Α.4.1. Η έννοια της εξίσωσης - Οι εξισώσεις: α + x = β, x – α = β, α

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 4ο - Εξισώσεις και Προβλήματα

Α.4.1. Η έννοια της εξίσωσης

Οι εξισώσεις: α + x = β, x – α = β, α – x = β, αx = β, α : x = β και x : α = β

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η

Προσπάθησε να μεταφράσεις τις παρακάτω προτάσεις, με τη βοήθεια αριθμών και γραμμάτων.

− ο επόμενος ενός φυσικού αριθμού

−ο προηγούμενος ενός φυσικού αριθμού

− ένας άρτιος φυσικός αριθμός

− ένας περιττός φυσικός αριθμός

− τα πολλαπλάσια του 3

− το διπλάσιο ενός αριθμού

− ένας αριθμός αυξάνεται κατά 8

− ένας αριθμός ελαττωμένος κατά 4

− το τετραπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 2, μας δίνει 22

− αν σε ένα αριθμό προσθέσουμε 5, το άθροισμα γίνεται 8

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

Γράψε συντομότερα τις εκφράσεις:

(α) x + x + x + x, (β) α + α + α + β + β, (γ) 3 · α + 5 · α, (δ) 18 · x + 7 · x + 4 · x, (ε) 15 · β – 9 · β.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η

Μια ζυγαριά ισορροπεί, όταν βάλουμε από το ένα μέρος μια σοκολάτα, της οποίας δεν γνωρίζουμε το βάρος και στο άλλο μέρος 100 g και μισή σοκολάτα.

Μπορείς να βρεις μια ισότητα που να περιγράφει αυτή την ισορροπία;

Μικροπείραμα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η

Να αντικαταστήσεις το x, με τους αριθμούς 1, 3, 4, 5, 6 και 11, σε κάθε ισότητα της πρώτης στήλης, του παρακάτω πίνακα. Βρες ποιος από αυτούς την επαληθεύει και ποιος όχι.

Συμπλήρωσε τις δύο άλλες στήλες του πίνακα, σύμφωνα με τα συμπεράσματά σου.
Μπορείς, με τη βοήθεια του ορισμού των πράξεων, να φθάσεις στα ίδια αποτελέσματα;

Εξίσωση	Αριθμοί που την επαληθεύουν	Αριθμοί που δεν την επαληθεύουν
x – 4 = 1
5 – x = 4
2x = 8


x + 7 = 30

Στην ισότητα 2 · 6 = 12 το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να επιβεβαιώσουμε ότι είναι σωστή. Η ισότητα 2 · x =12 δεν είναι η ίδια. Αυτό το x που περιέχει «κρύβει» έναν αριθμό που αν τον βάλουμε στη θέση του επαληθεύει αυτή την ισότητα. Αν βάλουμε οποιαδήποτε άλλη τιμή στη θέση του x, η ισότητα 2 · x =12 δεν ισχύει. Γι' αυτό τη σχέση δεν τη λέμε ισότητα, αλλά εξίσωση. Και ο x είναι ο άγνωστος αυτής της εξίσωσης. 'Όταν εμφανίζεται αυτός ο περίφημος άγνωστος x, ακολουθεί και ένα πρόβλημα. Τώρα, η σχέση η δική μας με τέτοιου είδους «σχέσεις» δεν είναι καθόλου προβληματικές αν προσέξουμε καλά όσα ακολουθούν.

Μαθαίνουμε

Παρατηρούμε ότι μπορούμε να διατυπώσουμε μια πρόταση με τη βοήθεια αριθμών και γραμμάτων, ενώ για να λύσουμε ένα πρόβλημα μπορούμε να δημιουργήσουμε μια ισότητα με γράμματα και αριθμούς. Τέτοιες ισότητες τις λέμε εξισώσεις.

Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μία ισότητα, που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα (άγνωστος).

Οι ισότητες:

x + 5 = 12,	y – 2 = 3,	10 – z = 1
ω : 5 = 4,	7 · φ =12,	24 : ψ = 6

είναι εξισώσεις

Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα.

Λύση ή ρίζα της εξίσωσης
x – 7 = 5 είναι ο αριθμός 12
διότι 12 – 7 = 5
Τη λύση τη γράφουμε: x = 12

Η διαδικασία, μέσω της οποίας, βρίσκουμε τη λύση της εξίσωσης, λέγεται επίλυση της εξίσωσης.

Τον άγνωστο μιας εξίσωσης τον συμβολίζουμε με ένα γράμμα π.χ. χ, y, z, ω, φ, ψ κ.λπ.

Μια εξίσωση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη, όταν όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις της.

Οι εξισώσεις

x = x ή 0 · 2 = 0

είναι αόριστες ή ταυτότητες.

Μια εξίσωση λέγεται αδύνατη, όταν κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει

Οι εξισώσεις

x + 2 = x + 6 ή 0 · ω = 5

είναι αδύνατες.

