30. Λόγος δυο μεγεθών

Λόγοι - Αναλογίες


ΤΙΤΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟY		ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ
30.	Σου δίνουμε το... λόγο μας	Λόγος δυο μεγεθών
31.	Από το λόγο στην αναλογία... τι γλυκό!	Από τους λόγους στις αναλογίες
32.	Αναλογία; Χιαστί θα βρω το x!	Αναλογίες
33.	Εκφράζομαι...ακριβώς!	Σταθερά και μεταβλητά ποσά
34.	Όταν ανεβαίνω... ανεβαίνεις	Ανάλογα ποσά
35.	Η εύκολη λύση!	Λύνω προβλήματα με ανάλογα ποσά
36.	Μαζί δεν κάνουμε και χώρια δεν μπορούμε!	Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά
37.	Παίρνοντας αποφάσεις!	Λύνω προβλήματα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά
38.	Η απλή μέθοδος των τριών!	Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά
39.	Είναι απλό όταν ξέρω τις τρεις τιμές!	Η απλή μέθοδος των τριών στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά
40.	Συγκρίνω (πο)σωστά %	Εκτιμώ το ποσοστό
41.	Παίζοντας με τα ποσοστά	Βρίσκω το ποσοστό
42.	Ποσοστά της αλλαγής	Λύνω προβλήματα με ποσοστά:Βρίσκω την τελική τιμή
43.	Από πού έρχομαι;	Λύνω προβλήματα με ποσοστά:
		Βρίσκω την αρχική τιμή
44.	Για να μη λέμε πολλά ...	Λύνω προβλήματα με ποσοστά:
		Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό

	Όταν μιλάμε συμβολικά	Ανακεφαλαίωση για τη θεματική ενότητα 3: Λόγοι - Αναλογίες

Λόγοι - Αναλογίες

Σε αυτή τη θεματική ενότητα θα ασχοληθούμε με τους λόγους και τις αναλογίες.

Ανάμεσα στις πρώτες μαθηματικές ιδέες των προϊστορικών ανθρώπων είναι οι αναλογίες και η συμμετρία. Οι πρωτόγονες ζωγραφιές στα σπήλαια μαρτυρούν την ύπαρξη αυτών των ιδεών. Οι ζωγραφιές αυτές έχουν σχεδιαστεί από επιδέξιους τεχνίτες οι οποίοι στην προσπάθειά τους να ερμηνεύσουν το περιβάλλον απόδωσαν εικόνες ζώων, κυνηγών, γεωμετρικών σχημάτων κ.ά. σε μεγέθη όχι τυχαία αλλά σε αναλογία με την πραγματικότητα.

Όπως τότε, έτσι και σήμερα η μελέτη του περιβάλλοντος έδωσε στον άνθρωπο τα ερεθίσματα ώστε να συστηματοποιήσει τις σκέψεις του και να τις μετατρέψει σε γνώση. Η γνώση αύτη αποτελεί το εργαλείο που χρησιμοποιεί ο άνθρωπος για να ερμηνεύει το περιβάλλον του, αλλά ταυτόχρονα είναι και η βάση που του επιτρέπει να επιδρά σε αυτό.

Συγκρίνω μεγέθη.

Μελετώ τη σχέση δύο μεγεθών.

Εκφράζω τη σχέση δύο μεγεθών με λόγο.

Αναγνωρίζω τους αντίστροφους λόγους.

Δραστηριότητα 1η

Εικόνα

Οι μαθητές της Στ΄ τάξης του Δημοτικού Σχολείου Δοξάτου ερεύνησαν τις αιτίες της αυξημένης κίνησης στους δρόμους γύρω από το σχολείο τους. Βρήκαν τα στοιχεία για τον αριθμό των αυτοκινήτων και τον αριθμό των κατοίκων της πόλης τους για τα έτη 1980 και 2000 και τα κατέγραψαν στους παρακάτω πίνακες:

Έτος 1980

Aυτοκίνητα	345
Kάτοικοι	3.450

Έτος 2000

Aυτοκίνητα	850
Kάτοικοι	3.150

Παρατηρώντας τα στοιχεία στους πίνακες, σχολιάστε στην ομάδα σας πόσο αυξήθηκε ο αριθμός των αυτοκινήτων μέσα στην τελευταία εικοσαετία και διατυπώστε τα συμπεράσματά σας.
Συζητήστε τη σχέση του αριθμού των αυτοκινήτων με τον αριθμό των κατοίκων.
Γιατί σήμερα υπάρχει η ανάγκη του σχολικού τροχονόμου;......................................................

