α) Μαγνητικό πεδίο γύρω από ενθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό

Με τα πειράματα του Oersted αποδείχτηκε ότι γύρω από ρευματοφόρους αγωγούς δημιουργείται μαγνητικό πεδίο. Ας εξετάσουμε το μαγνητικό πεδίο ενός ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού. Για το σκοπό αυτό περνάμε ένα κατακόρυφο αγωγό από μία τρύπα ενός οριζόντιου χαρτονιού πάνω στο οποίο σκορπίζουμε ρινίσματα σιδήρου. Για να γίνει το πείραμα καλύτερα διαβιβάζουμε από τον αγωγό ρεύμα μεγάλης έντασης. Κτυπώντας ελαφρά το χαρτόνι, τα ρινίσματα σιδήρου διατάσσονται σε ομόκεντρους κύκλους με κέντρο τον αγωγό. Οι δυναμικές γραμμές λοιπόν του μαγνητικού πεδίου, είναι ομόκεντροι κύκλοι, έχουν ως κέντρο τον αγωγό και το επίπεδο τους είναι κάθετο σε αυτόν (Εικ. 18).

Με τη βοήθεια μιας μικρής μαγνητικής βελόνας προσδιορίζουμε τη φορά των δυναμικών γραμμών.

Αν θεωρήσουμε τον ευθύγραμμο αγωγό απείρου μήκους που διαρρέεται από ρεύμα I, τότε σε απόσταση r από αυτόν η ένταση Β του πεδίου αποδεικνύεται ότι είναι:

B = k_μ·2·Ir     όπου     k_μ = 10^-7NA²     1

Ο αγωγός θεωρείται απείρου μήκους, όταν η απόσταση r είναι πολύ μικρή σε σχέση με το μήκος του.

Για να βρίσκουμε τη φορά του διανύσματος της έντασης του μαγνητικού πεδίου, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Τοποθετούμε τη δεξιά παλάμη παράλληλα με τον αγωγό, έτσι ώστε, ο αντίχειρας να δείχνει τη φορά του ρεύματος, οπότε τα υπόλοιπα δάκτυλα καθώς κλείνουν γύρω από τον αγωγό, δείχνουν τη φορά των δυναμικών γραμμών (Εικ. 19). Η ένταση του πεδίου σε κάθε σημείο έχει φορά τη φορά των δυναμικών γραμμών και εφάπτεται σ' αυτές.

Παράδειγμα 1

Δύο παράλληλοι ευθύγραμμοι αγωγοί απείρου μήκους, διαρρέονται από ρεύματα Ι₁ = 10Α και Ι₂ = 20Α, η φορά των οποίων, φαίνεται στις εικόνες (α), (β). Αν η μεταξύ τους απόσταση είναι r = 2cm, να υπολογίσετε την ένταση του μαγνητικού πεδίου: α) στο μέσο της μεταξύ τους απόστασης, β) σε απόσταση d = 2cm αριστερότερα του πρώτου αγωγού.

Λύση

1η περίπτωση: Οι αγωγοί διαρρέονται από ρεύματα όπως δείχνει η πρώτη εικόνα.

α) Στο σημείο Μ οι εντάσεις B→₁ και B→₂, έχουν αντίθετη φορά.

B_M = B₂ - B₁ ⇒ B_M = k_μ·2·I₂r2 - k_μ·2·I₁r2 ⇒

B_M = k_μ·4·I₂r - k_μ·4·I₁r ⇒ B_Μ = k_μ·4r·(I₂ - I₁) ⇒

B_M = 4·10^-7·NA²·(20A - 10A)2·10^-2m ⇒ B_M = 2·10^-4T

Άρα, η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο σημείο Μ έχει μέτρο 2·10^-4T και φορά της B→₂.

β) Στο σημείο Λ, οι εντάσεις B→₁ και B→₂ των μαγνητικών πεδίων από τους δύο αγωγούς, είναι ομόρροπες.

B_Λ = B₁ + B₂ ⇒ B_Λ = k_μ·2·I₁d + k_μ·2·I₂r + d ⇒

B_Λ = 2·K_μ·I₁d + I₂r + d ⇒ B_Λ = 2·10^-7NA²·10A2·10^-2m + 20A4·10^-2m ⇒

B_Λ = 2·10·10^-72·10^-2·(1 + 1)T ⇒ B_Λ = 2·10^-4T

Άρα, η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο σημείο Λ έχει μέτρο 2·10^-4T και φορά των B→₁, B→₂.

2η περίπτωση: Οι αγωγοί διαρρέονται από ρεύματα όπως δείχνει η δεύτερη εικόνα.

α) Στο σημείο Μ, οι εντάσεις B→₁ και B→₂ έχουν την ίδια φορά.

B_M = k_μ·2·I₁r2 + k_μ·2·I₂r2 ⇒ B_M = 4·10^-7NA²·10A2·10^-2m + 20A2·10^-2m ⇒

B_Μ = 4·10^-7·302·10^-2T ⇒ B_Μ = 6·10^-4T

Άρα, η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο σημείο M έχει μέτρο 6·10^-4T και φορά των B→₁, B→₂.

