2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επαναλήψεις - Συμπληρώσεις) Εισαγωγή Στο Γυμνάσιο μάθαμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών.
Θυμίζουμε ότι:
$\dfrac{14}{5} = 2,8 , -\dfrac{9}{8} = -1,25 , \dfrac{60}{11} = 5,\overline{45} , 2,25 = \dfrac{225}{100} και 2,\overline{32} = \dfrac{230}{99}$ Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι οι ρητοί αριθμοί αποτελούνται από τους δεκαδικούς και τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς.Υπάρχουν όμως και αριθμοί, όπως οι $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ π, κτλ., που δεν μπορούν να πάρουν τη μορφή $\dfrac{α}{β}$, όπου α, β ακέραιοι, με β ≠ 0 (ή, με άλλα λόγια, δεν μπορούν να γραφούν ούτε ως δεκαδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκαδικοί). Οι αριθμοί αυτοί λέγονται άρρητοι αριθμοί. |
Πράξεις Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και, με τη βοήθειά τους, η αφαίρεση και η διαίρεση.
Στον πίνακα αυτόν, αλλά και στη συνέχεια του βιβλίου, τα γράμματα που χρησιμοποιούνται παριστάνουν οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς , εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά. ΣΧΟΛΙΟ Η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης έχουν ως συνέπεια, κάθε άθροισμα με περισσότερους από δυο προσθετέους, να ισούται με οποιοδήποτε άλλο άθροισμα που σχηματίζεται από τους ίδιους αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε. Για παράδειγμα, $-3 + 2 + \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} + 5 - 2 = -3 + 3 + 2 - 2 + 5 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 5$ Ομοίως, ένα γινόμενο με περισσότερους από δυο παράγοντες ισούται με οποιοδήποτε άλλο γινόμενο που μπορεί να σχηματισθεί από τους ίδιους αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε. $(-3)\left(-\dfrac{2}{5}\right)\left(-\dfrac{1}{3}\right)(-6)4\left(-\dfrac{5}{2}\right) = (-3)\left(-\dfrac{1}{3}\right)\left(-\dfrac{2}{5}\right)\left(-\dfrac{5}{2}\right)(-6)4 = -24.$ (Η απόδειξη των παραπάνω ισχυρισμών είναι αρκετά πολύπλοκη και παραλείπεται).
|
Δηλαδή: ΣΗΜΕΙΩΣΗ Επειδή διαίρεση με διαιρέτη το μηδέν δεν ορίζεται, όπου στο εξής συναντάμε το πηλίκο $\dfrac{α}{β}$, εννοείται ότι β ≠ 0 και δεν θα τονίζεται ιδιαίτερα.
δηλαδή, δυο ισότητες μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη.
δηλαδή, δυο ισότητες μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη.
δηλαδή, μπορούμε και στα δυο μέλη μιας ισότητας να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό.
δηλαδή, μπορούμε και τα δυο μέλη μιας ισότητας να τα πολλαπλασιάσουμε ή να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.
