B3.4: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Εμβαδόν παραβολικού χώρου

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x², τον άξονα των x και τις ευθείες x = 0 και x = 1 (Παραβολικό χωρίο Σχ. 5).

Μια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι η εξής :

Χωρίζουμε το διάστημα [0,1] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους με άκρα τα σημεία :

● Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά. (Σχ. 6). Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα, ε_ν, των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων. Δηλαδή, το :

● Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την μέγιστη τιμή της f σε καθένα απ' αυτά (Σχ. 7), τότε το άθροισμα

των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού. Είναι όμως,

Εικόνα

Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των ε_ν και Ε_ν . Δηλαδή ισχύει ε_ν≤ Ε ≤ Ε_ν, οπότε

Εικόνα

● Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα [x_κ−1 , x_κ] , κ = 1,2,...,ν και ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο ξ_κ , κ =1,2,......,ν, καθενός διαστήματος, (Σχ. 8) , τότε το άθροισμα

των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού.

Επειδή για κ =1,2,......,ν , θα είναι

οπότε θα ισχύει

ε_ν≤ S_ν≤ Ε_ν

Εικόνα

Ορισμός εμβαδού

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β] , με f(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ [α,β] και Ω το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες x = α, x = β.

Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω (Σχ. 9) εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή:

● Χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους Εικόνα , με τα σημεία .

● Σε κάθε υποδιάστημα [x_κ−1 , x_κ] επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο ξ_κ και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση Δx και ύψη τα f(ξ_κ). Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι

● Yπολογίζουμε το .

Αποδεικνύεται ότι το υπάρχει στο R και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων ξ_κ . Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με Ε(Ω). Είναι φανερό ότι Ε(Ω) ≥ 0.

Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος

Έστω μια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς στο [α,β]. Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους Εικόνα .

Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα ξ_κ ϵ [x_κ−1 , x_κ] , για κάθε κ ϵ {1,2,...,ν}, και σχηματίζουμε το άθροισμα

το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής :

⁽¹⁾ Το άθροισμα αυτό ονομάζεται ένα άθροισμα RIEMANN.

Aποδεικνύεται ότι,

"Το όριο του αθροίσματος S_ν , δηλαδή το Εικόνα (1) υπάρχει στο R και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ_κ".

Το παραπάνω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συμβολίζεται με και διαβάζεται "ολοκλήρωμα της f από το α στο β". Δηλαδή,

Το σύμβολο ∫ οφείλεται στον Leibniz και ονομάζεται σύμβολο ολοκλήρωσης. Αυτό είναι επιμήκυνση του αρχικού γράμματος S της λέξης Summa (άθροισμα). Οι αριθμοί α και β ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης. Η έννοια "όρια" εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του 2ου κεφαλαίου. Στην έκφραση το γράμμα x είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα. Έτσι, για παράδειγμα, οι εκφράσεις , συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός, σε αντίθεση με το που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων.
Είναι, όμως, χρήσιμο να επεκτείνουμε τον παραπάνω ορισμό και για τις περιπτώσεις που είναι α > β ή α = β, ως εξής :

Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι :

Αν f(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ [α,β], τότε το ολοκλήρωμα δίνει το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα xʹx και τις ευθείες x = α και x = β (Σχ. 11). Δηλαδή,

Επομένως,

ΕΦΑΡΜΟΓH

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Εικόνα

ΣΧΟΛΙΟ

Αν c > 0, τότε το εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση β − α και ύψος c (Σχ. 12).

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

Με τη βοήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο

Έστω f, g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [α,β] και λ, μ ϵ R. Τότε ισχύουν

και γενικά

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο

Αν η f είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ και α, β, γ ϵ Δ, τότε ισχύει

Εικόνα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Αν f(x) ≥ 0 και α < γ < β (Σχ. 13), η παραπάνω ιδιότητα δηλώνει ότι :
Ε(Ω) = Ε(Ω₁) + Ε(Ω₂)
αφού

και

ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο

Έστω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ [α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Aν να βρείτε τα ολοκληρώματα :

Εικόνα

2. Να αποδείξετε ότι

3. Να υπολογίσετε το κ έτσι, ώστε

4. Αν και να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα :

Εικόνα