4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 π.Χ.), οι θετικοί ακέραιοι παριστάνονται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έννοια της διαι-ρετότητας συνδέεται άμεσα με τη μέτρηση των ευθύγραμμων τμημάτων. Ο Ευκλείδης στην αρχή του βιβλίου VII δίνει 22 ορισμούς, μεταξύ των οποίων και οι εξής: Διαιρέτης: Μέρος εστίν αριθμός αριθμού ο ελάσσων του μείζονος, όταν καταμετρή τον μείζονα. |
Πρώτοι μεταξύ τους: Πρώτοι προς αλλήλους αριθμοί εισίν οι μονάδι μετρούμενοι κοινώ μέτρω. Τελευταίος δίνεται ο ορισμός του τέλειου αριθμού, δηλαδή αυτού που είναι ίσος με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του, για παράδειγμα, 28=1+ 2+ 4 + 7 +14 : Τέλειος αριθμός έστιν ο τοις εαυτού μέρεσιν ίσος ών. Το ενδιαφέρον των αρχαίων μαθηματικών για τους τέλειους αριθμούς φαίνεται ότι προκλήθηκε από την εξαιρετική σπανιότητά τους. Είναι χαρακτηριστική η παρατήρηση του M. Mersenne (1588-1642) ότι "οι τέλειοι αριθμοί είναι τόσο σπάνιοι όσο και οι τέλειοι άνθρώποι". Η Θεωρία Αριθμών αρχίζει στο βιβλίο VII με δύο προτάσεις για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών (Ευκλείδειος αλγόριθμος) και ολοκλη-ρώνεται στην τελευταία πρόταση του βιβλίου IX με μια μέθοδο προσδιορισμού τέλειων αριθμών. Με σύγχρονο συμβολισμό, στην πρόταση αυτή ο Ευκλείδης αποδεικνύει ότι: Αν ο αριθμός 1+2+22+...+2v-1=2v-1 είναι πρώτος, τότε ο αριθμός 2v-1(2v -1) είναι τέλειος. Έτσι, η γνώση ενός πρώτου αριθμού της μορφής 2v-1 οδηγεί αμέσως στην ανακάλυψη ενός τέλειου αριθμού. Οι πρώτοι 5 αριθμοί αυτού του είδους είναι οι 22-1=3 , 23-1=7 ,25-1=31 ,27-1=127, 213-1=8191 και μας δίνουν τους πρώτους 5 τέλειους αριθμούς 6,28,496,8128 και 33550336. Μέχρι σήμερα έχουν βρεθεί 36 τέλειοι αριθμοί. Έννοια Διαιρετότητας Στην ευκλείδεια διαίρεση ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία το υπόλοιπο είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή η περίπτωση της τέλειας διαίρεσης. Την περίπτωση αυτή θα εξετάσουμε στη συνέχεια. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω α, β δύο ακέραιοι με Στην περίπτωση αυτή λέμε επίσης ότι ο β είναι διαιρέτης ή παράγοντας του α ή ότι ο α διαιρείται με τον β ή ακόμα ότι ο α είναι πολλαπλάσιο του β, και γράφουμε α = πολβ . Για να δηλώσουμε ότι ο ακέραιος β δε διαιρεί τον ακέραιο α , γράφουμε |
Αν Ως άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού έχουμε τις εξής: ![]() Τονίζουμε ότι στο συμβολισμό Θα γνωρίσουμε τώρα μερικές χρήσιμες ιδιότητες της διαιρετότητας. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Έστω α,β,γ ακέραιοι. Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες ΑΠΟΔΕΙΞΗ ![]() Από τις ιδιότητες (iii) και (iv) του παραπάνω θεωρήματος προκύπτει ότι: "Αν Ο ακέραιος κβ + λγ , όπου |
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Αν α,δ ακέραιοι με ΛΥΣΗ Επειδή 2. Να αποδειχτεί ότι 9v+1 -8v -9=πολ64, για κάθε ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα αποδείξουμε την πρόταση με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. ![]() Άρα η ισότητα αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους. 3. Να αποδειχτεί ότι ο 3 διαιρεί τους ακεραίους α και β , αν και μόνο αν ο 3 διαιρεί το άθροισμα α2+β2. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ![]() |
Επειδή ![]() Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι Ασκήσεις
|
|