Μαθηματικά (Γ΄ Λυκείου Θετικών Σπουδών & Σπουδών Υγείας και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής)- Βιβλίο Μαθητή

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Στιγμιαία ταχύτητα

Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S = S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιμή t.

Εικόνα

H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού.
Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι κάποια χρονική στιγμή  t0  το κινητό βρίσκεται στη θέση  M0  και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμή  t = t0 + h,  βρίσκεται στη θέση Μ. (Σχ. 1). Στο χρονικό διάστημα από t0 έως t η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S(t) − S(t0). Άρα, η μέση ταχύτητα του κινητού σ' αυτό το χρονικό διάστημα είναι

Εικόνα

Όσο το t είναι πλησιέστερα στο  t0, τόσο η μέση ταχύτητα του κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση το ρυθμό αλλαγής της θέσης του κινητού κοντά στο  t0 . Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο  t0, το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή  t0 και τη συμβολίζουμε με υ( t0) . Δηλαδή:

Εικόνα

Για παράδειγμα, αν  S(t) = − t 2 + 4t  είναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (Σχ.2β),

Εικόνα

τότε η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού κατά τις χρονικές στιγμές t0 = 1, t2 = 2 και t3 = 3 είναι αντιστοίχως :

Εικόνα


ΣΧΟΛΙΟ

΄Οταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t0 ισχύει Εικόνα , οπότε είναι υ(t0) ≥ 0, ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t0 ισχύει Εικόνα , οπότε είναι υ(t0) ≤ 0.

Πρόβλημα εφαπτομένης

Είναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ότι εφαπτομένη ενός κύκλου σε ένα σημείο του Α ονομάζουμε την ευθεία η οποία έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό σημείο, το Α. Ο ορισμός αυτός δεν μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε καμπύλη, γιατί, με έναν τέτοιο ορισμό η παραβολή y = x2 θα είχε στο σημείο A(1,1) δύο εφαπτόμενες ε και ζ (Σχ. 4α), ενώ η y = x3   δεν θα είχε στο σημείο A(1,1) καμία εφαπτομένη (Σχ. 4β).

  Εικόνα
Εικόνα

Επομένως, πρέπει να αναζητήσουμε έναν άλλον ορισμό της εφαπτομένης του κύκλου, ο οποίος να μπορεί να γενικευτεί για όλες τις καμπύλες.

Θεωρούμε, λοιπόν, ένα άλλο σημείο Μ του κύκλου (Σχ. 5). Τα σημεία Α, Μ ορίζουν μια τέμνουσα του κύκλου, την ευθεία ΑΜ. Καθώς το σημείο Μ, κινούμενο πάνω στον κύκλο πλησιάζει στο Α, η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να έχει ως "οριακή θέση" την εφαπτομένη του κύκλου στο Α.
Τη διαπίστωση αυτή θα δούμε, τώρα, πως μπορούμε να την αξιοποιήσουμε για να ορίσουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της.

  Εικόνα

● Έστω f μία συνάρτηση και  Α(x0, f(x0)) ένα σημείο της γραφικής της παράστασης.

Εικόνα

Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο  M(x ,f(x)),   x ≠ x0,  της γραφικής παράστασης της f και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε ότι :
Καθώς το x τείνει στο  x0  με  x > x0, η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση ε  (Σχ. 6α). Την ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το  x  τείνει  x0 στο με  x < x0   (Σχ. 6β). Την οριακή θέση της ΑΜ θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α. Επειδή η κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με Εικόνα , είναι λογικό να αναμένουμε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(x0, f(x0)) θα έχει κλίση το

Εικόνα

Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω f μια συνάρτηση και  Α(x0, f(x0))  ένα σημείο της  Cf . Αν υπάρχει το Εικόνα και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(x0, f(x0))  είναι

y − f(x0) = λ (x − x0) ,

όπου

Εικόνα

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(x) = x2 και το σημείο της A(1,1). Επειδή   Εικόνα
  Εικόνα
ορίζεται εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α(1,1). Η εφαπτομένη αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και εξίσωση y − 1 = 2(x − 1).


Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο

Στα προηγούμενα, οι ορισμοί της στιγμιαίας ταχύτητας ενός κινητού και της εφαπτομένης σε σημείο μιας καμπύλης μας οδήγησαν σε ένα όριο της μορφής

Εικόνα

Για την ιδιαίτερη περίπτωση που το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το
Εικόνα
και είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 και συμβολίζεται με f ʹ(x0). Δηλαδή:
Εικόνα

Για παράδειγμα, αν f(x) = x2 + 1, τότε στο x0 = 1 έχουμε

Εικόνα

Επομένως, f ʹ(1) = 2.

Αν, τώρα, στην ισότητα Εικόνα θέσουμε  x = x0 + h , τότε έχουμε

Εικόνα

Πολλές φορές το h = x − x0 συμβολίζεται με Δx, ενώ το f(x0 + h) − f(x0) = f(x0 + Δx) − f(x0)  συμβολίζεται με Δf(x0) , οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται :

Εικόνα

Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στο  x0  με Εικόνα ή Εικόνα.
Ο συμβολισμός f ʹ(x0) είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrange.

Είναι φανερό ότι, αν το x0 είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, τότε :

Η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια
Εικόνα
και είναι ίσα.

Για παράδειγμα,

— η συνάρτηση Εικόνα είναι παραγωγίσιμη στο 0 με f ʹ(0) = 0, αφού   Εικόνα
Εικόνα
και
Εικόνα
ενώ


— η συνάρτηση Εικόνα  δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, αφού   Εικόνα
Εικόνα
και
Εικόνα

ΣΧΟΛΙΑ

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό :

● Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t0 , είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης
x = S(t) τη χρονική στιγμή t0 . Δηλαδή, είναι

υ(t0) = S ʹ(t0)

● Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της Cf μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, στο σημείο Α(x0, f(x0)) είναι η παράγωγος της f στο x0. Δηλαδή, είναι

λ = f ʹ(t0) ,

οπότε η εξίσωση της  ε φ α π τ ο μ έ ν η ς  ε είναι :

y − f(x0) = f ʹ(x0) (x − x0)

Την κλίση f ʹ(x0) της εφαπτομένης  ε  στο Α(x0, f(x0))  θα τη λέμε και κλίση της Cf  στο Α ή κλίση της f στο x0.

Κατακόρυφη εφαπτομένη

● Ας δούμε, τώρα, αν μπορούμε να ορίσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνεχούς συνάρτησης f σ' ένα σημείο της Α(x0, f(x0)), όταν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0.

— Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση

  Εικόνα
Εικόνα
Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο 0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό, αφού
Εικόνα

Παρατηρούμε όμως ότι, αν  M(x, f(x)),  x ≠ 0, είναι ένα σημείο της Cf , τότε, καθώς το x τείνει στο 0, η τέμνουσα ΟΜ φαίνεται να παίρνει ως οριακή θέση την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το Ο, δηλαδή τείνει να συμπέσει με τον άξονα  yʹy. Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο ορίζουμε την κατακόρυφη ευθεία  x = 0.

— ΄Εστω τώρα και η συνάρτηση   Εικόνα
Εικόνα
Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο 0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό, αφού
Εικόνα

Παρατηρούμε όμως και εδώ ότι, αν  M(x, f(x)),  x ≠ 0, είναι ένα σημείο της  Cf , τότε, καθώς το x τείνει στο 0, η τέμνουσα ΟΜ τείνει να συμπέσει με τον άξονα yʹy . Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της  Cf  στο  (0,0) ορίζουμε την κατακόρυφη ευθεία x =0. Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο  x0  και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες :
Εικόνα
τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της  Cf  στο σημείο Α(x0, f(x0)) την κατακόρυφη ευθεία x = x0.

Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης   Εικόνα
Εικόνα
δέχεται στο σημείο της Ο(0,0) κατακόρυφη εφαπτομένη, την x = 0, αφού είναι συνεχής στο 0 και ισχύει
Εικόνα

● Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο  x0  και δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του παραπάνω ορισμού, τότε δεν ορίζουμε εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(x0, f(x0)). Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης   Εικόνα
Εικόνα

δεν έχει εφαπτομένη στο Ο(0,0), αφού
Εικόνα
ενώ
Εικόνα

Παράγωγος και συνέχεια

Έστω η συνάρτηση f(x) = |x|. Η f είναι συνεχής στο x0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό, αφού

   Εικόνα
Εικόνα

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σ' ένα σημείο x0 χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό. Αν, όμως, η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, τότε θα είναι και συνεχής στο x0, δηλαδή ισχύει το παρακάτω θεώρημα :

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο  x0,  τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Για  x ≠ x0  έχουμε

Εικόνα

αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο x0. Επομένως,  Εικόνα , δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0. ■

ΣΧΟΛΙΟ

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ' ένα σημείο  x0 , τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο  x0.

 

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Για ποιες τιμές του α ϵ R, η συνάρτηση Εικόνα είναι:

      i) συνεχής στο x0 = 0 ;               ii) παραγωγίσιμη στο x0 = 0;


ΛΥΣΗ

i) Η f είναι συνεχής στο x0, αν και μόνο αν

Εικόνα

ή, ισοδύναμα,

Εικόνα

ii) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις :

● Αν α ≠ 1, −1, η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής και επομένως δεν είναι παραγωγίσιμη.

● Αν α = 1, η συνάρτηση γράφεται

Εικόνα

— Για x < 0 , έχουμε

Εικόνα

οπότε

Εικόνα

— Για x > 0 έχουμε

Εικόνα

οπότε
Εικόνα

Άρα

Εικόνα

και επομένως, για α = 1  η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0.

● Αν α = −1 , η συνάρτηση γράφεται

Εικόνα

— Για x < 0, έχουμε

Εικόνα

οπότε

Εικόνα

— Για x > 0, έχουμε

Εικόνα

οπότε

Εικόνα

Άρα

Εικόνα

και επομένως, για α = −1 η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x0 , όταν

Εικόνα

2. Να βρείτε (αν υπάρχει) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x0 , όταν

Εικόνα

3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση  g(x) = xf(x)  είναι παραγωγίσιμη στο 0.

4. Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0 τις παρακάτω συναρτήσεις, να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο αυτό.

Εικόνα

5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf (αν ορίζεται) στο Α(x0, f(x0)) για κάθε μία από τις συναρτήσεις των ασκήσεων 1 και 2.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης  f(x) = 2 − x + x ημ| x |  στο σημείο x0.

2. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f(1+h) = 2 + 3h + 3h2 + h3,  για κάθε h ϵ R, να αποδείξετε ότι :

i) f(1) = 2                                 ii) f ʹ(1) = 3

3. Αν Εικόνα , να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο Α(0,1) και σχηματίζει με τον άξονα των x γωνία π/4.

4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης Εικόνα στο x0 = 0.

5. Αν   x +1 ≤ f(x) ≤ x2 + x + 1 , για κάθε  x ϵ R , να αποδείξετε ότι :

Εικόνα

6. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και για κάθε ισχύει :

ημ2x − x4 ≤ xf(x) ≤ ημ2x + x4
να αποδείξετε ότι
i) f(0) = 0 ii) f ʹ(0) = 1

7. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και   Εικόνα , να αποδείξετε ότι :

i) f(0) = 0       ii) ii) f ʹ(0) = 4

8. Nα αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0, τότε

Εικόνα

9. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσεως τριών κινητών που κινήθηκαν πάνω στον άξονα xʹx στο χρονικό διάστημα από 0sec έως 8sec. Να βρείτε :

Εικόνα
i) Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης;

ii) Ποιο κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά;

iii) Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή sec, ποιο τη χρονική στιγμή sec και ποιο τη χρονική στιγμή sec;

iv) Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημα από 0sec έως 4sec;

v) Ποιο κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης;

vi) Ποιο κινητό διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα;