Β.2.4. Συμμετρία ως προς
σημείο |
|
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ |
|
Αν
περιστραφεί το σχήμα ΑΒΓ, γύρω από το σημείο Ο κατά
180°, παίρνει μια νέα θέση την Α'Β'Γ'
- Τι συμπεραίνεις
για τα σχήματα ΑΒΓ και
Α'Β'Γ’;
Μικροπείραμα |
|
Παρατηρούμε
ότι όταν
ολοκληρωθεί η στροφή αυτή, κάθε σημείο του ΑΒΓ συμπίπτει με ένα σημείο
του Α'Β'Γ'. Για παράδειγμα, θα συμπέσουν τα σημεία Α και Α'. |
|
|
|
|
|
- Τα σημεία αυτά λέγονται συμμετρικά, ως προς κέντρο Ο.
Δηλαδή:
|
|
- Συμμετρικό
σημείου Α ως
προς κέντρο Ο, είναι το σημείο Α',
με το οποίο συμπίπτει το Α, αν
περιστραφεί περί το Ο κατά 180°.
|
|
Ισχύει
ότι:
- Δύο
σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν το Ο είναι μέσο του τμήματος ΜΜ'
- Δύο
σχήματα λέγονται συμμετρικά
ως προς σημείο Ο, όταν
κάθε σημείο του ενός είναι συμμετρικό ενός σημείου του άλλου ως προς το Ο.
- Τα συμμετρικά ως προς σημείο
σχήματα είναι ίσα.
|
|
|
|
|
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ -
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ |
|
Να βρεθεί το συμμετρικό Α' του σημείου Α, ως προς σημείο Ο. |
|
|
|
Για
να κατασκευάσουμε το συμμετρικό Α' ενός
σημείου Α ως προς σημείο Ο,
φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΟ και στην προέκτασή του (με το υποδεκάμετρο ή με το διαβήτη) παίρνουμε
ίσο τμήμα ΟΑ',
όπως δείχνουν οι παραπάνω
εικόνες. |
|
Μικροπείραμα |
|
Να κατασκευαστεί το συμμετρικό Α'Β' ενός
ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ως προς
σημείο Ο. |
|
|
|
Το
συμμετρικό ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ως
προς σημείο Ο, είναι ευθύγραμμο τμήμα Α'Β'.
Για να το
κατασκευάσουμε αρκεί να βρούμε τα σημεία Α' και Β',
που είναι τα
συμμετρικά των Α και Β ως προς Ο.
Παρατηρούμε
ότι είναι: Α'Β' = ΑΒ και Α'Β' // ΑΒ
Μικροπείραμα |
|
|
|
Να κατασκευαστεί το συμμετρικό ως προς
σημείο Ο: (α) μιας ευθείας ε και (β) μιας
ημιευθείας Αx. |
|
|
|
Παίρνουμε
δύο σημεία Α και Β πάνω στην ευθεία ε ή την
ημιευθεία Αx και βρίσκουμε, όπως παραπάνω, τα
συμμετρικά ως προς το Ο.
Η προέκταση
του ευθύγραμμου τμήματος Α'Β' είναι η ε' ή η Α'x',
που είναι συμμετρική της ευθείας ε ή της ημιευθείας Ax αντίστοιχα.
(α) |
|
(β) |
|
Μικροπείραμα |
|
Να κατασκευαστεί το συμμετρικό σχήμα μιας
γωνίας xÂy ως προς σημείο Ο. |
|
|
|
Βρίσκουμε
το συμμετρικό Α' της κορυφής Α και τις συμμετρικές ημιευθείες Α'x' και Α'y' των δύο πλευρών της Ax και Ay αντίστοιχα
ως προς το Ο, όπως μάθαμε
προηγουμένως. Τότε, η γωνία x'Â’y' είναι
συμμετρική της xÂy και είναι ίση μ' αυτή. |
|
|
|
Να κατασκευαστεί το συμμετρικό Α'Β'Γ' ενός
τριγώνου ΑΒΓ ως προς σημείο Ο, το οποίο (α) είναι εκτός τριγώνου, (β)
βρίσκεται εντός του τριγώνου και (γ) είναι μία κορυφή του. |
|
|
|
Και στις τρεις περιπτώσεις,
βρίσκουμε τα συμμετρικά Α', Β', Γ',
ως προς το Ο, των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου. Τότε το
τρίγωνο ΑΒΓ έχει συμμετρικό το τρίγωνο Α'Β'Γ',
που είναι ίσο με το ΑΒΓ.
Μικροπείραμα |
|
|
|
Να κατασκευαστεί το συμμετρικό σχήμα ενός
κύκλου (Κ, ρ) ως προς σημείο Ο. |
|
|
|
Βρίσκουμε
το συμμετρικό ως προς το Ο του
κέντρου Κ και ενός σημείου του κύκλου Α,
που είναι τα σημεία Κ' και Α' αντίστοιχα. Γράφουμε τον κύκλο
(Κ', ρ=Κ'Α') που είναι ο ζητούμενος. Οι δύο κύκλοι
είναι ίσοι διότι
έχουν ίσες ακτίνες.
Μικροπείραμα |
|
|
|
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ |
|
Να κατασκευάσεις τα συμμετρικά Β', Μ'
και Γ' των Β, Μ και Γ αντίστοιχα ως προς το Α και να δικαιολογήσεις ότι
το Μ' είναι μέσο του Β'Γ'. (Το Μ είναι το μέσο της ΒΓ). |
|
|
|
|
Να σχεδιάσεις τρίγωνο ΑΒΔ και το συμμετρικό
Γ της κορυφής του Α ως προς το μέσον Ο της πλευράς ΒΔ. Πώς μπορείς να
χαρακτηρίσεις το τετράπλευρο ΑΒΓΔ;
Μικροπείραμα - Άσκηση νέα |
|
|