δηλαδή, το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν. α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 |
ΣΧΟΛΙΟ Όταν από την ισότητα α + γ = β + γ ή από την ισότητα α · γ = β · γ μεταβαίνουμε στην ισότητα α = β, τότε λέμε ότι διαγράφουμε τον ίδιο προσθετέο ή τον ίδιο παράγοντα αντιστοίχως. Όμως στην περίπτωση που διαγράφουμε τον ίδιο παράγοντα πρέπει να ελέγχουμε μήπως ο παράγοντας αυτός είναι ίσος με μηδέν, οπότε ενδέχεται να οδηγηθούμε σε λάθος, όπως συμβαίνει στο ακόλουθο παράδειγμα. α = 1 Όμως έχουμε και α = 1, οπότε το 1 θα είναι ίσο με το 0. Οδηγηθήκαμε στο λανθασμένο αυτό συμπέρασμα, διότι στην ισότητα (α + 1)(α - 1) = (α - 1) · 1 διαγράψαμε τον παράγοντα (α - 1) ο οποίος, λόγω της υπόθεσης, ήταν ίσος με μηδέν. |
Δυνάμεις Είναι γνωστή από το Γυμνάσιο η έννοια της δύναμης αριθμού με εκθέτη ακέραιο. Συγκεκριμένα, αν ο α είναι πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός, έχουμε ορίσει ότι: $α^ν = \underbrace{α\cdot α\cdots α \cdot α}_{v\text{παράγοντες}}$ για ν > 1 και
Αν επιπλέον είναι α ≠ 0, τότε ορίσαμε ότι: ΣΧΟΛΙΟ Ενώ είναι φανερό ότι, αν α = β, τότε αν = βν, δεν ισχύει το αντίστροφο, αφού για παράδειγμα είναι (-2)2 = 22, αλλά -2 ≠ 2. Στον επόμενο πίνακα συνοψίζονται οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται.
|
Αξιοσημείωτες ταυτότητες Η έννοια της ταυτότητας είναι γνωστή από το Γυμνάσιο. Συγκεκριμένα, κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα.
|
|
Μικροπείραμα |
Μέθοδοι απόδειξης 1η) Ευθεία Απόδειξη Έστω ότι για τρεις πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει η συνθήκη α + β + γ = 0 και θέλουμε να αποδείξουμε ότι α3 + β3 + γ3 = 3αβγ, δηλαδή έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή: « Αν α + β + γ = 0, τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ ». Επειδή α + β + γ = 0, είναι α = -(β + γ) , οπότε θα έχουμε:
ΣΧΟΛΙΑ 1o) Ευθεία απόδειξη χρησιμοποιήσαμε και στο Γυμνάσιο για την απόδειξη των γνωστών μας ταυτοτήτων. Για παράδειγμα, για την απόδειξη της ταυτότητας (α + β )2 = α2 + 2αβ + β2, με α,β $\in$ ℝ, έχουμε διαδοχικά:
Για παράδειγμα, έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, x, y θέλουμε να αποδείξουμε την ταυτότητα: (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (αy - βx)2 Έχουμε διαδοχικά: |
3ο) Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός δεν είναι πάντα αληθής, αρκεί να βρούμε ένα παράδειγμα για το οποίο ο συγκεκριμένος ισχυρισμός δεν ισχύει ή, όπως λέμε, αρκεί να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα. Έτσι ο ισχυρισμός
«για κάθε α > 0 ισχύει α2 > α » δεν είναι αληθής, αφού για $α = \dfrac{1}{2}$ έχουμε $α^2 = \dfrac{1}{4}$ , δηλαδή α2 < α .
2η) Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο «Αν ο α2 είναι άρτιος αριθμός, τότε και ο α είναι άρτιος αριθμός» Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού σκεπτόμαστε ως εξής:
Δηλαδή α2 = 2λ + 1, λ $\in$ ℤ, που σημαίνει ότι ο α2 είναι περιττός. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι ο α2 είναι άρτιος. Επομένως, η παραδοχή ότι α δεν είναι άρτιος είναι λανθασμένη. Άρα ο α είναι άρτιος. Στην παραπάνω απόδειξη υποθέσαμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις φθάσαμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο. |
