<
Μαθηματικά (Β Λυκείου Θετικών Σπουδών) - Βιβλίο Μαθητή

1ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Εισαγωγή

Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκεμέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. Ο "κανόναςτου παραλληλόγραμμου", σύμφωνα με τον οποίο το μέτρο και η κατεύθυνσηδύο δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα εκφράζονται από τη διαγώνιο τουπαραλληλόγραμμου που σχηματίζουν, ήταν γνωστός με διάφορες μορφές στουςΑρχαίους Έλληνες επιστήμονες. Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, για παράδειγμα, στοέργο του "Μηχανικά" αποδεικνύει με χρήση αναλογιών την ακόλουθηγεωμετρική πρόταση:

Εικόνα

Αν ένα σημείο Σ κινείται με ομαλή κίνησηκατά μήκος μιας ευθείας ΑΒ, ενώ συγχρόνως ηΑΒ κινείται παράλληλα προς τον εαυτό της μετο άκρο Α να διαγράφει μια ευθεία ΑΓ, τότε ηπραγματική τροχιά του Σ (η "συνισταμένηκίνηση") θα είναι η διαγώνιος ΑΔ τουπαραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ.

Αυτός ο "κανόνας" χρησιμοποιήθηκε πολλούς αιώνες για το γεωμετρικόπροσδιορισμό της συνισταμένης, χωρίς όμως να θεωρείται ένα νέο είδοςπρόσθεσης ευθυγράμμων τμημάτων, διαφορετικό από εκείνο πουχρησιμοποιείται στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Για να γίνει αυτό, χρειάστηκε απότη μια μεριά η αποδοχή και συστηματική χρήση των αρνητικών αριθμών σταΜαθηματικά και από την άλλη η μελέτη φυσικών ποσοτήτων όπως η ταχύτητα,η δύναμη, η ορμή και η επιτάχυνση, που χαρακτηρίζονται τόσο από το μέτροόσο και από τη διεύθυνσή τους. Αυτές οι εξελίξεις έφεραν στο προσκήνιο τιςέννοιες της προσανατολισμένης κίνησης και του προσανατολισμένουευθύγραμμου τμήματος, τις πρώτες ιδέες των οποίων συναντάμε σε έργαεπιστημόνων του 17ου αιώνα όπως οι J. Wallis, I. Newton και G.W. Leibniz.

Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού με προσανατολισμένα ευθύγραμματμήματα άρχισε στα τέλη του 18ου αιώνα, για να δοθεί μια γεωμετρικήερμηνεία στους αρνητικούς αριθμούς, αλλά και για να βρεθεί ένας τρόποςαναλυτικής έκφρασης του μήκους και της διεύθυνσης των ευθύγραμμωντμημάτων. Πρωτοποριακό υπήρξε προς αυτή την κατεύθυνση το έργο των C.Wessel (1799) και R. Argand (1806). Ξεκινώντας από την απλή περίπτωση των

προσανατολισμένων τμημάτων που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, προχώρησανστον ορισμό των πράξεων με τυχαία τμήματα του επιπέδου. Συγκεκριμένα, οιορισμοί του Wessel ήταν οι εξής:

Το άθροισμα διαδοχικών προσανατολισμένων τμημάτωνείναι το τμήμα που ενώνει την αρχή του πρώτου με τοτέλος του τελευταίου.

Εικόνα

Το γινόμενο δύο προσανατολισμένων τμημάτων πουσχηματίζουν γωνίες φ και ω αντιστοίχως με έναμοναδιαίο τμήμα, είναι το τμήμα που έχει μήκος τογινόμενο των μηκών των δύο τμημάτων και σχηματίζειγωνία φ+ω με το μοναδιαίο τμήμα.

Εικόνα

Στις εργασίες των Wessel και Argand (και ορισμένες άλλες που δημοσιεύτηκανεκείνη την εποχή) υπάρχουν οι βασικές ιδέες που συγκροτούν σήμερα τοΔιανυσματικό Λογισμό του επιπέδου. Η ουσιαστική ανάπτυξη του κλάδουαρχίζει όμως μερικές δεκαετίες αργότερα, όταν επιχειρείται η γενίκευση αυτώντων ιδεών στον τρισδιάστατο χώρο και η θεμελίωση μιας γενικής μαθηματικήςθεωρίας. Καθοριστικό υπήρξε προς αυτήν την κατεύθυνση του έργο του W.Hamilton (1843) και του H. Grassmann (1844). Ο W. Hamilton χρησιμοποίησετον όρο διάνυσμα (vector). Ο όρος vector προέρχεται κατά μία εκδοχή από τολατινικό ρήμα "vehere" που σημαίνει μεταφέρω. Ο H. Grassmannχρησιμοποίησε τους όρους εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο.

Η παραπέρα εξέλιξη του Διανυσματικού Λογισμού επηρεάστηκε αποφασιστικάαπό τις εξελίξεις στη Φυσική κατά το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Η χρήσητης θεωρίας του Hamilton από τον ιδρυτή της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας J.C.Maxwell (1873) οδήγησε σε ορισμένες τροποποιήσεις, με βάση τις οποίες οιφυσικοί J.W. Gibbs και O. Heaviside δημιούργησαν στις αρχές της δεκαετίαςτου 1880 τη σύγχρονη θεωρία του Διανυσματικού Λογισμού (στοιχεία τηςοποίας παρουσιάζονται σ' αυτό το κεφάλαιο). Τέλος το 1888, ο G. Peano, μεβάση τη θεωρία του Grassmann θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια τουδιανυσματικού χώρου.

