2η) Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο

Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό:
«Αν το τετράγωνο ενός ακεραίου αριθμού είναι άρτιος, τότε και ο αριθμός αυτός είναι άρτιος»,δηλαδή

«Αν ο α² είναι άρτιος αριθμός, τότε και ο α είναι άρτιος αριθμός»

Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού σκεπτόμαστε ως εξής:
Έστω ότι ο α δεν είναι άρτιος. Τότε ο α θα είναι περιττός, δηλαδή θα έχει τη μορφή α = 2κ + 1, όπου κ ακέραιος, οπότε θα έχουμε:

Στην παραπάνω απόδειξη υποθέσαμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις φθάσαμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο.

Η μέθοδος αυτή απόδειξης χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Αρχαίους Έλληνες και λέγεται απαγωγή σε άτοπο.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να αποδειχθούν οι εξής ιδιότητες των αναλογιών:

i) $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ αδ = βγ    (εφόσον βδ ≠ 0)

ii) $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ $\dfrac{α}{γ}$ = $\dfrac{β}{δ}$     (εφόσον βγδ ≠ 0)

iii) $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ $\dfrac{α + β}{β}$ = $\dfrac{γ + δ}{δ}$   (εφόσον βδ ≠ 0)

iv) $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ = $\dfrac{α + γ}{β + δ}$⇔   (εφόσον βδ(β + δ) ≠ 0)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Για βδ ≠ 0 έχουμε:

    $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ $βδ \cdot \dfrac{α}{β}$ ⇔ αδ = βδ.

ii) Για βγδ ≠ 0 έχουμε:

    $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ αδ = βγ ⇔ $\dfrac{αδ}{γδ}$ = $\dfrac{βγ}{γδ}$ ⇔ $\dfrac{α}{γ}$ = $\dfrac{β}{δ}$.

iii) Για βδ ≠ 0 έχουμε:

    $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ ⇔ $\dfrac{α}{β} + 1$ = $\dfrac{γ}{δ} + 1$ ⇔ $\dfrac{α + β}{β}$ = $\dfrac{γ + δ}{δ}$.

iν) Για βδ (β + δ) ≠ 0, αν θέσουμε $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ = λ, έχουμε:
    α = λβ και γ = λδ, οπότε α + γ = λ(β + δ).

    Επομένως, $λ = \dfrac{α + γ}{β + δ}$ , δηλαδή $\dfrac{α}{β}$ = $\dfrac{γ}{δ}$ = $\dfrac{α + γ}{β + δ}$.

2. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $\sqrt{2}$ είναι άρρητος. Στη συνέχεια, με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη, να παρασταθούν οι $\sqrt{2}$ και - $\sqrt{2}$ στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι ο $\sqrt{2}$ είναι ρητός. Τότε μπορούμε να γράψουμε $\sqrt{2}$ = $\dfrac{κ}{λ}$ όπου κ, λ είναι φυσικοί αριθμοί και $\dfrac{κ}{λ}$ ανάγωγο κλάσμα (δηλαδή κλάσμα στο οποίο έχουν γίνει όλες οι δυνατές απλοποιήσεις). Τότε έχουμε διαδοχικά:

$(\sqrt{2})^2 = \left(\dfrac{κ}{λ}\right)^2$

$2 = \dfrac{κ^2}{λ^2}$

$κ^2 = 2λ^2$

που σημαίνει ότι ο κ² είναι άρτιος, οπότε (σελ. 49) και ο κ είναι άρτιος, δηλαδή είναι της μορφής κ = 2μ.
Τότε έχουμε διαδοχικά:

κ² = 2λ²
(2μ)² = 2λ²
4μ² = 2λ²
λ² = 2μ²

Που σημαίνει ότι ο λ² είναι άρτιος, άρα και ο λ είναι άρτιος.

Αφού λοιπόν οι κ, λ είναι άρτιοι, το κλάσμα $\dfrac{κ}{λ}$ δεν είναι ανάγωγο (άτοπο).

Στο σημείο Α του πραγματικού άξονα που παριστάνει τον αριθμό 1 υψώνουμε κάθετο τμήμα ΑΒ με μήκος 1. Τότε η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ έχει μήκος ίσο με $\sqrt{2}$ . Στη συνέχεια με κέντρο το Ο και ακτίνα ΟΒ = $\sqrt{2}$ γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τον άξονα x΄x στα σημεία Μ και M΄ που παριστάνουν τους αριθμούς $\sqrt{2}$ και -$\sqrt{2}$ αντιστοίχως.