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να αποδειχθούν οι εξής ιδιότητες των αναλογιών: i) $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ αδ = βγ (εφόσον βδ ≠ 0) ii) $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ $\dfrac{α}{γ}$ = $\dfrac{β}{δ}$ (εφόσον βγδ ≠ 0) iii) $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ $\dfrac{α + β}{β}$ = $\dfrac{γ + δ}{δ}$ (εφόσον βδ ≠ 0) iv) $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ = $\dfrac{α + γ}{β + δ}$⇔ (εφόσον βδ(β + δ) ≠ 0)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Για βδ ≠ 0 έχουμε: ii) Για βγδ ≠ 0 έχουμε: iii) Για βδ ≠ 0 έχουμε: iν) Για βδ (β + δ) ≠ 0, αν θέσουμε $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ = λ, έχουμε: 2. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $\sqrt{2}$ είναι άρρητος. Στη συνέχεια, με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη, να παρασταθούν οι $\sqrt{2}$ και - $\sqrt{2}$ στον άξονα των πραγματικών αριθμών. |
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι ο $\sqrt{2}$ είναι ρητός. Τότε μπορούμε να γράψουμε $\sqrt{2}$ = $\dfrac{κ}{λ}$ όπου κ, λ είναι φυσικοί αριθμοί και $\dfrac{κ}{λ}$ ανάγωγο κλάσμα (δηλαδή κλάσμα στο οποίο έχουν γίνει όλες οι δυνατές απλοποιήσεις). Τότε έχουμε διαδοχικά: $(\sqrt{2})^2 = \left(\dfrac{κ}{λ}\right)^2$ που σημαίνει ότι ο κ2 είναι άρτιος, οπότε (σελ. 49) και ο κ είναι άρτιος, δηλαδή είναι της μορφής κ = 2μ. κ2 = 2λ2 Που σημαίνει ότι ο λ2 είναι άρτιος, άρα και ο λ είναι άρτιος.
Στο σημείο Α του πραγματικού άξονα που παριστάνει τον αριθμό 1 υψώνουμε κάθετο τμήμα ΑΒ με μήκος 1. Τότε η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ έχει μήκος ίσο με $\sqrt{2}$ . Στη συνέχεια με κέντρο το Ο και ακτίνα ΟΒ = $\sqrt{2}$ γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τον άξονα x΄x στα σημεία Μ και M΄ που παριστάνουν τους αριθμούς $\sqrt{2}$ και -$\sqrt{2}$ αντιστοίχως. |
|
2.2 ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Έννοια της διάταξης Οι έννοιες «μεγαλύτερος από», «μικρότερος από», που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο, ορίστηκαν ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β, και γράφουμε α > β, όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός.
Έτσι ο αρχικός ορισμός γράφεται ισοδύναμα: Γεωμετρικά η ανισότητα α > β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από τον β. Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει α > β ή α = β , τότε γράφουμε α ≥ β και διαβάζουμε: «α μεγαλύτερος ή ίσος του β». |
Από την τελευταία εύκολα προκύπτουν και οι ισοδυναμίες: α2 + β2 = 0 ⇔ α = 0 και β = 0 |
Ιδιότητες των ανισοτήτων Στηριζόμενοι στην ισοδυναμία α > β ⇔ α - β > 0 , μπορούμε να αποδείξουμε τις παρακάτω ιδιότητες των ανισοτήτων: 1.
2.
3.
Η ιδιότητα 3 ισχύει και για περισσότερες ανισότητες. Συγκεκριμένα:
Στη συνέχεια θα αποδείξουμε και την παρακάτω ιδιότητα. |
4.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας θα αποδείξουμε τώρα ότι:Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α = β ⇔ αν = βν |
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Άρα, α = β. |
ΣΧΟΛΙΑ 1ο Σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς τις προσθέσουμε κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με την αφαίρεση. Για παράδειγμα, είναι 10 > 6 και 7 > 2, αλλά 10 - 7 < 6 - 2 . 2o Επίσης, σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς με θετικούς, όμως, όρους τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τη διαίρεση. Για παράδειγμα, είναι 24 > 10 και 6 > 2, αλλά $\dfrac{24}{6} \lt \dfrac{10}{2}.$ |
Διαστήματα Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με α ≤ x ≤ β λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με [α, β].
