ

Εικόνα

Άρα Εικόνα, που σημαίνει ότι ο αριθμός 31999 + 21999 λήγει σε 0 ή σε 5. Όμως, ο αριθμός 31999 + 21999 είναι περιττός ως άθροισμα ενός περιττού και ενός άρτιου και άρα λήγει σε 5.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ
1.

Δίνονται τα σύνολα A={33, -17, 23, 35, 41, -20} και B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} . Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία Εικόνα σε εκείνα τα στοιχεία Εικόνα για τα οποία ισχύει Εικόνα .

2.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

Εικόνα
3.

Να βρείτε τους διψήφιους θετικούς ακέραιους α για τους οποίους ισχύει Εικόνα .

4.

Να βρείτε τους διψήφιους θετικούς ακέραιους α για τους οποίους ισχύει

Εικόνα
5.

Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης

Εικόνα
6.

Να αποδείξετε ότι για κάθε Εικόνα ισχύει

Εικόνα
7.

Να βρείτε
(i) το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 31998

(ii) τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού 72003 .


Β' ΟΜΑΔΑΣ
1.

Να αποδείξετε ότι ο ακέραιος 3α2 -1 , όπουΕικόνα , δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου.

2.

Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό πρώτο Εικόνα.

3.

Να βρείτε τις τιμές του Εικόνα για τις οποίες ισχύει Εικόνα .

4.

Να βρείτε τις τιμές του Εικόνα για τις οποίες ισχύει Εικόνα.

5.

Να αποδείξετε ότι για κάθε Εικόνα ισχύει

Εικόνα
6.

Έστω Εικόνα. Να αποδείξετε ότι

Εικόνα
7.

Αν Εικόνα, να αποδείξετε ότι (α,m)=(β,m) .

8.

Να αποδείξετε ότι:

Εικόνα
9.

Να αποδείξετε ότι:

(i) Για κάθε θετικό ακέραιο α ισχύει Εικόνα ή 1 ή 4(mod5).

(ii) Οι αριθμοί Εικόνα είναι άρρητοι.

10.

Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό πρώτο Εικόνα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι οι αριθμοί Εικόνα είναι σύνθετοι για όλους τους θετικούς πρώτους Εικόνα που είναι μεγαλύτεροι από τον 3.

11.

Αν p,q είναι θετικοί πρώτοι με Εικόνα , να αποδείξετε ότι Εικόνα .

12.

Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων των αριθμών 7777 και 333333 .

13.

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 21999 +21997 -1 είναι σύνθετος.


ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.

Να αποδείξετε ότι από v διαδοχικούς ακεραίους ακριβώς ένας διαιρείται με το v.

2.

Να βρείτε τους θετικούς ακεραίους α,β,γ για τους οποίους ισχύει

Εικόνα
3.

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα Εικόνα διαδοχικών περιττών φυσικών είναι σύνθετος αριθμός.

4.

Έστω α,β δύο θετικοί ακέραιοι, με (α,β)=1 . Να αποδείξετε ότι

Εικόνα
5.

(i) Έστω α,β θετικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι

• Αν (α,β)=1 , τότε (α +β, αβ)=1.

(α +β, [α,β])=(α,β)

(ii) Να βρείτε τους θετικούς ακεραίους α,β για τους οποίους ισχύει α+β=114 και [α,β]=360 .

6.

Έστω p,q δύο θετικοί πρώτοι, διαφορετικοί μεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι τα στοιχεία του συνόλου Εικόνα είναι διαφορετικά ανά δύο.

7.

(i) Να αποδείξετε ότι Εικόνα για κάθε θετικό ακέραιο Εικόνα .

(ii) Να βρείτε τις θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 2x=x2 .

8.

Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι Εικόνα . Να αποδείξετε ότι

(i) Αν ο αv -1 είναι πρώτος, τότε α=2 και ο v είναι πρώτος.

(ii) Αν ο αv +1 είναι πρώτος, τότε v=2κ και ο α είναι πρώτος.

9.

Να αποδείξετε ότι

(i )Εικόνα

(ii) Η εξίσωση x2+y2=1998 δεν έχει ακέραιες λύσεις.

10.

(i) Να αποδείξετε ότι Εικόνα

(ii) Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του 92002 .

11.

(i) Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους Εικόνα για τους οποίους ισχύει: Εικόνα

(ii) Να βρείτε τα ορθογώνια με ακέραια μήκη πλευρών, των οποίων το εμβαδόν και η περίμετρος είναι αριθμητικά ίσα.

(iii) Έστω ένα σημείο Α ενός επιπέδου. Για ποιες τιμές του v ο χώρος γύρω από το Α μπορεί να καλυφθεί με κανονικά v-γωνα, τα οποία δεν έχουν κοινά εσωτερικά τους σημεία.

12.

Να βρείτε ο εμβαδόν του τετραγώνου που μπορεί να χωριστεί σε 25 μικρότερα τετράγωνα, από τα οποία τα 24 έχουν πλευρά ίση με 1, ενώ το ένα έχει πλευρά με μήκος ακέραιο αριθμό διαφορετικό από 1.

13.

Μπορείτε να γράψετε μερικούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας καθένα από τα δέκα ψηφία 0, 1, 2,...., 8, 9 μόνο μία φορά, ώστε το άθροισμα των αριθμών αυτών να είναι ίσο με 100.

14.

Να βρείτε τους Εικόνα, σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις

Εικόνα
15.

Αν Εικόνα, να αποδείξετε ότι 22)=(α,β)2 .

16.

Έστω Εικόνα με (α,β)=1 . Αν το γινόμενο των α και β είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού, να αποδείξετε ότι καθένας από τους α και β είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.

1.

Η παρακάτω ισότητα είναι η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β:

Εικόνα
2. Εικόνα
3.

Εικόνα

4. Εικόνα
5. Εικόνα
6.

Υπάρχουν Εικόνα , ώστε

Εικόνα
7. Εικόνα
8. Εικόνα
9 Εικόνα


• Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

1

Αν Εικόνα είναι η ταυτότητα της διαίρεσης του α με τον 4 και β=(x+1)6 +3 είναι η ταυτότητα της διαίρεσης του β με τον (x+1) , τότε

A:x=0,    B:x=1,   Γ:x=2,   Δ:x=3.

2

Αν α=3κ +υ είναι η ταυτότητα της διαίρεσης του α με τον 3 και ο α είναι άρτιος, τότε

A: κ περιττός και υ άρτιος    B: κ άρτιος και υ περιττός

Γ: κ,υ άρτιοι ή κ,υ περιττοί

3

Αν δ=(4ν+3, 4ν-1), τότε

A:δ=4,   B:δ=2,   Γ:δ=1,   Δ: Ο δ εξαρτάται από το ν

4

Αν ο αριθμός x 2722 x διαιρείται με τον 12, τότε

A:x=1,   B:x=4,   Γ:x=7,   Δ:x=2

5

Αν Εικόνα, τότε ο (α,β,γ) είναι

A:Εικόνα,   B:Εικόνα,   Γ:2,   Δ:3

6

Αν ο v είναι περιττός, τότε ο ακέραιος

Εικόνα