Μικροπείραμα

2.2 ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Έννοια της διάταξης

Οι έννοιες «μεγαλύτερος από», «μικρότερος από», που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο, ορίστηκαν ως εξής:

Στην περίπτωση αυτή λέμε επίσης ότι ο β είναι μικρότερος του α και γράφουμε β < α.

Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει αμέσως ότι:

• Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.

• Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

Έτσι ο αρχικός ορισμός γράφεται ισοδύναμα:
α > β ⇔ α - β > 0

Γεωμετρικά η ανισότητα α > β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από τον β.

Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει α > β ή α = β , τότε γράφουμε α ≥ β και διαβάζουμε: «α μεγαλύτερος ή ίσος του β».
Από τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, προκύπτει ότι:

Από την τελευταία εύκολα προκύπτουν και οι ισοδυναμίες:

α² + β² = 0 ⇔ α = 0 και β = 0
α² + β² > 0 ⇔ α ≠ 0 ή β ≠ 0

Ιδιότητες των ανισοτήτων

Στηριζόμενοι στην ισοδυναμία α > β ⇔ α - β > 0 , μπορούμε να αποδείξουμε τις παρακάτω ιδιότητες των ανισοτήτων:

1.

2.

3.

Η ιδιότητα 3 ισχύει και για περισσότερες ανισότητες. Συγκεκριμένα:

• (α₁ > β₁ και α₂ > β₂ και … και α_ν > β_ν) ⇒ α₁ + α₂ +... + α_ν > β₁ + β₂ + ... + β_ν

• Αν, επιπλέον, τα μέλη των ανισοτήτων είναι θετικοί αριθμοί, τότε:
  (α₁ > β₁ και α₂ > β₂ και … και α_ν > β_ν) ⇒ α₁ · α₂ · ... · α_ν > β₁ · β₂ · ... · β_ν (*)

Στη συνέχεια θα αποδείξουμε και την παρακάτω ιδιότητα.

4.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

• Έστω α > β . Τότε, από τη (*), γιαα₁ = α₂ = ... = α_ν = α > 0 και
  β₁ = β₂ = ... = β_ν = β > 0,
  προκύπτει ότι: α^ν > β^ν.

• Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι α^ν > β^ν και α ≤ β. Τότε:

• αν ήταν α = β , από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε α^ν = β^ν (άτοπο), ενώ

• αν ήταν α < β , θα είχαμε α^ν < β^ν (άτοπο). Άρα, α > β .

Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας θα αποδείξουμε τώρα ότι:Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:

α = β ⇔ α^ν = β^ν

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

• Έστω α = β . Τότε, από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει, όπως είπαμε και προηγουμένως, ότι α^ν = β^ν.

• Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι α^ν = β^ν και α ≠ β . Τότε:

• αν ήταν α > β , λόγω της (4), θα είχαμε α^ν > β^ν (άτοπο), ενώ

• αν ήταν α < β, λόγω της (4), θα είχαμε α^ν < β^ν (άτοπο).

Άρα, α = β.

Διαστήματα

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με α ≤ x ≤ β λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με [α, β].
Αν τώρα από το κλειστό διάστημα [α, β] παραλείψουμε τα α και β προκύπτει το αντίστοιχο ανοικτό διάστημα από το α μέχρι β που συμβολίζεται με (α, β).
Οι αριθμοί α και β λέγονται άκρα των διαστημάτων αυτών και κάθε αριθμός μεταξύ των α και β λέγεται εσωτερικό σημείο αυτών.
Η διαφορά δηλαδή μεταξύ ενός κλειστού και του αντίστοιχου ανοικτού διαστήματος είναι ότι το πρώτο περιέχει τα άκρα του, ενώ το δεύτερο δεν τα περιέχει.
Άλλες μορφές διαστημάτων είναι:

• Το ανοικτό δεξιά διάστημα [α, β) που αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει α ≤ x ≤ β και

• Το ανοικτό αριστερά διάστημα (α, β] που αποτελείται από τους αριθμούς με x για τους οποίους ισχύει α < x ≤ β .

Τέλος, υπό μορφή διαστήματος,

• Το σύνολο των αριθμών x για τους οποίους ισχύει α ≤ x συμβολίζεται με [α, +∞), ενώ

• Το σύνολο των αριθμών x για τους οποίους ισχύει x ≤ α συμβολίζεται με (-∞, α].

Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και τα διαστήματα (α, +∞) και (-∞, α). Τα σύμβολα +∞ και -∞, που διαβάζονται «συν άπειρο» και «πλην άπειρο» αντιστοίχως, δεν παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς.
Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι μορφές διαστημάτων πραγματικών αριθμών και οι διάφορες αναπαραστάσεις τους:

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να αποδειχθεί ότι

i) Αν α, β ομόσημοι αριθμοί, τότε
     α < β ⇔ $\dfrac{1}{α}$ > $\dfrac{1}{β}$

ii) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α² + β² ≥ 2αβ

iii) Αν α > 0, τότε $α + \dfrac{1}{α} \geq 2$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Αφού α, β είναι ομόσημοι αριθμοί έχουμε αβ > 0 . Επομένως ισχύει:

$α \lt β$ ⇔ $\dfrac{α}{αβ} \lt \dfrac{β}{αβ}$ ⇔ $ \dfrac{1}{β} \lt \dfrac{1}{α}$ ⇔ $\dfrac{1}{α} \gt \dfrac{1}{β} $.

ii) Έχουμε:

α² + β² ≥ 2αβ ⇔ α² + β² - 2αβ ≥ 0 (α - β)² ≥ 0, που ισχύει

iii) Έχουμε:
α + ≥ 2 ⇔ α² + 1 ≥ 2α ⇔ α² +1 - 2α ≥ 0 ⇔ (α - 1)² ≥ 0, που ισχύει.

2. Αν $-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{4}$ και $-\dfrac{2}{3} \lt y \lt \dfrac{5}{6}$, να αποδειχθεί ότι:

-11 < 8x -12y + 3 < 17

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Από την ανισότητα $-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{4}$ έχουμε διαδοχικά:

$8\left(-\dfrac{1}{2}\right) \lt 8x \lt 8 \cdot \dfrac{3}{4}$

$-4 \lt 8x \lt 6$              (1)

Ομοίως από την $-\dfrac{2}{3} \lt y \lt \dfrac{5}{6}$ έχουμε διαδοχικά:

$12\left(-\dfrac{2}{3}\right) \lt 12y \lt 12 \cdot \dfrac{5}{6}$

$-8 \lt 12y \lt 10$

$8 \gt -12y \gt -10$

$-10 \lt -12y \lt 8$              (2)

Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη τις ανισότητες (1) και (2), που έχουν την ίδια φορά, και έχουμε:

-14 < 8x -12y < 14,

οπότε θα ισχύει:

-14 + 3 < 8x -12y + 3 < 14 + 3

Άρα

-11 < 8x -12y + 3 < 17

2.3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Ορισμός της απόλυτης τιμής

Θεωρούμε έναν αριθμό α που παριστάνεται με το σημείο Α πάνω σε έναν άξονα.

Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο ότι η απόσταση του σημείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ, ονομάζεται απόλυτη τιμή του αριθμού α και την συμβολίζεται με |α|.
Από τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάστηκε ο άξονας προκύπτει ότι:

• $\lvert 2 \rvert = 2$, $\lvert \dfrac{13}{5} \rvert = \dfrac{13}{5}$, $\lvert \sqrt{2} \rvert = \sqrt{2}$ και γενικά: |α| = α , για κάθε α > 0.
  

Δηλαδή:
Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.

• $\lvert -2 \rvert = 2$, $\lvert -\dfrac{13}{5} \rvert = \dfrac{13}{5}$, $\lvert -\sqrt{2} \rvert = \sqrt{2}$ και γενικά |α| = -α , για κάθε α < 0.
  Δηλαδή:Η απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του.

• |0| = 0
  

Επομένως, έχουμε τον ακόλουθο αλγεβρικό ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού.

Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε αμέσως ότι:

Για παράδειγμα,

• |x| = 5 ⇔ x = 5 ή x = -5

• |α - β| = |2α - 3β|
  ⇔ α - β = 2α - 3β ή α - β = 3β - 2α
  ⇔ α = 2β ή $α = \dfrac{4}{3}β$

Μικροπείραμα

Ιδιότητες των απόλυτων τιμών

Από τον τρόπο εκτέλεσης των πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών, προκύπτουν για τις απόλυτες τιμές οι ακόλουθες ιδιότητες:

Οι ιδιότητες αυτές, όμως, μπορούν να αποδειχθούν και με τη βοήθεια των προηγούμενων συμπερασμάτων.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1. Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας |α · β| = |α| · |β| είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά:

2. Αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο.

3. Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας |α + β| < |α| + |β| είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά:

Είναι φανερό ότι η ισότητα αβ = |αβ| ισχύει αν και μόνο αν αβ ≥ 0 , δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος με μηδέν.

Απόσταση δυο αριθμών

• Ας πάρουμε τώρα δυο αριθμούς, για παράδειγμα τους -2 και 3, που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως.

Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών -2 και 3. Παρατηρούμε ότι(ΑΒ ) = 5 = |(-2) - 3| = |3 - (-2)|.
Γενικότερα, ας θεωρήσουμε δυο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως.

Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β, συμβολίζεται με d(α,β) και είναι ίση με |α- β|. Είναι δηλαδή:

Προφανώς ισχύει d (α, β) = d (β, α) . Στην περίπτωση μάλιστα που είναι α < β, τότε η απόσταση των α και β είναι ίση με β - α και λέγεται μήκος του διαστήματος [α, β].

• Ας θεωρήσουμε τώρα ένα διάστημα [α, β] και ας ονομάσουμε Α και Β τα σημεία που παριστάνουν στον άξονα τα άκρα α και β αντιστοίχως.

Αν Μ (x₀) είναι το μέσον του τμήματος AB, τότε έχουμε

Ο αριθμός $\frac{α + β}{2}$ που αντιστοιχεί στο μέσον Μ του τμήματος ΑΒ λέγεται κέντρο του διαστήματος [α, β], ενώ ο αριθμός $ρ = \frac{β - α}{2}$ λέγεται ακτίνα του [α, β].

Ως μήκος, κέντρο και ακτίνα των διαστημάτων (α, β), [α, β) και (α, β] ορίζουμε το μήκος, το κέντρο και την ακτίνα του διαστήματος [α, β].
• Έστω τώρα ότι θέλουμε να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει |x - 3| < 2.

Από τον ορισμό της απόστασης έχουμε:

Γενικά:

Δηλαδή, οι αριθμοί x που ικανοποιούν τη σχέση |x -x₀| < ρ είναι τα σημεία του διαστήματος (x₀ - ρ, x₀ + ρ) που έχει κέντρο το x₀ και ακτίνα ρ.

Στην ειδική περίπτωση που είναι x₀ = 0 , έχουμε:

|x| < ρ ⇔x $\in$(-ρ, ρ) ⇔ -ρ < x < ρ .

Για παράδειγμα,

|x| < 2 ⇔ x $\in$(-2, 2) ⇔ -2 < x < 2 .

Από τον ορισμό της απόστασης έχουμε:

Γενικά:

Δηλαδή οι αριθμοί x που ικανοποιούν τη σχέση |x - x₀| > ρ αντιστοιχούν σε σημεία Μ(x) του άξονα x΄x που απέχουν από το σημείο Κ(x₀) απόσταση μεγαλύτερη του ρ.

Στην ειδική περίπτωση που είναι x₀ = 0 , η τελευταία ισοδυναμία παίρνει τη μορφή:

|x| > ρ ⇔ x < -ρ ή x > ρ

Για παράδειγμα:

   |x| > 2 ⇔ x < -2 ή x > 2 .

Μικροπείραμα

2.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού

Στο Γυμνάσιο μάθαμε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας μη αρνητικού αριθμού και τις ιδιότητές της. Συγκεκριμένα μάθαμε ότι:

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι:
Αν α ≥ 0, η $\sqrt{α}$ παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x² = α .

Για τις τετραγωνικές ρίζες μη αρνητικών αριθμών γνωρίσαμε τις παρακάτω ιδιότητες:

ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε μια κυβική δεξαμενή χωρητικότητας 64 κυβικών μέτρων και ζητάμε την πλευρά της. Αν x μέτρα είναι η πλευρά της δεξαμενής, τότε ο όγκος της θα είναι x3 κυβικά μέτρα και επομένως θα ισχύει: x3= 64. Αναζητούμε λοιπόν έναν αριθμό x που, όταν υψωθεί στον κύβο, θα μας δώσει 64. Ο αριθμός αυτός, αφού παριστάνει μήκος, πρέπει να είναι θετικός. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 4, διότι 43 = 64 . Ο αριθμός 4 λέγεται τρίτη ρίζα του 64 και συμβολίζεται με $\sqrt[3]{64}$. Δηλαδή $\sqrt[3]{64}$ = 4 . Η τρίτη ρίζα ενός αριθμού λέγεται και κυβική ρίζα του αριθμού αυτού. Γενικεύοντας τώρα τα παραπάνω για κάθε θετικό ακέραιο ν, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Επίσης γράφουμε

$\sqrt[1]{α} = α$ και $\sqrt[2]{α} = \sqrt{α}$

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι:
Αν α ≥ 0, τότε η $\sqrt[v]{α}$ παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x^ν = α .