β) Στο σημείο Λ, οι εντάσεις B→₁ και B→₂ των μαγνητικών πεδίων έχουν αντίθετη φορά.

B_Λ = k_μ·2·I₁d - k_μ·2·I₂r + d ⇒ B_Λ = 2·10^-7NA²·10A2·10^-2m - 20A4·10^-2m ⇒

B_Λ = 2·10^-72·10^-2·(10 - 10)T ⇒ B_Λ = 0

Άρα η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο σημείο Λ είναι ίση με μηδέν.

β) Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευματοφόρου αγωγού

Πάνω στο χαρτόνι σκορπίζουμε ρινίσματα σιδήρου και διαβιβάζουμε ρεύμα στον αγωγό. Κτυπάμε ελαφρά το χαρτόνι και βλέπουμε ότι τα ρινίσματα διατάσσονται σε ομόκεντρους κύκλους με κέντρο το σημείο τομής του χαρτονιού από τον αγωγό (Εικ. 20).

Με τη βοήθεια της μαγνητικής βελόνας, βρίσκουμε την φορά των δυναμικών γραμμών.

Με αυτό τον τρόπο αποδείξαμε ότι ένας κυκλικός ρευματοφόρος αγωγός δημιουργεί γύρω του μαγνητικό πεδίο η μορφή του οποίου πιστοποιείται με τη βοήθεια των ρινισμάτων σιδήρου.

Στο κέντρο του κυκλικού ρευματοφόρου αγωγού ακτίνας r, το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου, αποδεικνύεται ότι είναι:

B = k_μ·2·π·Ir     όπου     k_μ = 10^-7NA²     2

Η διεύθυνση της έντασης του πεδίου είναι κάθετη στο επίπεδο του κύκλου και η φορά της βρίσκεται με τον παρακάτω πρακτικό κανόνα. Τοποθετούμε τη δεξιά παλάμη ώστε τα δάκτυλα, καθώς κλείνουν να δείχνουν τη φορά του ρεύματος. Τότε, ο αντίχειρας δείχνει την κατεύθυνση της έντασης του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο του αγωγού (Εικ. 22).

Αν ο κυκλικός αγωγός αποτελείται από Ν σύρματα, η ένταση του μαγνητικού πεδίου, αυξάνεται Ν φορές, δηλαδή, γίνεται:

B = k_μ·2·π·Ir·N     3

Παράδειγμα 2

Οι άκρες ενός σύρματος μήκους ℓ = 4·π²m που έχει αντίσταση R = 16Ω συνδέεται με πηγή ΗΕΔ Ɛ = 100V και εσωτερικής αντίστασης r = 4Ω. Αν καμπυλώσουμε το σύρμα και φτιάξουμε αρχικά α) έναν κυκλικό αγωγό και (β) πέντε κυκλικούς αγωγούς ίδιας ακτίνας, να υπολογιστεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο αντίστοιχο κέντρο.

Λύση

Από το νόμο του Ohm, βρίσκουμε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΑΓ.

I = ƐR_ολ ⇒ I = ƐR + r ⇒ I = 100V16Ω + 4Ω = 5A

α) Όταν φτιάξουμε έναν κυκλικό αγωγό θα έχει ακτίνα:

d₁ = ℓ2·π = 4·π²m2·π = 2·πm

Άρα, η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο του έχει μέτρο:

B = k_μ·2·π·Id₁ ⇒ B = 10^-7NA²·2·π·5A2·πm ⇒ B = 5·10^-7T

β) Όταν φτιάξουμε 5 κυκλικούς αγωγούς θα έχουν ακτίνα d₂. Το μήκος ℓ του σύρματος θα είναι 5 φορές το μήκος κάθε κύκλου δηλαδή:

ℓ = N·2·π·d₂ ⇒ d₂ = ℓN·2·π ⇒ d₂ = 4·π²m5·2·π = 4·π10m = 0,4·πm

Άρα, η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο τους, είναι:

B = k_μ·2·π·Id₂·N ⇒ B = 10^-7NA²·2·π·5A0,4·πm·5 ⇒ B = 125·10^-7T

γ) Μαγνητικό πεδίο σωληνοειδούς

Το μαγνητικό, πεδίο γύρω από ένα μακρύ ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό είναι ασθενές, εκτός και αν, ο αγωγός διαρρέεται από ρεύμα μεγάλης έντασης.

