4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του 22 με τον 5. Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος, ώστε: ![]() Για να βρούμε, λοιπόν, το κ, σχηματίζουμε τις διαφορές: ![]() |
Παρατηρούμε ότι αφού οι αριθμοί αυτοί συνεχώς μειώνονται, από ένα σημείο και μετά θα είναι όλοι αρνητικοί. Ο μικρότερος μη αρνητικός ακέραιος από τους παραπάνω αριθμούς, ο οποίος είναι μικρότερος του 5, είναι ο 22 − 4∙5 = 2. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι το πηλίκο της διαίρεσης του 22 με τον 5 είναι 4 και το υπόλοιπο 2 και έχουμε: ![]() Γενικά, ισχύει: ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν α και β είναι φυσικοί αριθμοί με ΑΠΟΔΕΙΞΗ • Θεωρούμε τους ακέραιους α, α- β, α -2β, α -3β,... και από αυτούς παίρνουμε τους μη αρνητικούς. Σχηματίζουμε δηλαδή το σύνολο ![]() Το σύνολο αυτό είναι υποσύνολο του N και επιπλέον είναι διάφορο του κενού, αφού περιέχει τον ![]() Για τον υ πρέπει να δείξουμε ότι είναι και μικρότερος του β . Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι ![]() Άρα, ο υ -β είναι στοιχείο του συνόλου S , του οποίου ελάχιστο στοιχείο είναι το υ . Έτσι θα ισχύει • Μένει τώρα να αποδείξουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί κ και υ είναι μοναδικοί. Ας υποθέσουμε ότι και οι φυσικοί κ' και υ' έχουν την ιδιότητα ![]() Επειδή ![]() 1 Αποδεικνύεται ότι κάθε μη κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών έχει ελάχιστο στοιχείο ("αρχή της καλής διάταξης") |
Όμως, ![]() Αλλά ο μοναδικός ακέραιος μεταξύ -1 και 1 είναι το 0. Άρα κ' - κ =0 , δηλαδή κ' = κ , οπότε και υ'=υ . ■ Αποδεικνύεται ότι το θεώρημα ισχύει γενικότερα για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β , με Αν α και β ακέραιοι με Η διαδικασία εύρεσης των κ, υ λέγεται ευκλείδεια ή αλγοριθμική διαίρεση του α με τον β. Το κ λέγεται πηλίκο και το υ υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. Όταν το υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης είναι ίσο με το 0, η διαίρεση λέγεται τέλεια. Ας δούμε με παραδείγματα πώς εργαζόμαστε στις διάφορες περιπτώσεις, για να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης. • Έστω λοιπόν α= -92 με τον β= 5 . Από τη διαίρεση του 92 με τον 5 έχουμε ![]() Άρα, • Έστω τώρα α= -92 και β= -5. Από την ισότητα ![]() Άρα, |
• Έστω, τέλος, α= 92 και β= -5 . Πάλι από την ισότητα ![]() που σημαίνει ότι το πηλίκο της διαίρεσης του 92 με τον -5 είναι -18 και το υπόλοιπο είναι 2. ΣΧΟΛΙΟ Όταν ο διαιρέτης της ευκλείδειας διαίρεσης είναι ο β= 2 , τότε τα δυνατά υπόλοιπα είναι υ=0 ή υ=1 . Αν υ=0, ο ακέραιος α έχει τη μορφή Αν υ=1 , ο ακέραιος έχει τη μορφή Γενικά, τα δυνατά υπόλοιπα του α με τον ![]() ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Αν ο α είναι ακέραιος, τότε και ο ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τα δυνατά υπόλοιπα του α με τον 3 είναι 0, 1, 2, ο ακέραιος α έχει μία από τις μορφές ![]() 2. Να αποδειχτεί ότι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Έστω δύο διαδοχικοί ακέραιοι α, α+1 . • Αν ο α είναι άρτιος, δηλαδή |
![]() Ασκήσεις
|
|