Το απλό (ή μαθηματικό) εκκρεμές είναι μία ιδανική διάταξη που αποτελείται από ένα σώμα Σ μάζας m δεμένο στο ένα άκρο νήματος μήκους ℓ το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα συνδεδεμένο (Εικ. 16).

Επειδή θέλουμε το σώμα κατά την κίνησή του να μη συναντά δυνάμεις από τον αέρα καθώς και το νήμα να είναι αβαρές και μη εκτατό, χρησιμοποιούμε σώμα μικρό, σφαιρικό και συμπαγές και νήμα λεπτό και σκληρό.

Αρχικά το σώμα ηρεμεί στη Θ.Ι. του Ο, όπου το νήμα «δείχνει» και την κατακόρυφη του τόπου.

Αν στη συνέχεια απομακρύνουμε το σώμα από τη Θ.Ι. του (Εικ. 17), οπότε το νήμα θα σχηματίσει με τη αρχική του θέση γωνία φ_ο, και το αφήσουμε ελεύθερο, τότε αυτό θα εκτελέσει ταλάντωση ΑΟΒΟΑ.

Αυτή η ταλάντωση μπορεί, με καλή προσέγγιση, να θεωρηθεί γραμμική όταν η γωνία φ_ο είναι ικανοποιητικά μικρή (φ_ο ≤ 3°), οπότε το τόξο ΑΟΒ μπορεί να θεωρηθεί ευθύγραμμο και να ταυτιστεί με τη χορδή ΑΒ.

Σε μία τέτοια περίπτωση αποδείκνύεται, με καλή προσέγγιση επίσης, ότι η γραμμική ταλάντωση είναι και αρμονική.

Βέβαια είναι φανερό ότι, απλό εκκρεμές δεν υπάρχει στη φύση και συνεπώς μόνο για κάποια, μικρή έως μεγάλη, προσέγγισή του μπορούμε να μιλάμε σε μερικές περιπτώσεις όπως:

ένα κεράσι που κινείται κρεμασμένο από το κοτσάνι του (Εικ. 18), ένα στρογγυλό σώμα που πηγαινοέρχεται κρεμασμένο με αλυσίδα σ' ένα ρολόι τοίχου, ένας ακροβάτης που εκτελεί το ακροβατικό του σ' ένα τσίρκο, ένας σάκκος που χρησιμοποιείται από έναν παλαιστή για την προπόνηση, ένα παιδί που «κάνει» κούνια σε μία παιδική χαρά (Εικ. 19), ένας πίθηκος που χρησιμοποιεί ένα χορτόσκοινο (Εικ. 20) για να περάσει από ένα δέντρο στο διπλανό του.

Για ν' αποδείξουμε, τώρα, ότι η ταλάντωση ενός απλού εκκρεμούς είναι Γ.Α.Τ., θεωρούμε το σώμα σε μία τυχαία θέση Γ της τροχιάς του (Εικ. 21), όπου η απομάκρυνσή του είναι x και το νήμα σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφη (λόγω της μικρής γωνίας η απομάκρυνση x ταυτίζεται με το τόξο ΓΟ).

Το σώμα στη θέση αυτή δέχεται δυο δυνάμεις: την τάση Τ του νήματος και το βάρος του Β.

Για να βρούμε τη συνισταμένη των δύο προηγουμένων δυνάμεων αναλύουμε πρώτα το βάρος Β σε δύο συνιστώσες: την Β_π πάνω στη διεύθυνση του νήματος και την Β_x κάθετα μ' αυτήν.

Οι δυνάμεις Τ και Β_x εξουδετερώνονται, συνεπώς συνισταμένη F_ολ των δυνάμεων Τ και Β είναι η Β_π η οποία:

•

έχει φορά προς τη Θ.Ι. και μέτρο F_oλ = Β·ημφ ή επειδή Β = m·g και ημφ = xℓ:

•

F_ολ = m·gℓ·x     20

Επομένως ικανοποιούνται οι απαραίτητες προϋποθέσεις και, άρα, η κίνηση του σώματος είναι Γ.Α.Τ.

