α. Ορισμοί - Θεμελειωδη μεγέθη

Για τη μελέτη της ταλάντωσης που πραγματοποιεί σώμα με τη βοήθεια ελατηρίου χρειαζόμαστε ένα ιδανικό ελατήριο (με σταθερά k και φυσικό μήκος ℓ_o), ένα συμπαγές σφαιρικό σώμα (μάζας m) ένα χρονόμετρο X και μία μετροταινία Μ.

Τοποθετούμε το ελατήριο κατακόρυφα συνδέοντας το πάνω άκρο του σταθερά και σταθεροποιούμε τη μετροταινία παράλληλα με τον άξονά του.

Δένουμε το σώμα στο κάτω άκρο του ελατηρίου που λέγεται θέση φυσικού μήκους (Φ.Μ.) και το ακινητοποιούμε με τη βοήθεια του χεριού μας (Εικ. 7α) σε κάποια θέση Ο.

Η θέση αυτή λέγεται ισορροπίας (Θ.Ι.) διότι εκεί το σώμα ισορροπεί με την επίδραση του βάρους του Β και της δύναμης που δέχεται από το ελατήριο.

Από τη συνθήκη ισορροπίας έχουμε:

k·α = m·g     1

όπου α η επιμήκυνση του ελατηρίου.

Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση Ο, το μεταφέρουμε κατακόρυφα πιο κάτω σε θέση Α και το αφήνουμε ελεύθερο.

Βλέπουμε τότε (Εικ. 7β*), ότι το σώμα αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, φθάνει με κάποια ταχύτητα στη θέση Ο, συνεχίζει και φθάνει σε θέση Β όπου στιγμιαία σταματά και αμέσως αρχίζει να κινείται προς τα κάτω, περνά ξανά από τη θέση Ο με κάποια ταχύτητα συνεχίζει και φθάνει στην αρχική θέση Α όπου στιγμιαία σταματά και στη συνέχεια επαναλαμβάνει διαρκώς την ίδια διαδικασία.

Η κίνηση, άρα, του σώματος είναι ταλάντωση και μάλιστα γραμμική διότι πραγματοποιείται μεταξύ δυο ακραίων θέσεων Α και Β και είναι και ευθύγραμμη.

Μετρώντας με τη μετροταινία, λαμβάνοντας ως αφετηρία τη Θ.Ι., βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή ΟΑ του μέτρου της μετατόπισης του σώματος όταν αυτό κινείται κάτω από τη Θ.Ι. του είναι ψ_o.

Βρίσκουμε επίσης ότι η μέγιστη τιμή ΟΒ του μέτρου της μετατόπισης του σώματος όταν αυτό κινείται πάνω από τη Θ.I. του είναι πάλι ψ_o ισχύει δηλαδή ΟΑ = ΟΒ.

Ονομάζουμε απομάκρυνση ψ την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης του σώματος από τη θέση ισορροπίας και πλάτος ψ_o τη μέγιστη τιμή του μέτρου της.

Με τη βοήθεια του χρονομέτρου βρίσκουμε την περίοδο Τ της ταλάντωσης μετρώντας το χρόνο για τη διαδρομή ΑΟΒΟΑ ή για τη διαδρομή ΟΒΟΑΟ ή για οποιονδήποτε «κύκλο» και διαπιστώνουμε ότι παραμένει σταθερή.

Μπορούμε επίσης να μετρήσουμε τους χρόνους για τις διαδρομές AO, ΟΒ, ΒΟ και ΟΑ και να διαπιστώσουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους (άρα ο καθένας είναι ίσος με Τ/4).

Πίνακας τιμών της απομάκρυνσης σε χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές.

Εικόνα 5-8.

Με τη βοήθεια των μετρήσεων που μέχρι τώρα έχουμε κάνει μπορούμε να συμπληρώσουμε ένα πίνακα τιμών (Εικ. 8) της απομάκρυνσης ψ σε συνάρτηση με το χρόνο κίνησης t (για απλούστευση θεωρούμε μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι.) και να σχεδιάσουμε με τη βοήθειά του την καμπύλη ψ = f(t) (Εικ. 9). Όμως τόσο ο πίνακας όσο και το διάγραμμα, μας δίνουν πολύ λίγες πληροφορίες.