Ιδιότητες των ριζών

Από τον ορισμό της ν-οστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α , συμπεραίνουμε αμέσως ότι:

⁽¹⁾Αποδεικνύεται ότι υπάρχει και είναι μοναδικός

Για παράδειγμα:

$\sqrt[6]{2^6} = 2$, ενώ $\sqrt[6]{(-2)^6} = \lvert -2 \rvert = 2$

Ισχύουν όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είναι ανάλογες των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1. Έχουμε:

$\sqrt[v]{α} \cdot \sqrt[v]{β} = \sqrt[v]{α \cdot β}$ ⇔ $(\sqrt[v]{α} \cdot \sqrt[v]{β})^v = (\sqrt[v]{α \cdot β})^ν$ ⇔ $(\sqrt[v]{α})^ν \cdot (\sqrt[v]{β})^ν$ = $α \cdot β$ ⇔ $α \cdot β = α \cdot β$,     που ισχύει.

2. Αποδεικνύεται όπως και η 1.

3. Έχουμε:

$\sqrt[μ]{\sqrt[v]{α}} = \sqrt[μ \cdot ν]{α}$ ⇔ $(\sqrt[μ]{\sqrt[v]{α}})^{μ \cdot ν} = (\sqrt[μ \cdot ν]{α})^{μ \cdot ν}$ ⇔ $\left[(\sqrt[μ]{\sqrt[v]{α}})^{μ})\right]^ν = α$ ⇔ $(\sqrt[v]{α})^ν = α$,     που ισχύει.

4. Έχουμε:

$\sqrt[v \cdot ρ]{α^{μ \cdot ρ}} = \sqrt[ν]{\sqrt[ρ]{α^{μ \cdot ρ}}} = \sqrt[ν]{\sqrt[ρ]{(α^{μ})^ρ}} = \sqrt[ν]{α^μ}$.

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

Στη συνέχεια θα ορίσουμε παραστάσεις της μορφής $α^\frac{μ}{ν}$ , όπου α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τις οποίες θα ονομάσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Ο ορισμός θα γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές μας ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη.
Τι θα πρέπει, για παράδειγμα, να σημαίνει το $3^\frac{2}{5}$; Αν απαιτήσουμε να ισχύει η ιδιότητα $(α^p)^q = α^{pq}$ και για δυνάμεις με ρητό εκθέτη, τότε θα είναι
$\left(3^{\frac{2}{5}}\right)^5$ = $3^{\frac{2}{5} \cdot 5}$ = $3^2$. Άρα πρέπει ο $3^{\frac{2}{5}}$ να είναι λύση της εξίσωσης x⁵ = 3².
Δηλαδή πρέπει να είναι $3^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{3^2}$.
Γενικά:

Επιπλέον, αν μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε $0^{\frac{μ}{v}} = 0$. Για παράδειγμα:
$8^{\frac{2}{3}}$ = $\sqrt[3]{8^2}$ = $\sqrt[3]{64} = 4$          και          $27^{-\frac{4}{3}}$ = $\sqrt[3]{27^{-4}}$ = $\sqrt[3]{\dfrac{1}{27^4}}$ = $\dfrac{1}{\sqrt[3]{27^4}}$ = $ \dfrac{1}{3^4}$.

Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ριζών αποδεικνύεται ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Το γεγονός αυτό διευκολύνει το λογισμό με τα ριζικά. Έτσι έχουμε για παράδειγμα:
$\sqrt[4]{α} \cdot \sqrt[3]{α} = α^{\frac{1}{4}} \cdot α^{\frac{1}{3}} = α^{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = α^\frac{7}{12} = \sqrt[12]{α^7}$.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να αποδειχθεί η ισοδυναμία:

$α \lt β$ ⇔ $\sqrt[v]{α} \lt \sqrt[v]{β}$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έχουμε:

$\sqrt[v]{α} \lt \sqrt[v]{β}$ ⇔ $(\sqrt[v]{α})^ν \lt (\sqrt[v]{β})^ν$ ⇔ α < β , που ισχύει.

