Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Ένας υπολογιστής μολύνθηκε από κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητα να καταστρέφει τα ηλεκτρονικά αρχεία με τον εξής τρόπο:

Κάθε μολυσμένο αρχείο μόλυνε, με τη σειρά του, τρία άλλα αρχεία μέσα σε μία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή.

Προσπάθησε να βρεις, πόσα αρχεία θα έχουν μολυνθεί σε πέντε ώρες.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Συμβολισμοί

Για ν = 1, γράφουμε α¹ = α
Η δύναμη α^ν διαβάζεται και νιοστή δύναμη του α.
Η δύναμη α² λέγεται και τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.
Η δύναμη α³ λέγεται κύβος του α ή α στον κύβο.

Πρόσημο δύναμης

Παρατηρούμε ότι:	Γενικά ιοχύει ότι:
	Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός. Αν α > 0, τότε α^ν > 0
	Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός. Αν α < 0 και ν άρτιος, τότε α^ν> 0
	Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός. Αν α < 0και ν περιττός, τότε α^ν< 0

Ιδιότητες δυνάμεων ρητών με εκθέτη φυσικό

Παρατηρούμε ότι:

Γενικά ιοχύει ότι:

Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών.

α^μ · α^ν = α^μ+ν

Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου.

α^μ : α^ν = α^μ-ν

Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό.

(α · β)^ν = α^ν · β^ν

Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε καθένα από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό.

Για να υψώσουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο γινόμενο των εκθετών.

(α^μ)^ν = α^{μ ·ν}

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α) -3³, (β) (-3)³, (γ) -3⁴, (δ) (-3)⁴. Τι παρατηρείτε;

(α)	Η παράσταση θα είναι: -3³ - -3·3·3 = -27
(β)	Επειδή ο εκθέτης είναι περιττός, η δύναμη θα είναι αρνητικός αριθμός. Άρα, θα είναι: (-3)³ = (-3)·(-3)·(-3) = -3³ = -27
(γ)	Η παράσταση θα είναι: -3⁴ = -3·3·3·3 = -81
(δ)	Επειδή ο εκθέτης είναι άρτιος, η δύναμη θα είναι θετικός αριθμός. Άρα, θα είναι: (-3)⁴ = (-3)·(-3)·(-3)·(-3) = +3⁴ = +81

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Π=(-2)³·3-3⁴+(-2)⁴:16+[-1-(-1)⁷·8]

Η σειρά των πράξεων είναι η εξής: 1ο Δυνάμεις, 2ο Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, 3ο Προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, προηγούνται οι πράξεις μέσα σ' αυτές με την ίδια σειρά. Άρα:

Π=(-2)³·3-3⁴+(-2)⁴:16+[-1-(-1)⁷·8] = (-8)·3-81+(+16):16+[-1+8] = - -24-81+1+7 = -97

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
(α)	Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι........................................................ αριθμός.
(β)	Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη.............................................................. είναι θετικός αριθμός.
(γ)	Δύναμη με βάση.................................... αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός.
(δ)	Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το ..................................................... των εκθετών.
(ε)	Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη ..............................................
(στ)	Γα να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε ......................................................................................... του γινομένου στον εκθέτη αυτό.
(ζ)	Γα να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε ......................................................................................... του πηλίκου στον εκθέτη αυτό.
(η)	Για να υψώσουμε μια δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο ....................................................... των εκθετών

Βρες με ποιο στοιχείο της 2ης και της 3ης γραμμής αντίστοιχα είναι ίσο κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής του παρακάτω πίνακα.

Υπολόγισε τις τιμές των παραστάσεων: Α = (-1)¹ +(-1)² +(-1)³ + (-1)⁴ + (-1)⁵, Β = 32·5⁴ - 25-4⁵ + 87,5·4³,