Βάσει των ορισμών των πράξεων
η εξίσωση: x+α=β έχει λύση την x=β–α
   -//- x–α=β    -//- x=β+α
   -//- α–x=β    -//- x=α–β
   -//- α·x=β       -//- x=α:β
   -//- x:α=β       -//- x=β·α
   -//- α:x=β       -//- x=α·β

Η εξίσωση: x+5=12 έχει λύση την x=12–5 ή x=7

-//- y–2=3 -//- y=3+2 ή y=5

-//- 10–z=1 -//- z=10–1 ή z=9

-//- 7·φ=14 -//- φ=14:7 ή φ=2

-//- ω:5=4 -//- ω=4·5 ή ω=20

-//- 24:ψ=6 -//- ψ=24:6 ή ψ=4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Μια δεξαμενή χωρητικότητας 6 m³ που έχει μήκος 1,5 m και πλάτος 2 m , έχει ύψος (α) 1,5 m ή (β) 3 m ή (γ) 2 m;

Εικόνα

Αν συμβολίσουμε με x το ύψος της δεξαμενής, τότε ο όγκος της θα ισούται με: V = 1,5 · 2 · x. Όμως γνωρίζουμε ότι ο όγκος της δεξαμενής είναι 6 m³, άρα 3 · x = 6. (Δεν γράφουμε τις μονάδες στις εξισώσεις, αλλά πρέπει να γνωρίζουμε ποιες μονάδες χρησιμοποιούμε). Επομένως, x = 6 : 3, δηλαδή x = 2m.

Συνεπώς το σωστό ύψος της δεξαμενής είναι τα 2m.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Αντιστοίχισε τις προτάσεις των γραμμών του πρώτου πίνακα με τις εκφράσεις αριθμών και γραμμάτων των γραμμών στο δεύτερο πίνακα.

το τριπλάσιο ενός αριθμού	x–y > 20
το δεκαπλάσιο ενός αριθμού	x · y = 32
ένας αριθμός αυξάνεται κατά 12	3 · x
ένας αριθμός ελαττώνεται κατά 5	x + 12
η διαφορά δύο αριθμών είναι μεγαλύτερη του 20	10 · x
το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με 32	x – 5

Διατύπωσε με λόγια τις ακόλουθες μαθηματικές εκφράσεις: (α) 3 · Χ + 25, (β) ( Εικόνα

)· Χ – 7 = 2, (γ) α – 2 · β,
(δ) 4 · κ + 7 · κ = 88

Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι α. Πόση είναι η περίμετρος του και πόσο το εμβαδόν του;

Γράψε με απλούστερο τρόπο τις μαθηματικές εκφράσεις: (α) x + x, (β) α + α + α, (γ) 3 · α + 52 · α,
(δ) 2 · β + β + 3 · α + 2 · α, (ε) 4 · x + 8 · x – 3 · x, (στ) 7 · ω + 4 · ω – 10 · ω

Αν x · y = Εικόνα και z = , να βρεθεί το x · (y · z).

Στην εξίσωση 2 + α = x, το α και το x είναι φυσικοί αριθμοί. Ποια από τις τιμές 0, 3, 1 μπορεί να πάρει το x;

Μικροπείραμα

Να εξετάσεις, αν ο αριθμός 12 είναι η λύση της εξίσωσης: x + 13 = 25.

Τοποθέτησε ένα "X" στην θέση εκείνη που ο αριθμός επαληθεύει την αντίστοιχη εξίσωση:

	1	2	3	4	5	6	7	8
x – 2 = 4
1 + y = 4
18 – ω = 10
2 – α = 1
93 – β = 86

Ποιος αριθμός επαληθεύει κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις;

(α) x + 4,9 = 15,83 (β) 40,4 + x = 93,19 (γ) 53,404 – x = 4,19 (δ) 38 – x = 7,1

Ποια είναι η τιμή του Χ για να ισχύει; Εικόνα

Βρες την τιμή του φυσικού αριθμού x: Εικόνα

Μικροπείραμα

Λύσε τις εξισώσεις: (α) ν + 3 = 4, (β) x – 2 = 8, (γ) t + 4 + 1 = 3 + 19, (δ) 6 – x = 5.

Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσεις στον 4, για να προκύψει ο αντίστροφος του Εικόνα

;

Σε έναν αριθμό προσθέτουμε 5 και παίρνουμε άθροισμα 313. Ποιος είναι ο αριθμός;

Μικροπείραμα

Τα τετράγωνα που αποτελούν τους "δομικούς λίθους" με τους οποίους κατασκευάζουμε τα παρακάτω σχήματα, έχουν πλευρά ίση με 1 cm. (α) Βρες την περίμετρο του πέμπτου σχήματος και εξήγησε πώς έφτασες στην απάντηση σου. (β) Γράψε ένα τύπο με τη βοήθεια του οποίου θα μπορείς να υπολογίσεις την περίμετρο κάθε σχήματος. (γ) Ποια είναι η σειρά του σχήματος του οποίου η περίμετρος είναι 128 cm;

Μικροπείραμα Μικροπείραμα