Ένας ευθύγραμμος αγωγός μεγάλου μήκους που διαρρέεται από ρεύμα έντασης 50Α δημιουργεί σε απόσταση ενός μέτρου από αυτόν μαγνητικό πεδίο έντασης μέτρου 10^-5Tesla που είναι αρκετά ασθενές. Αν όμως, τον ίδιο αγωγό τον τυλίξουμε, έτσι ώστε να δημιουργήσουμε πολλούς μικρούς κυκλικούς αγωγούς, τα πράγματα αλλάζουν. Τότε, το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί το ίδιο το σύρμα είναι πολύ ισχυρό. Αυτός είναι και ο βασικός λόγος της προτίμησης που δείχνουμε για κυκλικούς ρευματοφόρους αγωγούς. Ένα σύνολο τέτοιων κυκλικών αγωγών αποτελεί ένα πηνίο. Κάθε ένας κυκλικός αγωγός λέμε ότι αποτελεί μία σπείρα. Αν τυλίξουμε πολλές σπείρες σε ένα μονωτικό κύλινδρο οι οποίες να ισαπέχουν έχουμε φτιάξει ένα σωληνοειδές. Η ευθεία που ορίζεται από τα κέντρα των σπειρών λέγεται άξονας του σωληνοειδούς.

Ας εξετάσουμε το μαγνητικό πεδίο ενός σωληνοειδούς. Χρησιμοποιούμε μία συσκευή φάσματος σωληνοειδούς. Σκορπίζουμε στην πλαστική διαφανή πλάκα ρινίσματα σιδήρου και διαβιβάζουμε ρεύμα στο σωληνοειδές. Κτυπώντας ελαφρά τη διαφανή πλάκα, βλέπουμε τη μορφή του φάσματος του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται (Εικ. 23).

Με τη βοήθεια της μαγνητικής βελόνας, βρίσκουμε, ότι το ένα άκρο του σωληνοειδούς συμπεριφέρεται σαν βόρειος πόλος και το άλλο σαν νότιος.

Το σημείο εξόδου των δυναμικών γραμμών το χαρακτηρίσαμε βόρειο πόλο ενώ το σημείο εισόδου νότιο πόλο. Ενώ στον ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό δεν βρίσκουμε πόλους, αντίθετα το σωληνοειδές συμπεριφέρεται όπως ένας ευθύγραμμος μαγνήτης.

Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την παραπάνω παρατήρηση με ένα απλό πείραμα. Κρεμάμε με δύο λεπτά αγώγιμα νήματα, ένα αρκετά μεγάλο και σχετικά ελαφρύ σωληνοειδές και διοχετεύουμε μέσα από τα νήματα ρεύμα περίπου 2Α. Παρατηρούμε ότι μετά από μερικές αιωρήσεις το σωληνοειδές θα προσανατολισθεί με τον άξονά του περίπου στη διεύθυνση Βορράς, Νότος. Όπως ακριβώς θα έκανε ένας ευθύγραμμος μαγνήτης.

Στο εσωτερικό του σωληνοειδούς οι δυναμικές γραμμές είναι παράλληλες με τον άξονα του σωληνοειδούς και ισαπέχουν. Το πεδίο λοιπόν είναι ομογενές. Στον υπόλοιπο χώρο το μαγνητικό πεδίο είναι ανομοιογενές και ασθενέστερο. Λέμε λοιπόν ότι στο εσωτερικό του σωληνοειδούς δημιουργείται ένα ισχυρό ομογενές μαγνητικό πεδίο.

Αποδεικνύεται ότι σε ένα σημείο Α του άξονα του σωληνοειδούς κοντά στο κέντρο του, το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι:

B = k_μ·4·π·Nℓ·I     4

όπου n ο αριθμός των σπειρών, ℓ το μήκους του σωληνοειδούς και I η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το σωληνοειδές. Το πηλίκο Nℓ εκφράζει τον αριθμό σπειρών ανά μονάδα μήκους του σωληνοειδούς και συμβολίζεται με n n = Nℓ.

Αν εφαρμόσουμε τον κανόνα της δεξιά παλάμης για μία σπείρα, όπως τον εφαρμόσαμε στον κυκλικό ρευματοφόρο αγωγό, τότε ο αντίχειρας θα μας δείξει τη φορά της έντασης του μαγνητικού πεδίου, θα μας δείξει δηλαδή το βόρειο πόλο του πηνίου (Εικ. 24).

Η ένταση του μαγνητικού πεδίου κοντά στα άκρα του σωληνοειδούς αποδεικνύεται ότι έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου της έντασης στο κέντρο του σωληνοειδούς:

B′ = B2 ⇒ B′ = k_μ·2·π·Nℓ·I

Παράδειγμα 3

Οι άκρες ενός σωληνοειδούς μήκους ℓ = πm και αριθμού σπειρών Ν = 100 συνδέονται με πηγή ΗΕΔ Ɛ = 50V και εσωτερικής αντίστασης r = 1Ω. Το σωληνοειδές έχει αντίσταση 0,09Ω ανά σπείρα. Να υπολογιστεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του σωληνοειδούς.

Λύση

Η αντίσταση του σωληνοειδούς είναι R = 0,09Ω·100 = 9Ω. Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το σωληνοειδές βρίσκεται από το νόμο του Ohm:

I = ƐR_ολ ⇒ I = ƐR + r ⇒ I = 50V10Ω = 5A

Η ένταση στο εσωτερικό του σωληνοειδούς θα είναι:

B = k_μ·4·π·Nℓ·I ⇒ B = 10^-7NA²·4·π·100πm·5A ⇒ B = 2·10^-4T