Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
3.36 Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά 3.38 Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Εικόνα

Διακρίνω αν δύο ποσά είναι μεταξύ τους αντιστρόφως ανάλογα.

Λύνω προβλήματα με τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα.

Λύνω προβλήματα με τη μέθοδο των ίσων γινομένων.

Δραστηριότητα 1η  

Το πρόγραμμα της παιδικής κατασκήνωσης προβλέπει ότι τα παιδιά θα τρώνε ένα παγωτό την ημέρα. Ο υπεύθυνος για το πρόγραμμα διατροφής της κατασκήνωσης, προμηθεύτηκε τόσα παγωτά, ώστε να επαρκέσουν για 20 ημέρες για τους 15 μαθητές που θα φιλοξενούσε η κατασκήνωση. Αν έρθουν 25 μαθητές για πόσες ημέρες θα έχουν παγωτό;

  • Μπορώ να βρω εύκολα για πόσες ημέρες θα έχουν παγωτό τα 25 παιδιά;

  • Αν στην κατασκήνωση, αντί για 15 παιδιά, πήγαινε μόνο 1 παιδί, μπορώ να υπολογίσω για πόσες μέρες θα είχε παγωτά (αν έτρωγε ένα την ημέρα);

  • Με τον τρόπο αυτό βρίσκω πόσα είναι τα παγωτά. Στη συνέχεια μπορώ να βρω για πόσες ημέρες θα επαρκέσουν για τους 25 μαθητές.

  • Κάνω τις πράξεις: Αφού προβλεπόταν 15 παιδιά να έχουν παγωτά για 20 μέρες,

    1 παιδί θα έχει παγωτά για ............. Άρα τα παγωτά είναι ..................................................

    Όμως τα παιδιά είναι 25 και θα μοιραστούν τα παγωτά.

    Εικόνα

    Έτσι θα έχουν παγωτά για........................................................

Δραστηριότητα 2η  
  • Στο ίδιο πρόβλημα εργάζομαι με άλλο τρόπο:

  • Βρίσκω τα ποσά. Μπορείς να τα ονομάσεις;

  • Συμπλήρωσε τα ποσά και τις αντίστοιχες τιμές που μας δίνει το πρόβλημα.

Την άγνωστη τιμή τη συμβολίζω με x.

ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
     
     

Εξετάζω τη σχέση ανάμεσα στα ποσά αριθμός μαθητών και αριθμός ημερών .... (δηλαδή όταν οι μαθητές γίνουν περισσότεροι, τα παγωτά επαρκούν για περισσότερες ή για λιγότερες ημέρες;)

Διακρίνω, ότι τα ποσά αριθμός μαθητών και αριθμός ημερών είναι μεταξύ τους...........................

Τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών τους είναι .........................................................................

Δηλαδή: ........ · ........ = ........ · ........

  • Μπορείς τώρα να βρεις τον άγνωστο όρο αυτής της ισότητας;

    ....................................................................................................................................

    ....................................................................................................................................

Από τις παραπάνω δραστηριότητες διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να βρούμε την άγνωστη τιμή σε ένα πρόβλημα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά με δύο τρόπους:

α) Με αναγωγή στη μονάδα

Η διαδικασία με την οποία σε ένα πρόβλημα με ποσά αντιστρόφως ανάλογα, βρίσκω πρώτα την τιμή της μιας μονάδας (με πολλαπλα­σιασμό) και στη συνέχεια διαιρώντας βρίσκω την άγνωστη τιμή, λέγεται αναγωγή στη μονάδα.

Παραδείγματα

Οι 3 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 20 ημέρες. Σε πόσες ημέρες τελειώνουν το ίδιο έργο οι 10 εργάτες;

Λύση

Οι 3 εργάτες τελειώνουν το έργο σε 20 ημέρες.
Ο 1 εργάτης τελειώνει το έργο σε 20 · 3 = 60 ημέρες
Οι 10 εργάτες τελειώνουν το έργο σε 60 : 10 = 6 ημέρες

β) Σχηματίζοντας πίνακα ποσών και τιμών

  • Εργάζομαι ως εξής:
  • Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιμών.
  • Εξετάζω αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.
  • Χρησιμοποιώ μεταβλητή για την άγνωστη τιμή.
  • Σχηματίζω την εξίσωση που δημιουργείται από τα ίσα γινόμενα των τιμών.
  • Βρίσκω τον άγνωστο όρο, λύνοντας την εξίσωση.

Παραδείγματα

Τα ποσά αριθμός εργατών και ημέρες εργασίας είναι αντιστρόφως ανάλογα (ο διπλάσιος αριθμός εργατών τελειώνει το έργο στις μισές μέρες).

Λύση

ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
Αριθμός εργατών 5 10
Ημέρες εργασίας 20 x

Τα ποσά αριθμός εργατών και ημέρες εργασίας είναι αντιστρόφως ανάλογα (ο διπλάσιος αριθμός εργατών τελειώνει το έργο στις μισές μέρες)
Άρα τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών είναι ίσα.
Σχηματίζω τα γινόμενα και βρίσκω τον άγνωστο όρο.

10 · x = 20 · 3

10 · x = 60 επομένως x = 60 : 10     Άρα x = 6 ημέρες

 

Εφαρμογή

Τα 12 λεωφορεία για τη μεταφορά των μαθητών κάνουν 2 δρομολόγια. Τα 4 λεωφορεία χάλασαν. Πόσα δρομολόγια θα κάνουν τα 8 λεωφορεία που έμειναν;

Λύση:

α) Με αναγωγή στη μονάδα:   Τα 12 λεωφορεία κάνουν 2 δρομολόγια
Το 1 λεωφορείο θα έκανε 12 · 2 = 24 δρομολόγια
Τα 8 λεωφορεία θα κάνουν 24 : 8 = 3 δρομολόγια
β) με πίνακα τιμών:  
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
Aριθμός λεωφορείων 12 8
Δρομολόγια 2 x
Εικόνα

Σχηματίζω την εξίσωση των ίσων γινόμενων: 8 · x = 12 · 2

και τη λύνω 8 · x = 24 επομένως x = ............. Άρα x = .....

Απάντηση: Τα 8 λεωφορεία θα κάνουν ..... δρομολόγια.

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τον όρο αναγωγή στη μονάδα σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα. Μπορείς να τον εξηγήσεις με δικά σου παραδείγματα;

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος
  • Αναγωγή στη μονάδα σημαίνει: βρίσκω την τιμή του ενός.
Εικόνα Εικόνα
  • Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόμενα είναι ίσα.
Εικόνα Εικόνα
  • Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσους λόγους.
Εικόνα Εικόνα