Τέλος, υπό μορφή διαστήματος,
Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και τα διαστήματα (α, +∞) και (-∞, α). Τα σύμβολα +∞ και -∞, που διαβάζονται «συν άπειρο» και «πλην άπειρο» αντιστοίχως, δεν παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς. |
|
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να αποδειχθεί ότι i) Αν α, β ομόσημοι αριθμοί, τότε ii) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α2 + β2 ≥ 2αβ iii) Αν α > 0, τότε $α + \dfrac{1}{α} \geq 2$. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Αφού α, β είναι ομόσημοι αριθμοί έχουμε αβ > 0 . Επομένως ισχύει: $α \lt β$ ⇔ $\dfrac{α}{αβ} \lt \dfrac{β}{αβ}$ ⇔ $ \dfrac{1}{β} \lt \dfrac{1}{α}$ ⇔ $\dfrac{1}{α} \gt \dfrac{1}{β} $. ii) Έχουμε: α2 + β2 ≥ 2αβ ⇔ α2 + β2 - 2αβ ≥ 0 (α - β)2 ≥ 0, που ισχύει iii) Έχουμε: |
2. Αν $-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{4}$ και $-\dfrac{2}{3} \lt y \lt \dfrac{5}{6}$, να αποδειχθεί ότι: -11 < 8x -12y + 3 < 17 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από την ανισότητα $-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{4}$ έχουμε διαδοχικά: $8\left(-\dfrac{1}{2}\right) \lt 8x \lt 8 \cdot \dfrac{3}{4}$ Ομοίως από την $-\dfrac{2}{3} \lt y \lt \dfrac{5}{6}$ έχουμε διαδοχικά: $12\left(-\dfrac{2}{3}\right) \lt 12y \lt 12 \cdot \dfrac{5}{6}$ $-8 \lt 12y \lt 10$ $8 \gt -12y \gt -10$ $-10 \lt -12y \lt 8$ (2) Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη τις ανισότητες (1) και (2), που έχουν την ίδια φορά, και έχουμε: -14 < 8x -12y < 14, οπότε θα ισχύει: -14 + 3 < 8x -12y + 3 < 14 + 3 Άρα -11 < 8x -12y + 3 < 17 |
|
2.3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός της απόλυτης τιμής Θεωρούμε έναν αριθμό α που παριστάνεται με το σημείο Α πάνω σε έναν άξονα.
Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο ότι η απόσταση του σημείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ, ονομάζεται απόλυτη τιμή του αριθμού α και την συμβολίζεται με |α|.
Δηλαδή:
Επομένως, έχουμε τον ακόλουθο αλγεβρικό ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού. |
Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε αμέσως ότι:
Για παράδειγμα,
|
Ιδιότητες των απόλυτων τιμών Από τον τρόπο εκτέλεσης των πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών, προκύπτουν για τις απόλυτες τιμές οι ακόλουθες ιδιότητες:
Οι ιδιότητες αυτές, όμως, μπορούν να αποδειχθούν και με τη βοήθεια των προηγούμενων συμπερασμάτων. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1. Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας |α · β| = |α| · |β| είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά:
2. Αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο. 3. Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας |α + β| < |α| + |β| είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά:
Είναι φανερό ότι η ισότητα αβ = |αβ| ισχύει αν και μόνο αν αβ ≥ 0 , δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος με μηδέν. ΣΧΟΛΙΟ
Συγκεκριμένα: |αν| = |α|ν
Συγκεκριμένα: |
Απόσταση δυο αριθμών
Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών -2 και 3. Παρατηρούμε ότι(ΑΒ ) = 5 = |(-2) - 3| = |3 - (-2)|. Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β, συμβολίζεται με d(α,β) και είναι ίση με |α- β|. Είναι δηλαδή:
Προφανώς ισχύει d (α, β) = d (β, α) . Στην περίπτωση μάλιστα που είναι α < β, τότε η απόσταση των α και β είναι ίση με β - α και λέγεται μήκος του διαστήματος [α, β].
