5.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωνα με τον ορισμό του C, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με διώνυμα α+βx στο R, όπου βέβαια αντί για x έχουμε το i. Έτσι: ![]() ![]() • Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ+δi από τον α+βi, επειδή ο αντίθετος του μιγαδικού γ+δi είναι ο μιγαδικός -γ-δi, έχουμε: ![]() Δηλαδή ![]() Για παράδειγμα (3+4i)-(5-6i)=(3-5+(4+6)i=-2+10i ![]() Αν M1(α,β) και M2(γ,δ) είναι οι εικόνες των α+βi και γ+δi αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα ![]() παριστάνεται με το σημείο M(α+γ,β+δ). |
Επομένως, ισχύει "Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους". ![]() Επίσης, η διαφορά (α+βi)-(γ+δi)=(α-γ)+(β-δ)i παριστάνεται με το σημείο N(α-γ, β-δ). Επομένως,ισχύει δηλαδή: "Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους". • Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών α+βi και γ+δi έχουμε: Δηλαδή, Για παράδειγμα, Ειδικότερα, έχουμε: ![]() Επειδή είναι και |
• Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο ![]() Για παράδειγμα: Δύναμη Μιγαδικού Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε: ![]() για κάθε θετικο ακέραιο ν , με ν>1 . Επίσης, αν ![]() Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών. Ιδιαίτερα για τις δυνάμεις του i έχουμε: ![]() Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι είναι: δηλαδή, μετά το i4 οι τιμές του iv επαναλαμβάνονται. Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i, γράφουμε τον εκθέτη v στη μορφή ν=4ρ+υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, οπότε έχουμε: |
Ιδιότητες Συζυγών Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμενες παραγράφους, μας διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών αριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς. ![]() • Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M(α,β) και M΄(α,-β) δύο συζυγών μιγαδικών z=α+βi και • Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z=α+βi και ![]() • Αν z1=α+βi και z2=γ+δi είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: ![]() Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων. Για παράδειγμα έχουμε: ![]() |
C Οι παραπάνω ιδιότητες ισχύουν και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς. Είναι δηλαδή: ![]() Ιδιαίτερα, αν είναι z1=z1=...=zν=z, τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: ![]() Επίλυση της Εξίσωσης Επειδή ![]() Εύκολα όμως μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C. Πράγματι, έστω η εξίσωση ![]() Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο R και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: ![]() όπου • Δ>0. Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: |
• Δ=0. Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: • Δ>0. Tότε, επειδή Άρα οι λύσεις της είναι: ![]() οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, η εξίσωση z2-5z+6=0 έχει Δ=25-24=1>0 και οι λύσεις της είναι: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: ![]() ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το άθροισμα ![]() ΛΥΣΗ Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος ν και είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο i και λόγο επίσης i . Επομένως, • υ=0. Τότε ν=4ρ, οπότε • υ=1. Τότε ν=4ρ+1, οπότε |
• υ=2. Τότε ν=4ρ+2, οπότε • υ=3. Τότε ν=4ρ+3, οπότε 2. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός ΛΥΣΗ Αν z=x+yi, τότε Επομένως: α) Ο αριθμός ![]() ![]() Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο ![]() ![]() β) Ο αριθμός ![]() ![]() ![]() ![]() Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 2x+y-2=0, με εξαίρεση το σημείο A(0,2). Ασκήσεις
|
|
|
|
|