<
Μαθηματικά (Β Λυκείου Θετικών Σπουδών) - Βιβλίο Μαθητή

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Πρόσθεση Διανυσμάτων

Έστω δύο διανύσματα Εικόνα Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα Εικόνα και στη συνέχεια με αρχή το Α παίρνουμε διάνυσμα ΕικόναΤοδιάνυσμαΕικόνα λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων Εικόνα και συμβολίζεται με Εικόνα.

Θα αποδείξουμε ότι το άθροισμα των διανυσμάτων Εικόνα είναι ανεξάρτητοτης επιλογής του σημείου Ο. Πράγματι, αν O' είναι ένα άλλο σημείο καιπάρουμε τα διανύσματα Εικόνα και Εικόνα , επειδή Εικόνα και Εικόνα, έχουμε Εικόνα και Εικόνα. Επομένως, Εικόνα, που συνεπάγεται ότι και Εικόνα.

Εικόνα
Εικόνα

Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεταικαι με το λεγόμενο κανόνα τουπαραλληλόγραμμου. Δηλαδή, αν με αρχήένα σημείο Ο πάρουμε τα διανύσματα Εικόνα και Εικόνα, τότε το άθροισμα Εικόνα ορίζεται από τη διαγώνιο OMτου παραλληλόγραμμου που έχειπροσκείμενες πλευρές τις OA και OB.

Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων

Για την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες τηςπρόσθεσης πραγματικών αριθμών. Δηλαδή, αν Εικόνα είναι τρία διανύσματα,τότε:

(1)    Εικόνα (Αντιμεταθετική ιδιότητα)

(2)    Εικόνα (Προσεταιριστική ιδιότητα)

(3)    Εικόνα

(4)    Εικόνα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

• Από το προηγούμενο σχήμα έχουμε:

Εικόνα

Επομένως, Εικόνα.

Εικόνα

• Από το διπλανό σχήμα έχουμε:

Εικόνα

Επομένως, Εικόνα

• Οι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς.    Εικόνα

Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να συμβολίζουμε καθένα από τα ίσααθροίσματα Εικόνα και Εικόνα με Εικόνα,το οποίο θα λέμεάθροισμα των τριών διανυσμάτων Εικόνα. Το άθροισμα περισσότερωνδιανυσμάτων Εικόνα ορίζεται επαγωγικά ως εξής:

Εικόνα

Για παράδειγμα, Εικόνα

Εικόνα

Δηλαδή, για να προσθέσουμε ν διανύσματα Εικόνα τα καθιστούμεδιαδοχικά, οπότε το άθροισμά τους θα είναι το διάνυσμα που έχει ως αρχή τηναρχή του πρώτου και ως πέρας το πέρας του τελευταίου. Επειδή μάλισταισχύουν η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, τοάθροισμα δε μεταβάλλεται αν αλλάξει η σειρά των προσθετέων ή αν μερικοίαπό αυτούς αντικατασταθούν με το άθροισμά τους.

Αφαίρεση Διανυσμάτων

Η διαφορά Εικόνατου διανύσματος Εικόνα από το διάνυσμα Εικόνα ορίζεται ωςάθροισμα των διανυσμάτων Εικόνα και - Εικόνα. Δηλαδή

Εικόνα

Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν έχουμε δύο διανύσματα Εικόνα και Εικόνα, τότε υπάρχειμοναδικό διάνυσμα Εικόνα, τέτοιο, ώστε Εικόνα. Πράγματι,

Εικόνα

Διάνυσμα Θέσεως

Εικόνα

Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε γιακάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα Εικόνα, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ήδιανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο, που είναιη κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων τωνσημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στοχώρο.

Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα Εικόνα έχουμε Εικόνα και επομένως

Εικόνα

Δηλαδή:

"Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα τουπέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής".

Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων

Εικόνα

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε τοάθροισμα των διανυσμάτων Εικόνα.Από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμεόμως ότι
Εικόνα
και επομένως

Εικόνα


ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Για τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ να αποδειχτεί ότιΕικόνα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Εικόνα

Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε έχουμε:

Εικόνα

2. Να αποδειχτεί ότι Εικόνα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έχουμε Εικόνα

Ασκήσεις

1.

Οι δυνάμεις Εικόνα ασκούνται στο σώμα Σ. Ποια δύναμη χρειάζεται, ώστε ναμην αφήσει το σώμα Σ να μετακινηθεί από τη θέση του;

Εικόνα

2.

Δίνονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ και Δ και έστω Εικόνα και Εικόνα τα αντίστοιχαδιανύσματα θέσεως ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο. Τι μπορείτε να πείτε για τοτετράπλευρο ΑΒΓΔ αν:

Εικόνα

3.

Να εκφράσετε το διάνυσμα Εικόνα σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα ως συνάρτησητων άλλων διανυσμάτων που δίνονται:

Εικόνα

4.

Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ ισχύει Εικόνα, να δείξετε ότι τοτετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι παραλληλόγραμμο.

5.

Δίνονται τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ και έστω Ο, το μέσο του τμήματος ΑΓ. Νααποδείξετε ότι Εικόνα

6.

Δίνεται κανονικό εξάγωνo ΑΒΓΔΕΖ. Αν Εικόνα και Εικόνα, να εκφράσετε τοδιάνυσμα Εικόνα ως συνάρτηση των Εικόνα

7.

Για ένα τυχαίο εξάγωνο Εικόνα να αποδείξετε ότι

Εικόνα