Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
2.25 H έννοια της μεταβλητής 2.27 Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Εικόνα

Σχηματίζω την εξίσωση ενός προβλήματος.

Λύνω μια εξίσωση με δοκιμές και έλεγχο.

Λύνω μια εξίσωση χρησιμοποιώντας την αφαίρεση ως αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης.

Δραστηριότητα 1η  

Η Δέσποινα πήγε στο σχολείο με μερικά ψιλά στην τσέπη της. Στο δρόμο βρήκε 23 λεπτά. Όταν έφτασε στο σχολείο και μέτρησε τα λεφτά της είδε ότι είχε 1,13 €. Πόσα χρήματα είχε άραγε όταν έφυγε από το σπίτι;

  • Χρησιμοποίησε μια μεταβλητή για να συμβολίσεις το ποσό που μας ζητάει να βρούμε.

    ...................................................................................................

    Εικόνα

  • Μπορείς με τη βοήθεια της μεταβλητής που επέλεξες και τα ποσά που ήδη γνωρίζεις να εκφράσεις με μια ισότητα την κατάσταση που περιγράφει το πρόβλημα;

    .................................................................................

  • Γράψε την ισότητα: .......................................................

  • Οι φίλοι της Δέσποινας διαφωνούν για τα λεπτά που είχε στην τσέπη της. Ο Ανδρέας λέει ότι ήταν 80, η Ειρήνη 85, ο Χρήστος 90 και η Πόπη 95 λεπτά. Ποιος έχει δίκιο και γιατί;

    ....................................................................................................................................

Δραστηριότητα 2η  

Η Μαρία αγόρασε στις διακοπές της ένα καλοκαιρινό μπλουζάκι που κόστιζε 12,50 € και ζήτησε από το κατάστημα να προσθέσουν επάνω μια σιδερότυπη στάμπα με το όνομά της. Στο τέλος πλήρωσε 18,40 €. Πόσο στοιχίζει η στάμπα;

Εικόνα

  • Χρησιμοποίησε μια μεταβλητή για να συμβολίσεις το ποσό που μας ζητάει να βρούμε, και σχημάτισε την ισότητα με τα στοιχεία του προβλήματος:

    ...................................................................................................

  • Αν η Μαρία μετανιώσει για τη στάμπα που πρόσθεσε στο μπλουζάκι της μπορεί να αναιρέσει αυτή τη διαδικασία;...............................................

  • Οι ενέργειες που αναιρούν η μία την άλλη λέγονται ...............................
    Γράψε τις αντίστροφες στις πιο κάτω ενέργειες:

    Ανεβαίνω......................................Προσθέτω......................................

  • Στα μαθηματικά αναιρείται η πρόσθεση;.................................................

  • Αν ναι με ποιον τρόπο;.......................................................................

  • Με βάση τις αντίστροφες πράξεις γράψε τις αφαιρέσεις που προκύπτουν από μια πρόσθεση, για παράδειγμα: 5 + 3 = 8

    ..... – ..... = ..... και ..... – ..... = .....

  • Εφαρμόζοντας τις αντίστροφες πράξεις, τι θα κάνεις για να βρεις τον άγνωστο προσθετέο στην ισότητα που έγραψες για το πρόβλημα;

    ....................................................................................................................................

    ....................................................................................................................................



Από τα προηγούμενα διαπιστώνουμε ότι ένα πρόβλημα μπορεί να εκφραστεί συμβολικά με μια ισότητα βάζοντας στη θέση του άγνωστου ποσού μια μεταβλητή.
Μικροπείραμα Πείραμα

Εξίσωση

Μια ισότητα που περιέχει μια μεταβλητή, λέγεται εξίσωση με έναν άγνωστο.

Παραδείγματα

x+5=12

Η τιμή που επαληθεύει την εξίσωση ονομάζεται λύση της εξίσωσης. Η λύση της εξίσωσης x + 5 = 12 είναι ο αριθμός 7. Αν αντικαταστήσω τη μεταβλητή με το 7 έχω 7 + 5 = 12
Όταν ο άγνωστος έχει τη θέση προσθετέου, για να λύσω την εξίσωση αφαιρώ από το άθροισμα τον άλλο προσθετέο. Η λύση της εξίσωσης x + 5 = 12 είναι x = 12 - 5

Η εξίσωση μοιάζει με μια ζυγαριά που ισορροπεί. Αν πρέπει να αφαιρέσω έναν αριθμό από τη μία πλευρά, για να συνεχίσει να ισορροπεί, πρέπει να αφαιρέσω τον ίδιο αριθμό κι από την άλλη.

 

Εφαρμογή 1η   H εξίσωση σαν ζυγαριά

Εικόνα

Σε μια ζυγαριά με δύο δίσκους τοποθετούμε στον έναν βάρος 115 γραμμαρίων και στον άλλο 45 γραμμάρια. Πόσο βάρος πρέπει να τοποθετήσουμε ακόμη, ώστε να ισορροπήσει η ζυγαριά; Με τη βοήθεια μιας μεταβλητής, γράψε την εξίσωση που περιγράφει την κατάσταση αυτή και υπολόγισε τον άγνωστο.

Λύση

1. Ονομάζω την άγνωστη τιμή x. Η εξίσωση στη ζυγαριά είναι 45 + x = 115.

2. Σκέφτομαι πως για να ισορροπήσει η ζυγαριά πρέπει τα βάρη στους δυο δίσκους να είναι ίσα. Yπολογίζω με το νου πόσο είναι το x, προσθέτοντας όσο βάρος χρειάζεται στο 45 ώστε να γίνει 115. Έτσι 45 + ....... = 115. Άρα x = ..........

Απάντηση: Πρέπει να βάλουμε ακόμη ....... γραμμάρια στο δίσκο.

 

Εφαρμογή 2η   Λύση εξίσωσης με τις αντίστροφες πράξεις

Ο Λευτέρης είχε 16 κάρτες ποδοσφαιριστών, όταν άρχισε να παίζει με τον Γιώργο και κέρδισε μερικές από αυτόν. Τώρα έχει 27 κάρτες. Πόσες κάρτες κέρδισε από τον Γιώργο; Να εκφράσεις με εξίσωση το πρόβλημα και να το λύσεις.

Λύση

1. Άγνωστη τιμή είναι ο αριθμός των καρτών που κέρδισε ο Λευτέρης. Την ονομάζω κ.

Εικόνα

2. Η εξίσωση είναι 16 + κ = 27. Για να λύσω την εξίσωση αφαιρώ από το άθροισμα τον άλλο προσθετέο:

3. κ = ...... – ........ Άρα κ = ........

Απάντηση: Ο Λευτέρης κέρδισε ....... κάρτες από τον Γιώργο.

Μικροπείραμα 1Πείραμα    Μικροπείραμα 2Πείραμα

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τους όρους εξίσωση και άγνωστος προσθετέος και μάθαμε να λύνουμε εξισώσεις πρόσθεσης. Παρουσίασε ένα δικό σου παράδειγμα.

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος
  • Λύση μιας εξίσωσης είναι η τιμή του άγνωστου που επαληθεύει την εξίσωση.
Εικόνα Εικόνα
  • Η λύση της εξίσωσης 15 + α = 15 είναι το 1.
Εικόνα Εικόνα
  • Σε μια εξίσωση πρόσθεσης, κάνεις αφαίρεση για να τη λύσεις.
Εικόνα Εικόνα