Αν Μ (x0) είναι το μέσον του τμήματος AB, τότε έχουμε
|
Ο αριθμός $\frac{α + β}{2}$ που αντιστοιχεί στο μέσον Μ του τμήματος ΑΒ λέγεται κέντρο του διαστήματος [α, β], ενώ ο αριθμός $ρ = \frac{β - α}{2}$ λέγεται ακτίνα του [α, β]. Ως μήκος, κέντρο και ακτίνα των διαστημάτων (α, β), [α, β) και (α, β] ορίζουμε το μήκος, το κέντρο και την ακτίνα του διαστήματος [α, β].
Από τον ορισμό της απόστασης έχουμε:
Γενικά:
Δηλαδή, οι αριθμοί x που ικανοποιούν τη σχέση |x -x0| < ρ είναι τα σημεία του διαστήματος (x0 - ρ, x0 + ρ) που έχει κέντρο το x0 και ακτίνα ρ.
Στην ειδική περίπτωση που είναι x0 = 0 , έχουμε: |x| < ρ ⇔x $\in$(-ρ, ρ) ⇔ -ρ < x < ρ . Για παράδειγμα, |x| < 2 ⇔ x $\in$(-2, 2) ⇔ -2 < x < 2 . • Έστω, τώρα, ότι θέλουμε να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει |x - 3| > 2.
Από τον ορισμό της απόστασης έχουμε:
|
Γενικά:
Δηλαδή οι αριθμοί x που ικανοποιούν τη σχέση |x - x0| > ρ αντιστοιχούν σε σημεία Μ(x) του άξονα x΄x που απέχουν από το σημείο Κ(x0) απόσταση μεγαλύτερη του ρ.
Στην ειδική περίπτωση που είναι x0 = 0 , η τελευταία ισοδυναμία παίρνει τη μορφή: |x| > ρ ⇔ x < -ρ ή x > ρ Για παράδειγμα: |x| > 2 ⇔ x < -2 ή x > 2 . |
|
Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού Στο Γυμνάσιο μάθαμε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας μη αρνητικού αριθμού και τις ιδιότητές της. Συγκεκριμένα μάθαμε ότι:
Μπορούμε επομένως να πούμε ότι: Για τις τετραγωνικές ρίζες μη αρνητικών αριθμών γνωρίσαμε τις παρακάτω ιδιότητες:
|
ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού
|
|
Επίσης γράφουμε $\sqrt[1]{α} = α$ και $\sqrt[2]{α} = \sqrt{α}$ Μπορούμε επομένως να πούμε ότι: ΣΧΟΛΙΟ Είναι 104 = 10000, οπότε $\sqrt[4]{10000}$ = 10. Είναι επίσης και (-10)4 = 10000. Όμως, δεν επιτρέπεται να γράφουμε $\sqrt[4]{10000}$ = -10, αφού, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, η $\sqrt[4]{10000}$ είναι η μη αρνητική λύση της εξίσωσης x4 = 10000. |
Ιδιότητες των ριζών Από τον ορισμό της ν-οστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α , συμπεραίνουμε αμέσως ότι:
(1)Αποδεικνύεται ότι υπάρχει και είναι μοναδικός Για παράδειγμα: $\sqrt[6]{2^6} = 2$, ενώ $\sqrt[6]{(-2)^6} = \lvert -2 \rvert = 2$ Ισχύουν όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είναι ανάλογες των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας:
ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1. Έχουμε: 2. Αποδεικνύεται όπως και η 1. 3. Έχουμε: 4. Έχουμε: |
ΣΧΟΛΙΟ Η ιδιότητα 1. ισχύει και για περισσότερους από δυο μη αρνητικούς παράγοντες. |
Δυνάμεις με ρητό εκθέτη Στη συνέχεια θα ορίσουμε παραστάσεις της μορφής $α^\frac{μ}{ν}$ , όπου α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τις οποίες θα ονομάσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Ο ορισμός θα γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές μας ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη. |
Επιπλέον, αν μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε $0^{\frac{μ}{v}} = 0$. Για παράδειγμα: Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ριζών αποδεικνύεται ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Το γεγονός αυτό διευκολύνει το λογισμό με τα ριζικά. Έτσι έχουμε για παράδειγμα: |