....................................................................................................................................

Δραστηριότητα 2η

Συμπλήρωσε στους πίνακες την περίμετρο κάθε σχήματος:

Mήκος πλευράς ισόπλευρου τριγώνου (εκατοστά)	3
Περίμετρος τριγώνου (εκατοστά)

Mήκος πλευράς τετραγώνου (εκατοστά)	5
Περίμετρος τετραγώνου (εκατοστά)

Πώς προκύπτει ο αριθμός στη δεύτερη γραμμή και στις δύο περιπτώσεις;...................................
Η σχέση ανάμεσα στο μήκος της πλευράς και την περίμετρο μπορεί να εκφραστεί και ως κλάσμα.
Χρησιμοποιώντας τα στοιχεία από τους παραπάνω πίνακες να γράψεις το κλάσμα αυτό για:
Το τρίγωνο: ........... το τετράγωνο: ............

Σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητο να συγκρίνουμε δύο μεγέθη και να μελετήσουμε τη σχέση τους:

Λόγος

Το αποτέλεσμα της σύγκρισης δύο μεγεθών που εκφράζεται ως κλάσμα ονομάζεται λόγος.
Το κλάσμα αυτό έχει αριθμητή το ένα μέγεθος και παρονομαστή το άλλο.

Παραδείγματα

Ο πύργος του Άιφελ έχει ύψος περίπου 300 μέτρα, ενώ ο Λευκός Πύργος περίπου 30 μέτρα.

Ο λόγος των υψών τους είναι ή ή 10.

(Δηλαδή ο πρώτος είναι 10 φορές ψηλότερος.)

Εφαρμογή 1η

Εικόνα

Στην έκτη τάξη φοιτούν 28 μαθητές. Yπάρχουν 14 θρανία.

α. Ποιος είναι ο λόγος των μαθητών προς τα θρανία;

β. Ποιος είναι ο λόγος των θρανίων προς τους μαθητές;

Λύση - Απάντηση:

α. Ο λόγος είναι , δηλαδή απλοποιώντας .

Με άλλα λόγια, αντιστοιχούν 2 μαθητές σε 1 θρανίο.

β. Ο λόγος είναι , δηλαδή απλοποιώντας .

Με άλλα λόγια, αντιστοιχεί 1 θρανίο σε 2 μαθητές.

Παρατηρούμε ότι οι λόγοι και είναι αντίστροφοι γιατί =.... .

Εφαρμογή 2η

Τα παιδιά έκαναν μια μικρή έρευνα σχετικά με την κατανάλωση ενέργειας των αυτοκινήτων και βρήκαν ότι ένας πολύ καλός λόγος κατανάλωσης προς απόσταση είναι 1
λίτρο προς 25 χιλιόμετρα ().

Ο Νικόλας ρώτησε τον μπαμπά του πόσα περίπου χιλιόμετρα κάνει το αυτοκίνητό τους με ένα ντεπόζιτο βενζίνη και εκείνος του είπε πως συνήθως με 50 λίτρα κάνει 400 χιλιόμετρα. Είναι οικονομικό το αυτοκίνητό τους;

Λύση:

Ο Νικόλας βρίσκει το λόγο κατανάλωση του αυτοκινήτου τους: .

Απλοποιεί και βρίσκει .

Απάντηση: Το αυτοκίνητό τους έχει πολύ μικρότερο λόγο κατανάλωσης προς απόσταση (με 1 λίτρο ταξιδεύει μόνο 8 χιλιόμετρα, πολύ λιγότερα από τα 25 χιλιόμετρα).

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τον όρο λόγος. Μπορείς να εξηγήσεις τη σημασία του με δικά σου παραδείγματα;

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις:	Σωστό	Λάθος
Ο λόγος εκφράζει τη σχέση δύο μεγεθών.
Σε κάθε λόγο ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή.
Οι λόγοι και είναι αντίστροφοι.