Β.3.2. Άθροισμα γωνιών τριγώνου - Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

Μέρος Β' - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η

Σχεδίασε διάφορα τυχαία ορθογώνια, αμβλυγώνια και οξυγώνια τρίγωνα, όπως π.χ. αυτά που φαίνονται πιο κάτω. Μέτρησε τις γωνίες τους με το μοιρογνωμόνιο και υπολόγισε το άθροισμα τους. Μπορείς να διατυπώσεις κάποιο συμπέρασμα;

Εικόνα

Μικροπείραμα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

Προσπάθησε να διαπιστώσεις ποια διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι άξονας συμμετρίας του και γιατί.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η

Σχεδίασε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τις διαμέσους του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ.
Δικαιολόγησε γιατί οι διάμεσοι του ισόπλευρου είναι διχοτόμοι και ύψη του.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ότι:

Η ευθεία της διαμέσου, που αντιστοιχεί στη βάση είναι άξονας συμμετρίας του ισοσκελούς τριγώνου.
Η διάμεσος, που αντιστοιχεί στη βάση είναι ύψος και διχοτόμος.
Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς είναι ίσες.

Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει ότι:

Οι ευθείες των διαμέσων είναι άξονες συμμετρίας του ισοπλεύρου τριγώνου.
Κάθε διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος.
Όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες του ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσες.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να δικαιολογηθεί με λογικά επιχειρήματα ότι το άθροισμα των τριών γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°.

Σχεδιάζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ και μία ευθεία xAy, που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΒΓ.

Παρατηρούμε ότι:
γιατί είναι γωνίες εντός εναλλάξ, των παράλληλων ευθειών xAy και ΒΓ, που τέμνονται από την ΑΒ.
γιατί είναι γωνίες εντός εναλλάξ των παράλληλων ευθειών xAy και ΒΓ, που τέμνονται από την ΑΓ.
Οι γωνίες και σχηματίζουν μια ευθεία γωνία.

Επομένως θα είναι: .
Επειδή όμως είναι: και , θα έχουμε: .

Μικροπείραμα

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές.

Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με .
Επειδή είναι: θα έχουμε: .

Γνωρίζουμε, ότι δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90° λέγονται συμπληρωματικές. Άρα, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές.

Μικροπείραμα

To άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου ισούται με την εξωτερική της τρίτης γωνίας. (Στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία

, που σχηματίζεται από την ΑΓ και την προέκταση της ΒΓ προς το μέρος του Γ, ονομάζεται εξωτερική γωνία της

Η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική της εσωτερικής γωνίας του τριγώνου, δηλαδή θα είναι :

Επειδή σε κάθε τρίγωνο είναι

, άρα

, δηλαδή

. Άρα, η εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου.

Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι όλες ίσες με 60°.

Γνωρίζουμε ότι στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι:

Επειδή σε κάθε τρίγωνο είναι

, θα είναι

, δηλαδή

, συνεπώς:

. Άρα, όλες οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες με 60°.

Να υπολογιστούν οι γωνίες ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου.

Σε κάθε τρίγωνο ισχύει . Επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία είναι ορθή, δηλαδή , θα είναι: .

Επειδή το τρίγωνο είναι και ισοσκελές θα είναι , άρα θα είναι , από την οποία προκύπτει ότι:, δηλαδή θα έχουμε και επομένως και

Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου, αν είναι γνωστό μόνο ότι το μέτρο μιας γωνίας του είναι 40°.

Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Τότε θα είναι

Επειδή είναι

διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:

(α)

Αν είναι .

Συνεπώς θα είναι , επομένως . Επομένως θα είναι , από την οποία προκύπτει ότι: , δηλαδή άρα και .

(β)

Αν είναι .

Θα είναι εικόνα , δηλαδή , συνεπώς θα έχουμε: .

Παρατηρούμε ότι με τα ίδια ακριβώς δεδομένα προκύπτουν δύο τελείως διαφορετικά ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία όμως ικανοποιούν αυτά τα δεδομένα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση		ΣΩΣΤΟ	ΛΑΘΟΣ
(α)	Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
(β)	Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: .
(γ)	Κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις γωνίες ίσες με 30°.
(δ)	Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η ευθεία μιας διαμέσου είναι άξονας συμμετρίας.
(ε)	Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι και διχοτόμος.
(στ)	Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο οι ευθείες των πλευρών είναι άξονες συμμετρίας.
(ζ)	Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο οι ευθείες των υψών είναι άξονες συμμετρίας.
(η)	Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο κάθε διάμεσος είναι και ύψος.
(θ)	Σε κάθε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες γωνίες στη βάση είναι 60°.

Σχεδίασε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ώστε να είναι

και

και υπολόγισε τη γωνία

Σχεδίασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο να είναι

και ΑΒ = 4,2 cm. (α) Υπολόγισε τη γωνία

. (β) Μέτρησε την πλευρά ΒΓ και σύγκρινε το μήκος της με το μήκος της πλευράς ΑΒ.

Στο διπλανό σχήμα είναι ε₁//ε₂. Να υπολογίσεις τις γωνίες

Στα διπλανά σχήματα είναι ε₁//ε₂.

Να υπολογίσεις τη γωνία .

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ//ΓΔ. Υπολόγισε τη γωνία

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 74°. Να υπολογίσεις τις υπόλοιπες γωνίες.

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι

=36° και η γωνία

είναι διπλάσια από τη

. Υπολόγισε τις γωνίες

και

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία

είναι διπλάσια από τη

και η

τριπλάσια από τη

. Να υπολογίσεις τις γωνίες του τριγώνου.

Μικροπείραμα

Να σχεδιάσεις ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ, να πάρεις ένα σημείο Ο στο εσωτερικό του και να φέρεις τις OA, OB, ΟΓ και ΟΔ. Να υπολογίσεις το άθροισμα των γωνιών

και στη συνέχεια το άθροισμα των γωνιών του ΑΒΓΔ.

Μικροπείραμα