| Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα |
| |
| ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ |
 |
Ο καθηγητής φυσικής αγωγής πρέπει να αποφασίσει με ποιο τρόπο μπορεί να παρατάξει τους 168 μαθητές του σχολείου για την παρέλαση.
- Μπορεί να φτιάξει πλήρεις τριάδες, τετράδες, πεντάδες, εξάδες ή επτάδες;
- Πόσες από αυτές θα σχηματιστούν σε κάθε περίπτωση;
Μικροπείραμα  |
 |
|
|
|
| Σκεφτόμαστε |
Για να αποφασίσει ο καθηγητής με ποιο τρόπο θα παρατάξει τους 168 μαθητές για την παρέλαση, πρέπει να διαιρέσει το 168 με τους αριθμούς 3, 4, 5, 6 και 7. Παρατηρούμε ότι το 168 διαιρείται ακριβώς με το 3 και δίνει πηλίκο 56, οπότε μπορεί να παρατάξει τους 168 μαθητές σε 56 τριάδες.
Παρόμοια, η διαίρεση του αριθμού 168 με τους αριθμούς 4, 6, και 7 δίνει τα πηλίκα: 42, 28 και 24 αντίστοιχα. Επομένως, μπορούν να παραταχθούν οι μαθητές σε 42 τετράδες ή 28 εξάδες ή σε 24 επτάδες. Τέλος, η διαίρεση του 168 με το 5 δίνει πηλίκο 33 και αφήνει υπόλοιπο 3. Άρα, δεν μπορεί ο καθηγητής να παρατάξει τους μαθητές σε πλήρεις πεντάδες. |
|
|
 |
- Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει:
- Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός π ονομάζεται πηλίκο και το υ υπόλοιπο της διαίρεσης.
- Το υπόλοιπο είναι αριθμός πάντα μικρότερος του διαιρέτη:
|
 |
|
- Η διαίρεση της παραπάνω μορφής λέγεται Ευκλείδεια Διαίρεση.
- Αν το υπόλοιπο υ είναι 0, τότε λέμε ότι έχουμε μία Τέλεια Διαίρεση:
- Στους φυσικούς αριθμούς η τέλεια διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού, όπως είναι και η αφαίρεση πράξη αντίστροφη της πρόσθεσης
|
 |
- Ο διαιρέτης δ μιας διαίρεσης δεν μπορεί να είναι 0.
- Όταν Δ = δ, τότε το πηλίκο π = 1
- Όταν ο διαιρέτης δ = 1, τότε το πηλίκο π = Δ
- Όταν ο διαιρετέος Δ = 0, τότε το πηλίκο π = 0
|
 |
|
|
Ευκλείδης 
|
| ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ |
 |
Ποιες από τις παρακάτω ισότητες εκφράζουν "Ευκλείδεια διαίρεση";
(α) 120 = 28 · 4 + 8 (β) 1.345 = 59 · 21 + 106 (γ) 374 = 8 · 46 + 6 |
|
| (α) |
Έχουμε ν = 8, που είναι μικρότερος από το 28 και μεγαλύτερος από το 4.
Άρα, είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη μόνο το 28 και όχι το 4. |
| (β) |
Έχουμε ν = 106, που είναι μεγαλύτερος από το 59 και από το 21.
Άρα δεν είναι υπόλοιπο μιας Ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη το 59 ή το 21. |
| (γ) |
Έχουμε ν = 6, που είναι μικρότερος από το 8 και από το 48.
Άρα είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη είτε το 46 είτε το 8. |
|
 |
Στη μονάδα μνήμης μιας φωτογραφικής μηχανής μπορούν να αποθηκευτούν 11 φωτογραφίες.(α) Πόσες τέτοιες ίδιες μνήμες χρειάζονται για να αποθηκευτούν 5 φωτογραφίσεις των 36 φωτογραφιών η καθεμιά; (β) Για πόσες φωτογραφίες θα μείνει χώρος στην τελευταία μονάδα; |
|
| (α) |
Οι 5 φωτογραφήσεις των 36 φωτογραφιών η καθεμιά είναι συνολικά 5 · 36 = 180 φωτογραφίες. Η διαίρεση των 180 φωτογραφιών με τις 11 που μπορούν να αποθηκευτούν σε μια μονάδα, έχει πηλίκο 16 και υπόλοιπο 4, δηλαδή έχουμε 180 = 11 · 16 + 4.
Έτσι, χρειαζόμαστε 16 μονάδες, περισσεύουν όμως 4 φωτογραφίες ακόμη, επομένως, θα πρέπει να πάρουμε επιπλέον μία μονάδα, άρα θα χρειασθούν16 + 1 = 17 μονάδες μνήμης. |
| (β) |
Αφού στην τελευταία δισκέτα θα αποθηκευτούν οι 4 φωτογραφίες, που περίσσεψαν, θα μείνει χώρος για 11 - 4 = 7 φωτογραφίες. |
|
|
| |
| ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ |
|
Να κάνεις τις ακόλουθες διαιρέσεις και τις δοκιμές τους:
(α) 4002:69 (β) 1445:17, (γ) 925:37 (δ) 3621:213, (ε) 35280:2940, (στ) 5082:77. |
 |
 |
Να υπολογίσεις: (α) Πόσο κοστίζει το 1 μέτρο υφάσματος αν τα 5 μέτρα κοστίζουν 65 €; (β) Πόσο κοστίζει το 1 κιλό κρέας αν για τα 3 κιλά πληρώσαμε 30 €; (γ) Πόσα δοχεία των 52 λίτρων θα χρειαστούν για 46.592 λίτρα κρασιού; |
 |
Να εξετάσεις ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις:
(α) 125=35· 3+20, (β) 762=38·19 + 40, (γ) 1500=42·35+30, (δ) 300=18·16+12 |
 |
Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός, ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ν:8; |
 |
Αν ένας αριθμός διαιρεθεί δια 9 δίνει πηλίκο 73 και υπόλοιπο 4. Ποιος είναι ο αριθμός; |
 |
Αν σήμερα είναι Τρίτη, τι μέρα θα είναι μετά από 247 ημέρες; |
|
|