2. Να τραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες, χωρίς ριζικά στους παρονομαστές:

i) $\dfrac{5}{\sqrt{3}}$                  ii) $\dfrac{10}{\sqrt{5}-1}$                  iii) $\dfrac{6}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

ΛΥΣΗ

Έχουμε:
i) $\dfrac{15}{\sqrt{3}} = \dfrac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{15 \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \dfrac{15 \cdot \sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$.

ii) $\dfrac{10}{\sqrt{5}-1} = \dfrac{10 (\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \dfrac{10 (\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2} = \dfrac{10 (\sqrt{5}+1)}{5-1} = \dfrac{5(\sqrt{5}+1)}{2}$.

iii) $\dfrac{6}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \dfrac{6(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \dfrac{6(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2} = \dfrac{6(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5} = 3(\sqrt{7}-\sqrt{5})$.

3. Να αποδειχθεί ότι:

$\sqrt{10}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[6]{40} = 10.$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έχουμε:

$\sqrt{10}\cdot\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[6]{40} = 10^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot40^{\frac{1}{6}} = (2\cdot5)^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot (2^3\cdot5)^{\frac{1}{6}}$

= $2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot2^{\frac{3}{6}}\cdot5^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{1}{6}}$

=$2^1\cdot5^{\frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 2\cdot5=10.$

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Ο «διπλασιασμός του τετραγώνου», δηλαδή η κατασκευή ενός τετραγώνου με εμβαδό διπλάσιο ενός άλλου δοθέντος τετραγώνου, μπορεί να γίνει με μια απλή «γεωμετρική» κατασκευή. Λέγοντας «γεωμετρική» κατασκευή εννοούμε κατασκευή με χάρακα και διαβήτη.

Ωστόσο, η πλευρά β, του τετραγώνου με το διπλάσιο εμβαδό, δεν προκύπτει από την πλευρά α με πολλαπλασιασμό επί ρητό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα (ως μονάδα μέτρησης) με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε ακριβώς τα δυο αυτά τμήματα, πλευρά και διαγώνιο τετραγώνου. Η απόδειξη της ύπαρξης άρρητων αριθμών θεωρείται μια από τις σπουδαιότερες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων. (Πυθαγόρας: 6ος π. Χ. αιώνας). Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν μια βαθειά πίστη ότι πάντοτε δυο ευθύγραμμα τμήματα έχουν κοινό μέτρο. Γι’ αυτό, στα πλαίσια της εποχής εκείνης, η ανακάλυψη αυτή των Πυθαγορείων δεν ήταν απλά και μόνο μια ενδιαφέρουσα μαθηματική πρόταση, αλλά σήμαινε την ανατροπή θεμελιωδών φιλοσοφικών αντιλήψεων για τον κόσμο και τη φύση.

Ήταν κεντρική αντίληψη των Πυθαγορείων ότι η ουσία κάθε όντος μπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθμούς. Ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος γύρω στα 450 π.Χ., έγραφε:

«Πραγματικά το καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν αριθμό (δηλαδή φυσικό). Αλλιώς θα ήταν αδύνατο να το γνωρίσουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική. Το ένα είναι η αρχή του παντός».

Η ανακάλυψη λοιπόν ότι υπάρχουν μεγέθη και μάλιστα απλά, όπως η υποτείνουσα τετραγώνου, τα οποία δεν μπορούν να εκφραστούν στα πλαίσια των φυσικών αριθμών, θεωρήθηκε αληθινή συμφορά για την πυθαγόρεια φιλοσοφία. Χαρακτηριστικοί είναι οι θρύλοι που περιβάλλουν το γεγονός αυτό. Κατά έναν από αυτούς, η ανακάλυψη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών έγινε από τον πυθαγόρειο Ίπασσο, όταν αυτός και άλλοι Πυθαγόρειοι ταξίδευαν με πλοίο. Η αντίδραση των Πυθαγορείων ήταν να πνίξουν τον Ίπασσο και να συμφωνήσουν μεταξύ τους να μη διαδοθεί η ανακάλυψη προς τα έξω.

Η υπέρβαση των «δυσκολιών» που φέρνει στα Μαθηματικά η ύπαρξη άρρητων αριθμών, κατέστη δυνατή από τον Εύδοξο (360 π.Χ.) με την ιδιοφυή «θεωρία των Λόγων». Η απόδειξη για το ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι άρρητος είναι ένα πρόβλημα που απαιτεί πολλές φορές πολύπλοκούς συλλογισμούς.