Για να βρούμε, τέλος, από τι εξαρτάται η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς πραγματοποιούμε τα παρακάτω πειράματα:

•

αλλάζουμε το υλικό κατασκευής του σώματος (άρα και την πυκνότητα) και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.

•

αλλάζουμε τη μάζα του σώματος και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.

•

αλλάζουμε το πλάτος (άρα και τη γωνία μεγίστης απόκλισης φ_ο) και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος δεν αλλάζει.

•

αλλάζουμε το μήκος του εκκρεμούς και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει και μάλιστα όταν το μήκος μεγαλώνει, μεγαλώνει και η περίοδος ενώ όταν το μήκος μικραίνει η περίοδος μικραίνει επίσης.

Αν, μάλιστα, μπορέσουμε να συμπληρώσουμε ένα πίνακα τιμών περιόδου-μήκους (Τ-ℓ) θα μπορέσουμε να βρούμε και πως ακριβώς εξαρτάται η περίοδος από το μήκος.

Πράγματι από τον πίνακα (Εικ. 22) που, από δικές μας μετρήσεις προέκυψε, βλέπουμε ότι:

•

όταν το μήκος του εκκρεμούς μεγαλώνει 4 φορές, η περίοδος μεγαλώνει (περίπου) 2 (όσο η τετραγωνική ρίζα του 4) και όταν το μήκος μεγαλώνει 9 φορές, η περίοδος μεγαλώνει (περίπου) 3 (όσο η τετραγωνική ρίζα του 9),

•

για να αλλάξουμε την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας θα έπρεπε να επαναλάβουμε το πείραμα σε άλλους τόπους.

Αυτό βέβαια, είναι αρκετά δύσκολο και κουραστικό, γι' αυτό αναγκαζόμαστε να καταφύγουμε σ' ένα πειραματικό τέχνασμα (Εικ. 23). Τοποθετούμε κάτω από το εκκρεμές (το σφαιρίδιο του οποίου έχουμε φροντίσει να είναι από σίδηρο) ένα ηλεκτρομαγνήτη.

Όταν ο ηλεκτρομαγνήτης διαρρέεται από ρεύμα (η τιμή του οποίου καθορίζει και το πόσο ισχυρός είναι), έλκει το σώμα και προκαλεί φαινομενική αύξηση του βάρους του άρα και της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

Έτσι διαπιστώνουμε ότι, όταν η επιτάχυνση της βαρύτητας μεγαλώνει, η περίοδος μικραίνει.

Από τα προηγούμενα, αλλά και από άλλα, μεγαλύτερης ακρίβειας, πειράματα συμπεραίνουμε:

Η περίοδος απλού εκκρεμούς:

•

είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του μήκους του και

•

αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

Για να βρούμε, τώρα, τη μαθηματική έκφραση της περιόδου αντικαθιστούμε στη γενική σχέση (11) την τιμή:

D = m·gℓ     21

που προκύπτει για τη σταθερά επαναφοράς από τη σχέση (20) και βρίσκουμε:

T = 2·π·√ℓg     22

Από την τελευταία σχέση μπορούν να προκύψουν και θεωρητικά τα ίδια συμπεράσματα μ' αυτά που πειραματικά προέκυψαν.

Παράδειγμα 4

Να βρεθεί η τιμή της επιτάχυνσης g της βαρύτητας με τη βοήθεια του πρώτου ζεύγους τιμών του πίνακα (Εικ. 22).

Σε ποια περιοχή της Γης μπορεί να υπάρχει αυτή η τιμή;

Ποια η αξιοπιστία του εκτελεσθέντος πειράματος;

Λύση

Έχουμε:

T = 2·π·√ℓg ⇒

T² = 4·π²·ℓg ⇒ T²·g = 4·π²·ℓ ⇒ g = 4·π²·ℓT²

απ' όπου με αντικατάσταση:

g = 4·3,14²·0,1m(0,63s)² ⇒ g = 9,94m/s²

Η τιμή αυτή δεν μπορεί να υπάρχει σε καμία περιοχή της Γης, διότι είναι έξω από το επιτρεπόμενο όριο τιμών (9,78m/s²-9,83m/s²). Αυτό δείχνει ότι το πείραμά μας δεν είχε απόλυτη επιτυχία.