Αν θέλουμε οι πληροφορίες αυτές να είναι πολύ περισσότερες, μπορούμε, αν φυσικά έχουμε τη δυνατότητα, να χρησιμοποιήσουμε χρονοφωτογραφία όπου το σώμα στη διάρκεια μίας περιόδου έχει φωτογραφηθεί πολλές φορές σε διάφορες θέσεις.

Αυτές οι θέσεις απέχουν χρονικά μεταξύ τους όσο ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών φωτογραφίσεων (η απομάκρυνση μετριέται με την μετροταινία που επίσης φαίνεται στις φωτογραφίες).

Έτσι ο πίνακας τιμών ψ-t είναι αρκετά πλήρης ώστε η καμπύλη ψ = f(t) που με τη βοήθειά του κατασκευάζουμε (Εικ. 10) να μπορεί να σχεδιασθεί συνεχής και να θεωρείται ότι βρίσκεται πολύ κοντά στην πραγματική.

Αυτή η καμπύλη έχει ημιτονοειδή μορφή πράγμα που είναι και το χαρακτηριστικό της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης.

Γραμμική αρμονική ταλάντωση λέγεται η ταλάντωση που πραγματοποιεί ένα σώμα όταν η τροχιά του είναι ευθεία γραμμή και η απομάκρυνση του ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου.

(η ημιτονοειδής συνάρτηση λέγεται και αρμονική).

Την καμπύλη ψ = f(t) που προηγουμένως κατασκευάσαμε μπορούμε να δούμε άμεσα αν τροποποιήσουμε το πείραμα που εκτελέσαμε προσαρτώντας μία γραφίδα στο σώμα, η άκρη της οποίας μόλις ακουμπά στο χαρτί μιλλιμετρέ με το οποίο είναι καλυμένη η παράπλευρη επιφάνεια κυλίνδρου που περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό γύρω από τον άξονά του (Εικ. 11).

Μπορούμε μάλιστα να μετρήσουμε με τη βοήθεια της καμπύλης την απομάκρυνση για διάφορες χρονικές στιγμές και να κατασκευάσουμε τον πίνακα τιμών ψ-t.

(Είναι προφανές ότι για να μην αποτυγχάνει αυτό το τροποιημένο πείραμα πρέπει η περίοδος περιστροφής του κυλίνδρου να είναι μεγαλύτερη από την περίοδο του σώματος και το πλάτος της ταλάντωσης μικρότερο από το μισό του ύψους του κυλίνδρου).

β. Εξισώσεις κίνησης

Αφού η απομάκρυνση ενός σώματος που πραγματοποιεί γραμμική αρμονική ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) είναι εξ ορισμού αρμονική συνάρτηση του χρόνου, η εξίσωση που την περιγράφει (θεωρώντας μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) είναι:

ψ = ψ_o·ημω·t     2

όπου ψ_o το πλάτος της ταλάντωσης και:

ω = 2·π/Τ = 2·π·f

η κυκλική συχνότητα.

Διαθέτοντας τώρα τον πίνακα τιμών ψ-t μπορούμε να βρίσκουμε τη μεταβολή Δψ δυο διαδοχικών τιμών της απομάκρυνσης και διαιρώντας την με το χρονικό διάστημα Δt που μεσολάβησε μεταξύ των δύο προηγούμενων τιμών να βρίσκουμε την τιμή της μέσης ταχύτητας υ_μ = ΔψΔt γι' αυτό το χρονικό διάστημα (που είναι ίσο, στην περίπτώση της χρονοφωτογραφίας, με το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές φωτογραφίσεις ενώ στην περίπτωση του στρεφόμενου κυλίνδρου είναι επιλογής του πειραματιστή).

Αν, μάλιστα φροντίσουμε, αυτό το χρονικό διάστημα να είναι ικανοποιητικά μικρό, μπορούμε να δεχθούμε, με καλή προσέγγιση, ότι οι τιμές της μέσης ταχύτητας που βρήκαμε, είναι ίσες με τις τιμές της στιγμιαίας ταχύτητας του σώματος.

Έτσι έχουμε τη δυνατότητα να συμπληρώσουμε ένα πίνακα τιμών υ-t, της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο κίνησης.

(Αυτόν τον πίνακα μπορούμε να τον φτιάξουμε και με τη βοήθεια της καμπύλης ψ = f(t) που, επίσης, διαθέτουμε αν βρούμε την κλίση της σε αρκετά σημεία).

