Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί
 
Α.7.4. Αφαίρεση ρητών αριθμών
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
Εικόνα

Στο σχήμα βλέπουμε τη μέση θερμοκρασία μιας περιοχής για τους 12 μήνες του χρόνου σε συγκεκριμένη ώρα της ημέρας.

Εικόνα

Ποιος είναι ο πιο ζεστός μήνας του έτους και ποιος ο πιο κρύος;
Ποια είναι η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ αυτών των μηνών;
Ποια είναι η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ κάθε δύο διαδοχικών μηνών;

Προσομοίωση 1μικροπείραμα    Προσομοίωση 2μικροπείραμα

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα

Για να αφαιρέσουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β, προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β.

α-β = α+(-β)
Εικόνα

Στους ρητούς αριθμούς η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση και επομένως είναι πάντα δυνατή (δηλαδή, δεν απαιτείται να είναι ο μειωτέος πάντα μεγαλύτερος από τον αφαιρετέο, όπως ίσχυε μέχρι τώρα).

Απαλοιφή παρενθέσεων

Σε αρκετές περιπτώσεις αριθμητικών παραστάσεων εμφανίζονται περισσότεροι του ενός αριθμοί με τα πρόσημά τους μέσα σε παρενθέσεις, μπροστά από τις οποίες μπορεί να υπάρχουν τα πρόσημα + ή -. Για να απαλείψουμε τις παρενθέσεις εργαζόμαστε ως εξής:

  • Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + (ή δεν έχει πρόσημο), μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το + (αν έχει) και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.

(+5) + (-7) = +5 - 7 = -2

(9,1-6,2+3,4) + (-7,5+10-8,3) =

= 9,1-6,2 + 3,4-7,5 + 10-8,3

  • Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το -, μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το - και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.

(-5) - (-7) = -5 + 7 = +2

-(9,1-6,2+3,4) - (-7,5+10-8,3) =

= -9,1+6,2-3,4+7,5-10+8,3

 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα

Ένα βράδυ το θερμόμετρο στο μπαλκόνι ενός σπιτιού έδειχνε -3° C και μέσα στο σπίτι 18°C. Πόση ήταν η διαφορά θερμοκρασίας;

Εικόνα  
Εικόνα

To πρόβλημα ζητάει να υπολογίσουμε τη διαφορά των θερμοκρασιών, δηλαδή τη διαφορά (+18) - (-3).

Αν παρατηρήσουμε το σχήμα θα δούμε ότι η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του εσωτερικού του σπιτιού και του εξωτερικού του ήταν +21° C.

Σύμφωνα με τον ορισμό της αφαίρεσης ρητών θα έχουμε:

(+18) - (-3) = (+18) + (+3) = (+21)

Εικόνα

Μικροπείραμαμικροπείραμα   

Εικόνα

Ένας έμπορος χρωστάει στον προμηθευτή του 897,56 € και του οφείλει ένας πελάτης 527,42 €. Πόσα € πρέπει να έχει στο ταμείο για να ξεχρεώσει;

Εικόνα  
 

Αν x είναι το ποσό των χρημάτων που χρειάζεται, θα είναι:

x + (+527,42) = +897,56. Γνωρίζουμε ότι:  x = (+897,56) - (+527,42).

Σύμφωνα με τον κανόνα της αφαίρεσης ρητών, έχουμε ότι:

x = (+897,56) + (-527,42). Άρα, x = +(897,56 - 527,42) ή x = +370,14 €

Εικόνα Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) x + (+3) = (-9), (β) (-8) - x = +7
Εικόνα  
 
(α) Αν είναι: x + (+3) = (-9) τότε x = (-9) - (+3) ή x = (-9) + (-3) ή x = (-12). Δηλαδή,  x = -12.
(β) Εφ' όσον (-8) - x = +7 θα ισχύει ότι: (-8) = (+7) + x και επίσης: x = (-8) - (+7) ή  x = (-8) + (-7) δηλαδή  x = -15.
Εικόνα Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: -13 - (0,38 - 11 - 13) + (0,38-11).
Εικόνα  
 
Έχουμε:

-13 - (0,38 - 11 - 13) + (0,38 - 11) =
= -13 - 0,38 + 11 + 13 + 0,38 - 11 =
= -13 + 13 - 0,38 + 0,38 - 11 + 11 =

= 0 + 0 + 0 = 0
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ


Άσκηση    

Εικόνα

 

Εικόνα

Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
(α) Στους ρητούς αριθμούς η αφαίρεση σημαίνει πάντα ελάττωση    
(β) Αν η διαφορά δύο ρητών είναι αρνητικός αριθμός, τότε και οι δύο ρητοί είναι αρνητικοί αριθμοί.    
(γ)  Ισχύει στην αφαίρεση η αντιμεταθετική ιδιότητα: α - β = β - α    
(δ)  Ισχύει ότι: 6-(+8) + (+5) + (-3) + (2) + (-1) = 0    
(ε) Λύση της εξίσωσης x + (-3) = -2 είναι ο αριθμός +1    
(στ) Οι εξισώσεις x+ (-2) = +5 και x-( +7)=-Ί0+(+5) έχουν τηνίδια λύση.    
(ζ) Λύση της εξίσωσης x - (-2) = -8 + (+7) - (-4) είναι ο αριθμός +1    
Εικόνα

Υπολόγισε τις διαφορές:

Εικόνα

Εικόνα

Κάνε τις πράξεις:
(α  |+3| +|-2| + |-9|, (β) |-20| + |-10| -|+ 10|,   (γ) |-3| - |-2| + |-5| -|+6|.

Εικόνα

Κάνε τις πράξεις:

(α) (+5) - (+3) + (+8), (β) (-25) + (-4) - (-10), (γ) (+12) + (+2) - (-8).
Εικόνα
Συμπλήρωσε τον πίνακα με τους κατάλληλους αριθμούς:
α β α+β α-β
+3   -5  
  -8 +10  
-2 -5    
-9   +6  
Εικόνα Να λύσεις τις εξισώσεις: (α) x+(-8)=-18, (β) x+12=-14, (γ) x+5/4=7/8, (δ) x-5/4=2
Εικόνα
Συμπλήρωσε τις δύο τελευταίες στήλες του πίνακα: Τι συμπεραίνεις για τους αριθμούς των δύο αυτών στηλών;
α β α-β β-α
7 3    
2 $\dfrac{3}{4}$ 3 $\dfrac{1}{4}$    
-5,55 -2,45    
3 -2,1    
Εικόνα

Υπολόγισε την τιμή των παραστάσεων με δύο τρόπους: (α) 11-(12-2) + (10-5)-(8+5),

Εικόνα

Εικόνα
Συμπλήρωσε τον πίνακα:
x 3,5   1,89 -$\dfrac{1}{4}$
y -1,5 4,3   -$\dfrac{1}{4}$
z   -2,3 3,11  
x+y+z 0   0,22 $\dfrac{1}{2}$
x-y-z   0