Β.1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 1ο - Βασικές γεωμετικές έννοιες

Β.1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Σε καθένα από τα παρακάτω τρία σχήματα υπάρχουν δύο γωνίες Εικόνα και .

Συμπλήρωσε τα κενά στην πρόταση που αντιστοιχεί σε καθένα από τα τρία σχήματα και δικαιολόγησε την απάντησή σου.


Έχουν κοινή την ……….…… και την …………... και κανένα άλλο κοινό σημείο	Έχουν μόνο κοινή ………..….. και κανένα άλλο κοινό σημείο	Έχουν κοινή την ………………… μία ………………………… και ……………………

Μικροπείραμα

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Εικόνα

Εφεξής γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο.

Οι γωνίες Δ$\widehat{O}$Α και Α$\widehat{O}$Β καθώς και οι γωνίες Α$\widehat{O}$Β και Β$\widehat{O}$Γ είναι εφεξής. Τότε οι γωνίες Δ$\widehat{O}$Α, Α$\widehat{O}$Β και Β$\widehat{O}$Γ λέγονται διαδοχικές.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Υπάρχει τρόπος για να γίνουν δύο γωνίες εφεξής;

Αποτυπώνουμε τη μία γωνία σε διαφανές χαρτί και τη μεταφέρουμε κατάλληλα έτσι, ώστε να γίνει εφεξής με την άλλη.

Εικόνα

Μικροπείραμα

Σε αρκετές περιπτώσεις χρειάζεται να προσθέσουμε δύο γωνίες, δηλαδή να βρούμε μια τρίτη γωνία, που να είναι το άθροισμά τους. Ας δούμε πως γίνεται αυτό.

Να βρεθεί η γωνία, που είναι άθροισμα δύο γωνιών.

Με το διαφανές χαρτί, όπως κάναμε και προηγουμένως, φέρνουμε τις δύο γωνίες Εικόνα και σε θέση τέτοια, ώστε να γίνουν εφεξής. Τότε οι μη κοινές πλευρές ΟΑ και ΟΔ σχηματίζουν μια νέα γωνία την , για την οποία διαπιστώνουμε, με το μοιρογνωμόνιο, ότι έχει μέτρο Εικόνα + , δηλαδή είναι το άθροισμα των μέτρων ( και ) των δύο γωνιών.

Εικόνα

Να βρεθεί το άθροισμα δύο γωνιών με μέτρα 50^ο και 82^ο.

Έστω οι γωνίες x Εικόνα x΄ και yy΄ με μέτρα = 50^ο και = 82^ο αντίστοιχα.

Η γωνία xy΄ που έχει άνοιγμα:

Εικόνα

είναι το άθροισμα των γωνιών αυτών.

Δίνεται ευθεία x΄x. Από ένα σημείο Ο της ευθείας φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της, δυο ημιευθείες Οy και Οz. Να βρεθεί το άθροισμα των τριών γωνιών, που σχηματίζονται, όπως φαίνεται στο σχήμα στην επόμενη σελίδα.

Όπως παρατηρούμε, η γωνία xx΄ είναι το άθροισμα των διαδοχικών γωνιών yx΄, yz και zx. Άρα το μέτρο της Εικόνα είναι το άθροισμα των αντίστοιχων μέτρων και των γωνιών αυτών,

δηλαδή Εικόνα . Επειδή όμως οι πλευρές της γωνίας xx΄ είναι αντικείμενες ημιευθείες, η γωνία αυτή έχει μέτρο

Άρα, Εικόνα

Μικροπείραμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Σχεδίασε δύο γωνίες που να έχουν την ίδια κορυφή και μια κοινή πλευρά, οι οποίες (α) να είναι εφεξής και (β) να μην είναι εφεξής.

Να βρεις στο σχήμα και να ονομάσεις όλες τις εφεξής και όλες τις διαδοχικές γωνίες.

Να βρεις τα ζεύγη των εφεξής γωνιών στο σχήμα.

Να γράψεις τις εφεξής και τις διαδοχικές γωνίες που υπάρχουν στα παρακάτω σχήματα.

Εικόνα