Αν με τη βοήθεια του προηγούμενου πίνακα χαράξουμε την καμπύλη υ = f(t) (Εικ. 12) διαπιστώνουμε (θεωρώντας, επίσης, μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) ότι η μορφή της είναι συνημιτοειδής και επομένως η εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο κίνησης είναι:

υ = υ_o·συνω·t     3

όπου υ_o το πλάτος της.

Αποδεινύεται ότι:

υ_o = ω·ψ_o     4

Με ανάλογη διαδικασία, βρίσκοντας από τον πίνακα υ-t τη μεταβολή Δυ της ταχύτητας και διαιρώντας την με το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt (ή βρίσκοντας την κλίση της καμπύλης υ = f(t) για διάφορες χρονικές στιγμές), θεωρώντας ότι η μέση επιτάχυνση α_μ = ΔυΔt είναι, με καλή προσέγγιση, ίση με την στιγμιαία, συμπληρώνουμε πίνακα τιμών α-t.

Με τη βοήθεια του προηγούμενου πίνακα χαράζουμε την καμπύλη α = f(t) (Εικ. 13) και διαπιστώνουμε (θεωρώντας και εδώ μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) ότι η μορφή της είναι «αντεστραμμένη» («μετατοπισμένη κατά Τ/2») ημιτονοειδής και επομένως η εξίσωση της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο κίνησης είναι:

α = -α_o·ημω·t     5

όπου α_o το πλάτος της.

Αποδεικνύεται ότι:

α_o = ω²·ψ_o     6

Παρατηρώντας, τέλος, τις τιμές που παίρνουν τα μεγέθη ψ, υ και α (Εικ. 14) για ορισμένες χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές διαπιστώνουμε ότι:

•

όταν το σώμα περνά από τη Θ.I. του, οπότε η απομάκρυνσή του είναι ίση με μηδέν, η ταχύτητά του είναι μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή) και η επιτάχυνσή του ίση με μηδέν.

•

όταν το σώμα περνά από τις ακραίες θέσεις του, οπότε η απομάκρυνσή του είναι μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή), η ταχύτητά του είναι ίση με μηδέν και η επιτάχυνσή του μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή).

Παράδειγμα 1

Σώμα πραγματοποιεί Γ.Α.Τ. με πλάτος ψ_o = 0,2m και περίοδο Τ = 2s.

Να βρεθούν:

α) η κυκλική συχνότητα ω,

β) το πλάτος υ_o της ταχύτητάς του,

γ) το πλάτος α_o της επιτάχυνσής του.

Λυση

α) ω = 2·πT ⇒ ω = 2·π2s ⇒ ω = πrad/s

β) υ_o = ω·ψ_o ⇒ υ_o = πrads·0,2m ⇒ υ_o = 0,2·πms

γ) α_o = ω²·ψ_o ⇒ α_o = πrads²·0,2m ⇒ α_o = 0,2·π²ms²

γ. Περίοδος

Προσπαθούμε τώρα να βρούμε από τι εξαρτάται η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος (Εικ. 7).

Για το σκοπό αυτό:

•

Αλλάζουμε το πλάτος της ταλάντωσης και διαπιστώνουμε, με τη βοήθεια του χρονομέτρου, ότι η περίοδος δεν αλλάζει.

•

Αλλάζουμε τη μάζα του σώματος (τοποθετώντας άλλο στη θέση του αρχικού) και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει. Μεγαλώνει όταν η μάζα του σώματος μεγαλώνει και μικραίνει όταν η μάζα μικραίνει.

Με προσεκτικές, μάλιστα, μετρήσεις είναι δυνατόν να βρούμε ότι όταν η μάζα μεγαλώνει (ή μικραίνει) 4, 9, 16, … φορές, η περίοδος μεγαλώνει (ή μικραίνει) 2, 3, 4, … φορές.

•

Αλλάζουμε το ελατήριο και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει. Μικραίνει όταν η σταθερά του ελατηρίου μεγαλώνει και μεγαλώνει όταν η σταθερά μικραίνει.

Με προσεκτικές, μάλιστα, μετρήσεις, είναι δυνατόν να βρούμε ότι όταν η σταθερά του ελατηρίου (που την υπολογίζουμε με τη βοήθεια της σχέσης (1)) μεγαλώνει (ή μικραίνει) 4, 9, 16 ... φορές, η περίοδος μικραίνει (ή μεγαλώνει) 2, 3, 4, … φορές.

