1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Oρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις f, g, h των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα παρακάτω σχήματα. Παρατηρούμε ότι : — Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο x0 αλλά — Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο x0 αλλά δεν υπάρχει το όριό της. Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράσταση της f δε διακόπτεται στο x0. Είναι, επομένως, φυσικό να ονομάσουμε συνεχή στο x0 μόνο τη συνάρτηση f. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = |x| είναι συνεχής στο 0, αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της όταν : α) Δεν υπάρχει το όριό της στο x0 ή β) Υπάρχει το όριό της στο x0 , αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f(x0 ), στο σημείο x0 . |
Για παράδειγμα : — Η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 0, αφού οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο 0.
Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση. Για παράδειγμα : — Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής , αφού για κάθε x0 ϵ R ισχύει . — Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής , αφού για κάθε x0 του πεδίου ορισμού της ισχύει — Οι συναρτήσεις f(x) = ημx και g(x) = συνx είναι συνεχείς , αφού για κάθε x0 ϵ R ισχύει Τέλος, αποδεικνύεται ότι: — Οι συναρτήσεις f(x) = αx και g(x) = logαx , 0 <α ≠ 1 είναι συνεχείς. |
Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Από τον ορισμό της συνέχειας στο x0 και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακάτω θεώρημα : θεώρημα
Για παράδειγμα: θεώρημα Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f(x0), τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο x0.
|
ΕΦΑΡΜΟΓΗ Για ποια τιμή του α η συνάρτηση είναι συνεχής; ΛΥΣΗ — Στο διάστημα (−∞, 0) η f έχει τύπο f(x) = x2 + 2α και επομένως είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επομένως, αρκεί 2α = 1 ή, ισοδύναμα, α = 1/2. Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα Πολλά από τα θεωρήματα της Ανάλυσης αναφέρονται σε συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους. Είναι, επομένως, απαραίτητο να γνωρίζουμε τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα. ΟΡΙΣΜΟΣ
Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (α, β] , [α, β) . |
Δυο βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε διαστήματα εκφράζονται από τα παρακάτω θεωρήματα :
ΘΕΩΡΗΜΑ
ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: — Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. |
Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής:
Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της στο . Έχουμε
Έτσι οι ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα. Επομένως, στα διαστήματα , είναι f(x) < 0, ενώ στο διάστημα είναι |
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. ΘΕΩΡΗΜΑ
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι f(α) < f(β). Τότε θα ισχύει f(α) < η < f(β) (Σχ. 67). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση
● Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι : Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. |
Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [α, β] , ισχύει το παρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β] , τότε η f παίρνει στο [α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. (Σχ. 69δ) Δηλαδή, υπάρχουν x1 , x2 ϵ [α, β] τέτοια, ώστε, αν m = f(x1) και M = f(x2) , να ισχύει
ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M] , όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.
|
● Τέλος, αποδεικνύεται ότι :
Για παράδειγμα, — Το σύνολο τιμών της , x ϵ (0, 1), η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση, (Σχ. 73) είναι το διάστημα (1, +∞), αφού Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [α,β] , [α, β) και (α, β]. |
ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να δειχτεί ότι η εξίσωση x + συνx = 4 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (π, 2π). Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x + συνx − 4, x ϵ [π, 2π]. Τότε:
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x0 ϵ (π, 2π) τέτοιο, ώστε f(x0) = 0 , οπότε x0 + συνx0 − 4 και συνεπώς x0 + συνx0 = 4. Άρα, η εξίσωση x + συνx = 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (π, 2π). ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. |
2. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0 τις παρακάτω συναρτήσεις :
3. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συνρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν
4. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις
5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς :
6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημx − x + 1 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0,π). 7. Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις f, να βρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα (α, α+1) η εξίσωση f(x) = 0 να έχει μία τουλάχιστον ρίζα
|
8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση όπου α, β, γ > 0 και λ < μ < ν, έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (λ,μ) και μια στο (μ,ν). 9. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του x (όπου η f ορίζεται), όταν:
10. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων
1. Αν , να προσδιορίσετε το κ, ώστε η f να είναι συνεχής στο x0 = 2. 2. Αν , να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες η f να είναι συνεχής 3. i) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο x0 = 0. Να βρείτε το f(0), αν για κάθε x ϵ R* ισχύει
ii) Ομοίως, να βρείτε το g(0) για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο x0 = 0 και για κάθε x ϵ R ισχύει
4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [0,1] και πληρούν τις σχέσεις f(0) < g(0) και f(1) > g(1), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ϵ (0,1) τέτοιο ώστε f(ξ) = g(ξ). |
5. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις :
6. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο
7. i) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [−1,1] , για την οποία ισχύει
α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0.
|