| Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων |
| |
| ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ |
 |
Το τοπικό γραφείο της UNICEF θα μοιράσει 150 τετράδια, 90 στυλό και 60 γόμες σε πακέτα δώρων, ώστε τα πακέτα να είναι τα ίδια και να περιέχουν και τα τρία είδη.
- Μπορεί να γίνουν 10 πακέτα δώρων; Αν ναι, πόσα από κάθε είδος θα έχει κάθε πακέτο;
- Πόσα όμοια πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη;
- Πόσα το πολύ όμοια πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη;
|
|
|
Μικροπείραμα 
|
|
 |
-
Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς.
|
0, α, 2α, 3α, 4α, ...
|
- Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.
- Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.
- Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλον θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.
|
- Το μικρότερο ($\neq 0$) από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών ($\neq 0$) το ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών αυτών
- Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.
- Κάθε αριθμός α έχει διαιρέτες του αριθμούς 1 και α.
- Ένας αριθμός, εκτός από το 1, που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, διαφορετικά λέγεται σύνθετος.
- Δύο φυσικοί αριθμοί α και β μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες. Ο μεγαλύτερος από αυτούς ονομάζεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) των α και β και συμβολίζεται ΜΚΔ(α, β).
- Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν είναι ΜΚΔ(α, β) = 1.
|
|
| |
| ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ |
 |
Δύο πλοία επισκέπτονται ένα νησάκι. Το πρώτο ανά 3 ημέρες, το δεύτερο ανά 4 ήμερες. Αν ξεκίνησαν απο το νησάκι ταυτόχρονα, σε πόσες ημέρες θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι του νησιού; |
 |
|
|
Μικροπείραμα
|
|
Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4. |
| Πολλαπλάσια του 3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
27 |
30 |
33 |
36 |
... |
| Πολλαπλάσια του 4 |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
40 |
44 |
48 |
... |
|
Οι αριθμοί 12, 24, 36, ... είναι κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4. Επειδή, το μικρότερο ($\neq 0$) από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 12, γράφουμε: ΕΚΠ(3, 4) = 12. Δηλαδή, ακριβώς μετά από 12 ημέρες θα ξαναβρεθούν τα δύο πλοία στο λιμάνι του νησιού και αυτό θα επαναλαμβάνεται κάθε 12 ημέρες. |
|
|
| Κριτήρια Διαιρετότητας |
- Κριτήρια Διαιρετότητας με 2, 3, 4, 5, 9, 10 ή 25 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με τους αριθμούς αυτούς.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με 10 αν λήγει σε ένα μηδενικό.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6, 8.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το 4 ή και το 25, αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι μηδέν.
|
|
 |
Να αναλυθούν οι αριθμοί 2520, 2940, 3780 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Με τη βοήθεια αυτής της ανάλυσης να βρεθεί ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ αυτών των αριθμών. |
|
Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και παίρνουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη για το ΜΚΔ και τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη για το ΕΚΠ.
|
|
|
 |
Να βρεθεί αν διαιρούνται οι αριθμοί 12510, 772, 225, 13600 με 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, 100. |
|
| |
2 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
25 |
100 |
| 12510 |
 |
|
- |
|
|
|
- |
- |
| 772 |
|
- |
|
- |
- |
- |
- |
- |
| 225 |
- |
|
- |
|
|
- |
|
- |
| 13.600 |
|
- |
|
|
- |
|
|
|
|
 |
Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ του 1 και του 100.
|
|
Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ότι δεν υπάρχει μέγιστος πρώτος αριθμός, δηλαδή ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος. Γνώριζαν ακόμη ότι δεν υπάρχει ένας απλός κανόνας που να δίνει τους διαδοχικούς πρώτους αριθμούς. Με την απλή μέθοδο του Ερατοσθένη, γνωστή ως "Κόσκινο του Ερατοσθένη", που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα, βρίσκουμε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από δοσμένο αριθμό.
Στον διπλανό πίνακα διαγράφουμε τον αριθμό 1 που δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.
Μετά σημαδεύουμε το 2 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του. Το ίδιο κάνουμε και με τους αριθμούς 3, 5 και 7. Μ' αυτόν τον τρόπο διαγράφονται όλοι οι σύνθετοι αριθμοί και μένουν μόνο οι πρώτοι, από το 1 έως το 100:
2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 και 97. |
| |
|
 |
Ερατοσθένης ο Κυρηναίος 
|
| ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ |
|
| Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά |
| (α) |
Ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 8 είναι ο αριθμός ........ και το ΕΚΠ(5, 8) = ........ |
| (β) |
Αν το ΕΚΠ(α, β) = β, ο β είναι .................................................................. του α. |
| (γ) |
Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που .................................................................. και σύνθετοι λέγονται οι αριθμοί που .................................................................. |
| (δ) |
Δύο αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους όταν .................................................................. |
|
 |
Συμπλήρωσε το κενό με το κατάλληλο ψηφίο ώστε, ο αριθμός που θα σχηματιστεί να διαιρείται με το 9:
(α) 6  4, (β) 95 4, (γ) 601 . |
 |
| Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση |
| (α) |
ΕΚΠ (3, 5) = |
8 |
|
9 |
|
15 |
|
30 |
|
| (β) |
ΕΚΠ (11, 6) = |
17 |
|
36 |
|
66 |
|
132 |
|
| (γ) |
ΕΚΠ (5, 10) = |
10 |
|
15 |
|
45 |
|
50 |
|
| (δ) |
ΕΚΠ (3, 2, 5) = |
15 |
|
20 |
|
30 |
|
60 |
|
| (ε) |
ΕΚΠ (3, 6, 9) = |
9 |
|
18 |
|
36 |
|
27 |
|
| (στ) |
ΕΚΠ (8, 12, 15) = |
15 |
|
30 |
|
30 |
|
120 |
|
|
|
Μικροπείραμα
Μικροπείραμα
|
 |
| Η εταιρεία Α βγάζει νέο μοντέλο αυτοκινήτου κάθε 2 χρόνια ενώ η εταιρεία Β κάθε 3 χρόνια και η εταιρεία Γ κάθε 5 χρόνια. Αν το 2001 έβγαλαν και οι τρεις εταιρείες νέα μοντέλα, πότε θα ξαναβγάλουν και οι τρεις μαζί νέο μοντέλο; |
 |
|
 |
Ένας γυμναστής παρατήρησε ότι όταν τοποθετεί τους μαθητές της α' γυμνασίου ανά 3, ανά 5 και ανά 7 δεν περισσεύει κανένας. Πόσοι ήταν οι μαθητές της α' γυμνασίου στο σχολείο αυτό, αν γνωρίζουμε ότι το πλήθος τους είναι μεταξύ 100 και 200; |
|
Μικροπείραμα
|
 |
Ο Γιάννης πηγαίνει στον κινηματογράφο κάθε 10 ημέρες και ο Νίκος κάθε 12 ημέρες. Αν συναντήθηκαν στις 10 Μαρτίου στον κινηματογράφο, πότε θα ξανασυναντηθούν; Στο διάστημα μεταξύ των δύο συναντήσεών τους πόσες φορές έχει πάει ο καθένας τους χωριστά στον κινηματογράφο; |
|
Μικροπείραμα
|
 |
| Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση |
| (α) |
ΜΚΔ (5, 8) = |
1 |
|
5 |
|
8 |
|
40 |
|
| (β) |
ΜΚΔ (16, 24) = |
4 |
|
8 |
|
16 |
|
24 |
|
| (γ) |
ΜΚΔ (30, 15) = |
3 |
|
5 |
|
15 |
|
30 |
|
| (δ) |
ΜΚΔ (10, 30, 60) = |
5 |
|
10 |
|
30 |
|
60 |
|
| (ε) |
ΜΚΔ (22, 32, 50) = |
2 |
|
11 |
|
72 |
|
82 |
|
| |
|
Μικροπείραμα
|
 |
Δύο αριθμοί έχουν ΜΚΔ το 24. Να δικαιολογήσεις γιατί έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες διαφορετικούς από τη μονάδα. |
 |
Βρες τους διαιρέτες των αριθμών: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20. Ποιοι από τους αριθμούς αυτούς είναι πρώτοι; Ποιοι είναι σύνθετοι; |
| Μικροπείραμα
|
 |
Το διπλάσιο ενός πρώτου αριθμού είναι πρώτος αριθμός ή σύνθετος και γιατί; |
 |
Να βρεις όλους τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών χρησιμοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας: (α) 28, (β) 82, (γ) 95, (δ) 105, (ε) 124, (στ) 345, (ζ) 1.232, (η) 3.999. |
|
Μικροπείραμα
|
 |
Να αναλυθούν οι ακόλουθοι αριθμοί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:
(α) 78, (β) 348, (γ) 1.210, (δ) 2.344 |
|
|
|
