Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Μέρος Β' - Κεφάλαιο 2ο -Συμμετρία
Β.2.6. Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
Στη διπλανή εικόνα βλέπουμε ένα δημόσιο δρόμο να διασχίζει δύο αγροκτήματα.
Οι παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 ορίζουν τα όρια του δρόμου αυτού και χωρίζουν τη γη σε τρεις ζώνες.
Δώσε μια συγκεκριμένη κοινή ονομασία για όλα τα σημεία που βρίσκονται στην άσφαλτο του δρόμου, δηλαδή στη ζώνη ανάμεσα στις ευθείες ε1 και ε2, καθώς και μία άλλη κοινή ονομασία γιά όλα τα
σημεία που βρίσκονται έξω απ' αυτή, δηλαδή στα χωράφια.
Στην ίδια εικόνα υπάρχει ένας χωματόδρομος που χωρίζει τα δύο αγροκτήματα και ορίζει μια ευθεία δ που είναι το σύνορο μεταξύ τους.
Πώς μπορείς να δώσεις μια κοινή ονομασία σε όλα τα σημεία που ανήκουν στο ίδιο και μόνο αγρόκτημα;
Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε1 και ε2ονομάζονται "εντός" (των ευθειών) και όλες οι άλλες "εκτός".
Οι γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της ευθείας δ ονομάζονται "επί τα αυτά" (μέρη της ευθείας)
Δύο γωνίες που βρίσκονται η μία στο ένα κι η άλλη στο άλλο ημιεπίπεδο της ευθείας δ, λέγονται μεταξύ τους "εναλλάξ".
Από τον συνδυασμό των παραπάνω προκύπτει ότι θα έχουμε τις παρακάτω έξι ονομασίες για τα 16 διαφορετικά ζευγάρια των γωνιών. (α) εντός εναλλάξ και (β) εκτός εναλλάξ (γ) εντός και επί τα αυτά και (δ) εκτός και επί τα αυτά (ε) εντός - εκτός εναλλάξ και (στ) εντός - εκτός επί τα αυτά.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Να συγκριθούν μεταξύ τους οι γωνίες, που σχηματίζονται στα σημεία Α και Β, στα οποία τέμνει μια ευθεία δ δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 αντίστοιχα.
Μπορούμε να διαπιστώσουμε (μετρώντας με το μοιρογνωμόνιο) ότι οι γωνίες που σχηματίζονται και στα δύο σημεία τομής Α και Β, είναι δύο ειδών:
Οι οξείες γωνίες ω, που είναι μεταξύ τους ίσες και
Οι αμβλείες γωνίες φ, που είναι κι αυτές μεταξύ τους ίσες.
Τα τέσσερα ζευγάρια των γωνιών, που είναι όλες οξείες και ίσες μεταξύ τους είναι:
Από τις
Από τις
Από τις
Τα τέσσερα ζευγάρια των γωνιών, που είναι όλες αμβλείες και ίσες μεταξύ τους είναι:
Από τις
Από τις
Από τις
Επειδή όμως οι γωνίες $\hat{A_1}$ και $\hat{A_2}$ είναι παραπληρωματικές, θα ισχύει γενικά: $\hat{ω}$ + $\hat{φ}$ = 180°.
Οπότε συμπεραίνουμε ότι τα υπόλοιπα ζευγάρια των γωνιών είναι ζευγάρια παραπληρωματικών γωνιών, τα οποία και είναι τα εξής:
Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1 //ε2. Να υπολογίσετε όλες τις γωνίες, που είναι σημειωμένες, αν είναι $\hat{α}$ = 40°.
Οι γωνίες $\hat{α}$ και $\hat{γ}$ είναι κατακορυφήν, άρα θα είναι:
Οι γωνίες $\hat{α}$ και $\hat{β}$ είναι παραπληρωματικές, άρα θα είναι: , από τη
σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι:
Οι γωνίες $\hat{β}$ και $\hat{δ}$ είναι κατακορυφήν, άρα θα είναι: .
Αλλά επειδή ε1 //ε2 και η ε3 τέμνουσα των δύο παραλλήλων ευθειών θα είναι:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Σχεδίασε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2, οι οποίες να απέχουν 4 cm. Φέρε μία ευθεία που να σχηματίζει με την ε1 γωνία 72° και υπολόγισε τις υπόλοιπες γωνίες.
Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2 και ε3//ε4
Να υπολογίσεις τις σημειωμένες γωνίες του σχήματος, αν είναι $\hat{α}$ = $\hat{β}$ = 70°.
Να σχηματίσεις μια γωνία xAy = 63°. Να πάρεις ένα σημείο Β της πλευράς Αx, ώστε να είναι ΑΒ=5 cm και ένα σημείο Δ της Ay, ώστε να είναι ΑΔ=2,9 cm. Να φέρεις από το Β την παράλληλη προς την Αy και από το Δ την παράλληλη προς την Ax. Να ονομάσεις Γ το σημείο τομής των παράλληλων αυτών. Να υπολογίσεις τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.
Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και η ημιευθεία Βδ2 είναι διχοτόμος της γωνίας B. Να υπολογίσεις τις γωνίες $\hat{α}$, $\hat{β}$ και $\hat{γ}$ του σχήματος.
Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2 και ε3//ε4. Να υπολογίσεις τις γωνίες $\hat{α}$ και $\hat{β}$.
, από τη
.
