Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί
 
Α.7.9. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο
 

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης των δυνάμεων με την ίδια βάση, που μάθαμε στην προηγούμενη παράγραφο, είναι:

Εικόνα

Με την έννοια αυτή ορίζουμε:

Εικόνα
  • Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη το μηδέν είναι ίση με μονάδα.
α0=1

Επίσης, θα είναι:

Εικόναγνωρίζουμε ότι είναι και Εικόνα, άρα Εικόνα

Εικόνα γνωρίζουμε ότι είναι και Εικόνα, άρα Εικόνα

κ.ο.κ. Με την έννοια αυτή ορίζουμε:
  • Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός, με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού με αντίθετο εκθέτη.
    Επειδή τα Εικόνα και Εικόναείναι αντίστροφοι αριθμοί, όπως και τα α και Εικόνα στην προηγούμενη σχέση, εξάγουμε το συμπέρασμα ότι ισχύει:

Εικόνα

Εικόνα
  • Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη φυσικό, που μάθαμε στην προηγούμενη παράγραφο, ισχύουν και για τις δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο.
  
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα Να υπολογιστούν οι δυνάμεις: (α) (-2)-5, (β) -3-3, (γ) (-234567)0. Εικόνα
Εικόνα
   
(α) Εικόνα, (β) Εικόνα, (γ) Εικόνα
Εικόνα Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: Εικόνα
Εικόνα  
 
(α) [(-3)3]2 = (-3)3·2 = (-3)6 = 729
(β) 33 : 3-2 = 33-(-2) = 33+2 = 35 = 243
(γ) (-2)4 · (-2)6 = (-2)4+6 = (-2)10 = 1024
(δ) Εικόνα
 
Εικόνα Να υπολογιστούν οι δυνάμεις: 10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, 10-7.  
Εικόνα    
  Εικόνα  
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

 

Εικόνα
Συμπλήρωσε τον πίνακα:
α β γ (α+β)2 (αβ)2 Εικόνα (-α)-2 (γβ)-1
Εικόνα -2 Εικόνα          
-1 Εικόνα Εικόνα          
10 -10 0,01          
Εικόνα

Υπολόγισε τις τιμές των παραστάσεων:

Α = (-1)-3 + (-1)-2 + (-1)-1 + (-1)0 + (-1)1 + (-1)2,
Β = [(-2) 2] 5[(-3) 2] -2+[(-23,5) 2(23,5) -2] 5, Εικόνα
Εικόνα

Βρες ποιος από τους αριθμούς: Εικόνα, δεν είναι δύναμη του 10.
Εικόνα Συμπλήρωσε τον πίνακα:
x 0,001 0,01 0,1 -10 -100 2·104 5·10-3 $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ -$\frac{1}{5}$
x-3                    
x3                    
x-1                    
Εικόνα Συμπλήρωσε τον πίνακα:
• 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
10-3              
10-2              
10-1              
100              
101              
102              
103