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Ορισμός του Διανύσματος

Υπάρχουν μεγέθη, όπως είναι η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, η θερμοκρασίακτλ., τα οποία προσδιορίζονται από το μέτρο τους και από την αντίστοιχημονάδα μέτρησης. Τα μεγέθη αυτά λέγονται μονόμετρα ή βαθμωτά.

Υπάρχουν όμως και μεγέθη, όπως είναι η δύναμη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση, ημετατόπιση, η μαγνητική επαγωγή κτλ., που για να τα προσδιορίσουμε, εκτόςαπό το μέτρο τους και τη μονάδα μέτρησης, χρειαζόμαστε τη διεύθυνση και τηφορά τους. Τέτοια μεγέθη λέγονται διανυσματικά μεγέθη ή απλώςδιανύσματα.

Εικόνα

• Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως έναπροσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ωςένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκραθεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεταιαρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώ τοδεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος. Τοδιάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεταιμε Εικόνακαι παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινάει από το Α και καταλήγει στοΒ.

Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμαλέγεται μηδενικό διάνυσμα. Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα Εικόνα είναι μηδενικό διάνυσμα.

Για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε πολλές φορές τα μικράγράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου επιγραμμισμένα με βέλος για παράδειγμα, Εικόνα

• Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος Εικόνα, δηλαδή το μήκος τουευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, λέγεται μέτρο ή μήκος του διανύσματος Εικόνα καισυμβολίζεται με Εικόνα.

Εικόνα

Αν το διάνυσμα Εικόνα έχειμέτρο 1, τότε λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα.

• Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μημηδενικό διάνυσμα Εικόνα λέγεται φορέας του Εικόνα.

Εικόνα

Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος Εικόνα μπορούμε να θεωρούμε οποιαδήποτε από τιςευθείες που διέρχονται από το Α.





Αν ο φορέας ενός διανύσματος Εικόνα είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μιαευθεία ζ, τότε λέμε ότι το Εικόνα είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουμε Εικόνα//ζ.

Εικόνα

• Δύο μη μηδενικά διανύσματα Εικόνα και Εικόνα που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλουςφορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικάδιανύσματα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα Εικόνα και Εικόνα έχουν ίδια διεύθυνση καιγράφουμε Εικόνα//Εικόνα.



Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα.Συγκεκριμένα:

Εικόνα

- Δύο μη μηδενικά διανύσματα Εικόνα και Εικόνα λέγονται ομόρροπα:

α) όταν έχουν παράλληλους φορείς καιβρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς τηνευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή

β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τιςημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη. Στηνπερίπτωση αυτή λέμε ότι τα Εικόνα και Εικόνα έχουντην ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε Εικόνα.

Εικόνα

- Δύο μη μηδενικά διανύσματα Εικόνα και Εικόνα λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμικάκαι δεν είναι ομόρροπα. Στην περίπτωση αυτήλέμε ότι τα διανύσματα Εικόνα και Εικόνα έχουναντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση καιαντίθετη φορά) και γράφουμε Εικόνα.




Ίσα Διανύσματα

Εικόνα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα ότανέχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για ναδηλώσουμε ότι δύο διανύσματα Εικόνα και Εικόνα είναιίσα, γράφουμε Εικόνα=Εικόνα. Τα μηδενικάδιανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους καισυμβολίζονται με Εικόνα


Εύκολα αποδεικνύεται ότι:

• Αν Εικόνα τότε Εικόνα και Εικόνα


• Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε Εικόνα και αντιστρόφως.

Εικόνα



Αντίθετα Διανύσματα

Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσαμέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα Εικόνα και Εικόνα είναι αντίθετα,γράφουμε

Εικόνα

           Εικόνα

Είναι φανερό ότι

           Εικόνα

Ειδικότερα, έχουμε Εικόνα





Γωνία δύο Διανυσμάτων

Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα Εικόνα Με αρχή ένα σημείο Οπαίρνουμε τα διανύσματα Εικόνα

Εικόνα

Την κυρτή γωνία Εικόνα, που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων Εικόνα και Εικόνα και τη συμβολίζουμε με Εικόνα ήακόμα, αν δεν προκαλείται σύγχυση, με ένα μικρό γράμμα, για παράδειγμα θ.Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γωνία των Εικόνα είναι ανεξάρτητη από τηνεπιλογή του σημείου Ο. Είναι φανερό επίσης ότι Εικόνα ή σε ακτίνια Εικόνα και ειδικότερα:

• θ = 0, αν Εικόνα


• θ = π, αν Εικόνα

Εικόνα

Αν Εικόνα τότε λέμε ότι τα διανύσματα Εικόνα είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε Εικόνα







Αν ένα από τα διανύσματα Εικόνα είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνίατων Εικόνα μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία θ με Εικόνα Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμα, Εικόνα, είναι ομόρροποή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Εικόνα

Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Με αρχή το Μ γράφουμε ταδιανύσματα Εικόνα. Να αποδειχτεί ότι το Α είναι το μέσο του ΔΕ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αρκεί να δείξουμε ότι Εικόνα. Πράγματι, επειδή Εικόνα, είναι

                             Εικόνα

Όμως το Μ είναι μέσο του ΑΓ. Άρα,

                             Εικόνα

Επομένως, λόγω των (1) και (2), έχουμε Εικόνα, οπότε:

                             Εικόνα

Επειδή επιπλέον Εικόνα, έχουμε

                             Εικόνα

Έτσι, από τις σχέσεις (3) και (4) έχουμε Εικόνα