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να αποδειχθεί η ισοδυναμία: $α \lt β$ ⇔ $\sqrt[v]{α} \lt \sqrt[v]{β}$ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: 2. Να τραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες, χωρίς ριζικά στους παρονομαστές: ΛΥΣΗ Έχουμε: 3. Να αποδειχθεί ότι: $\sqrt{10}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[6]{40} = 10.$ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: $\sqrt{10}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[6]{40} = 10^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot40^{\frac{1}{6}} = (2\cdot5)^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot (2^3\cdot5)^{\frac{1}{6}}$ |
|
|
ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ο «διπλασιασμός του τετραγώνου», δηλαδή η κατασκευή ενός τετραγώνου με εμβαδό διπλάσιο ενός άλλου δοθέντος τετραγώνου, μπορεί να γίνει με μια απλή «γεωμετρική» κατασκευή. Λέγοντας «γεωμετρική» κατασκευή εννοούμε κατασκευή με χάρακα και διαβήτη. Ωστόσο, η πλευρά β, του τετραγώνου με το διπλάσιο εμβαδό, δεν προκύπτει από την πλευρά α με πολλαπλασιασμό επί ρητό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα (ως μονάδα μέτρησης) με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε ακριβώς τα δυο αυτά τμήματα, πλευρά και διαγώνιο τετραγώνου. Η απόδειξη της ύπαρξης άρρητων αριθμών θεωρείται μια από τις σπουδαιότερες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων. (Πυθαγόρας: 6ος π. Χ. αιώνας). Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν μια βαθειά πίστη ότι πάντοτε δυο ευθύγραμμα τμήματα έχουν κοινό μέτρο. Γι’ αυτό, στα πλαίσια της εποχής εκείνης, η ανακάλυψη αυτή των Πυθαγορείων δεν ήταν απλά και μόνο μια ενδιαφέρουσα μαθηματική πρόταση, αλλά σήμαινε την ανατροπή θεμελιωδών φιλοσοφικών αντιλήψεων για τον κόσμο και τη φύση. Ήταν κεντρική αντίληψη των Πυθαγορείων ότι η ουσία κάθε όντος μπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθμούς. Ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος γύρω στα 450 π.Χ., έγραφε: «Πραγματικά το καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν αριθμό (δηλαδή φυσικό). Αλλιώς θα ήταν αδύνατο να το γνωρίσουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική. Το ένα είναι η αρχή του παντός». Η ανακάλυψη λοιπόν ότι υπάρχουν μεγέθη και μάλιστα απλά, όπως η υποτείνουσα τετραγώνου, τα οποία δεν μπορούν να εκφραστούν στα πλαίσια των φυσικών αριθμών, θεωρήθηκε αληθινή συμφορά για την πυθαγόρεια φιλοσοφία. Χαρακτηριστικοί είναι οι θρύλοι που περιβάλλουν το γεγονός αυτό. Κατά έναν από αυτούς, η ανακάλυψη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών έγινε από τον πυθαγόρειο Ίπασσο, όταν αυτός και άλλοι Πυθαγόρειοι ταξίδευαν με πλοίο. Η αντίδραση των Πυθαγορείων ήταν να πνίξουν τον Ίπασσο και να συμφωνήσουν μεταξύ τους να μη διαδοθεί η ανακάλυψη προς τα έξω. Η υπέρβαση των «δυσκολιών» που φέρνει στα Μαθηματικά η ύπαρξη άρρητων αριθμών, κατέστη δυνατή από τον Εύδοξο (360 π.Χ.) με την ιδιοφυή «θεωρία των Λόγων». Η απόδειξη για το ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι άρρητος είναι ένα πρόβλημα που απαιτεί πολλές φορές πολύπλοκούς συλλογισμούς. |