Επομένως η περίοδος σώματος δεμένου στο άκρο ελατηρίου εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και το είδος του ελατηρίου και μάλιστα:

•

είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της μάζας του σώματος και

•

αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της σταθεράς του ελατηρίου.

Αποδεικνύεται θεωρητικά ότι η περίοδος δίνεται από τη σχέση:

T = 2·π·√mk     7

που επιβεβαιώνει τα συμπεράσματα που πειραματικά προέκυψαν.

Για την απόδειξη της προηγούμενης σχέσης βρίσκουμε πρώτα τη συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται ώστε ένα σώμα να εκτελεί Γ.Α.Τ.

Αν F_oλ η συνισταμένη των δυνάμεων που, σε μία τυχαία θέση (Τ.Θ.), δέχεται το σώμα, ισχύει από τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής:

F_ολ = m·α

απ' όπου με τη βοήθεια των σχέσεων (5), (6) και (2) προκύπτει:

F_oλ = -m·α_o·ημω·t = -m·ω²·ψ_o·ημω·t = -m·ω²·ψ     ή

αν θέσουμε:     D = m·ω²     8

βρίσκουμε ότι:

F_oλ = -D·ψ     9

που αποτελεί τη μαθηματική σχέση της ζητούμενης συνθήκης.

Η σχέση αυτή δείχνει ότι η συνισταμένη έχει τιμή ανάλογη με την απομάκρυνση και έχει φορά αντίθετη μ' αυτήν.

Η συνισταμένη, άρα, κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας, γι' αυτό και συνηθίζουμε να τη λέμε δύναμη επαναφοράς.

Για να εκτελεί ένα σώμα Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση πρέπει σε τυχαία θέση της τροχιάς του η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται:

•

να έχει τιμή ανάλογη με την απομάκρυνση,

•

να έχει φορά προς τη θέση ισορροπίας.

Το μέγεθος D είναι χαρατηριστικό στοιχείο της ταλάντωσης και λέγεται σταθερά επαναφοράς.

Από τη σχέση, τώρα, (8) βρίσκουμε:

ω = √Dm     10

απ' όπου:

T = 2·π·√mD     11

Οι σχέσεις αυτές είναι γενικές και ισχύουν για κάθε Γ.Α.Τ.

Για να προκύψει τέλος η σχέση (7) πρέπει να δείξουμε ότι D = k.

Πράγματι σε μία τυχαία θέση (Εικ. 7β) για τη συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται το σώμα ισχύει:

F_oλ = F_ελ - Β     ή     F_oλ = k·(α - ψ) - m·g = k·α - k·ψ - m·g

ή λόγω της (1):

F_oλ = -k·ψ

δ) Ενέργεια

Ας θεωρήσουμε ξανά την κίνηση του σώματος (Εικ. 7).

Όταν αυτό ηρεμεί στη Θ.Ι. του (Εικ. 7α) έχει μία μηχανική ενέργεια Ε_o που είναι ίση με το άθροισμα της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας (διότι το σώμα βρίσκεται σε πεδίο βαρύτητας) και της δυναμικής ενέργειας παραμόρφωσης (διότι το σώμα είναι δεμένο στο άκρο επιμηκυμένου ελατηρίου).

Όταν το σώμα ταλαντώνεται (Εικ. 7β) έχει μία μηχανική ενέργεια Ε που είναι μεγαλύτερη από ό,τι προηγουμένως. Αυτό φαίνεται εύκολα όταν το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του, όπου τώρα, εκτός από τη μηχανική ενέργεια Ε_o, έχει επιπλέον και κινητική.

Η διαφορά ανάμεσα στη μηχανική ενέργεια Ε και στη μηχανική ενέργεια Ε_o οφείλεται στην ενέργεια που κέρδισε το σώμα όταν το μεταφέραμε, στην αρχή του πειράματος, από τη θέση Ο στη θέση Α.

Η ενέργεια αυτή χαρακτηρίζεται σαν ενέργεια ταλάντωσης Ε_Τ και είναι ίση με το έργο της δύναμης F που πρέπει να ασκούμε στο σώμα μεταφέροντας το με ταχύτητα περίπου μηδέν από το Ο μέχρι το Α (προφανώς η F είναι αντίθετη με τη συνισταμένη F_ολ των δυνάμεων που δέχεται το σώμα).

Επομένως στη γενική περίπτωση (Εικ. 15):

E_T = 12·D·ψ_o²     12

και ειδικά για το σύστημα ελατήριο-σώμα:

E_T = 12·k·ψ_o²     13

Η ενέργεια ταλάντωσης είναι ανά πάσα στιγμή ίση με το άθροισμα δυο προσθετέων: της κινητικής ενέργειας:

K = 12·m·υ²     14

που έχει το σώμα λόγω ταχύτητας και της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης που έχει το σώμα λόγω απομάκρυνσης και η οποία αποδεικνύεται ότι δίνεται στη γενική περίπτωση από τη σχέση:

U_T = 12·D·ψ²     14

και ειδικά για το ελατήριο από τη:

U_T = 12·k·ψ²     15

Επομένως:

E_T = 12·m·υ² + 12·D·ψ²     16

Αν, τώρα, το πείραμα που εκτελούμε είναι μεγάλης ακρίβειας μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό και επομένως η ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται.

Η ενέργεια ταλάντωσης παραμένει σταθερή:

Ε_Τ = σταθ.     17

Στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να καταλήξουμε και με τη βοήθεια των πινάκων ψ-t και υ-t αν υπολογίσουμε την ενέργεια ταλάντωσης για διάφορες χρονικές στιγμές.

Όταν ένα σώμα που εκτελεί Γ.Α.Τ. περνά από τη Θ.Ι. η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με μηδέν, επομένως τότε η κινητική του ενέργεια είναι μέγιστη και ίση με την ενέργεια ταλάντωσης.

Άρα:

E_T = 12·m·υ_o²     18

Όταν το ίδιο σώμα βρίσκεται στις ακραίες θέσεις του, η κινητική του ενέργεια είναι ίση με μηδέν, επομένως τότε η ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης που επίσης είναι μέγιστη (σχέση 12).

Αφού η ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται τότε διατηρείται και η μηχανική ενέργεια Ε του σώματος διότι:

E = E_o + E_T     19

Στην πράξη, βέβαια η μηχανική ενέργεια μειώνεται, γιατί ένα τμήμα της μετατρέπεται διαρκώς σε θερμότητα, με συνέπεια οι ταλαντώσεις να είναι φθίνουσες, το πλάτος τους δηλαδή, να μικραίνει συνέχεια μέχρι μηδενισμού του. Πάντως και σ' αυτήν την περίπτωση η ολική ενέργεια δηλαδή το άθροισμα της μηχανικής ενέργειας και της θερμότητας παραμένει σταθερή.

Όσον αφορά τώρα την ορμή του σώματος, αυτή σε αντίθεση με την ενέργεια δεν διατηρείται, αφού η ταχύτητά του (σχέση 3) διαρκώς μεταβάλλεται.

Αυτό δικαιολογείται απ' το γεγονός ότι η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται το σώμα είναι για κάθε θέση (εκτός από τη θέση ισορροπίας) διάφορη του μηδενός (σχέση 9).

Παράδειγμα 2

Στην πράξη ως μονάδα της σταθεράς k ενός ελατηρίου χρησιμοποιείται (στο S.I.) η 1N/m (όπως αυτή προκύπτει από τον νόμο του Hooke: F_ελ = k·ψ).

Θα μπορούσε όμως να χρησιμοποιείται και η 1Joule/m² (από τη σχέση της ενέργειας Ε = 1/2·k·ψ²) ή η 1kgr/s² (από τη σχέση της περιόδου T = 2·π·√mk).

Ποιά απ' αυτές και γιατί θα ήταν περισσότερο σωστό να χρησιμοποιείται;

Λύση

Η 1kgr/s² διότι εκφράζεται με θεμελιώδεις μονάδες μόνο.

Παράδειγμα 3

Δίδεται η ενέργεια ταλάντωσης Ε_Τ = 2Joule του σώματος (Εικ. 7) και η σταθερά του ελατηρίου k = 100N/m.

Να βρεθεί το πλάτος ψ_ο της ταλάντωσης.

Λύση

Έχουμε: E_T = 12·k·ψ_o².

Άρα: k·ψ_o² = 2·E_T ⇒ ψ_o² = 2·E_Tk ⇒

ψ_o = √2·E_Tk

και με αντικατάσταση: ψ_o = √2·2Joule100N/m ⇒ ψ_o = 0,2m.