1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο και διάταξη Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα. ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο
|
ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο
Όρια και πράξεις Τα δύο βασικά όρια ΘΕΩΡΗΜΑ
Οι ιδιότητες 1 και 3 του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις. Άμεση συνέπεια αυτού είναι:
|
Για παράδειγμα,
— Έστω τώρα το πολυώνυμο
Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε:
Επομένως,
Για παράδειγμα,
— Έστω η ρητή συνάρτηση
Επομένως,
Για παράδειγμα,
ΣΧΟΛΙΟ |
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Nα βρεθούν τα παρακάτω όρια: ΛΥΣΗ i) Έχουμε
ii) Επειδή
Επομένως,
iii) Για x =1 μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:
|
Επομένως,
2. Nα βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο x0 = 1 της συνάρτησης
ΛΥΣΗ Αν x < 1, τότε f(x) = 3x2 − 4, οπότε
Αν x > 1, τότε f(x) = −1/x, οπότε
Επομένως
Κριτήριο παρεμβολής
ΘΕΩΡΗΜΑ
|
Για παράδειγμα,
οπότε
Επειδή
Tριγωνομετρικά όρια
ΑΠΟΔΕΙΞΗ *
Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει |ημx| ≤ x, με την ισότητα να ισχύει μόνο για x =0. ■ Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεμβολής θα αποδείξουμε ότι: |
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ● Αρχικά θα αποδείξουμε ότι
Πράγματι: — Σύμφωνα με την προηγούμενη ανισότητα έχουμε |ημx| ≤ |x|, οπότε
Επειδή
— Γνωρίζουμε ότι συν 2 x = 1 − ημ 2 x, οπότε
Επομένως
● Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι
● Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι
ΑΠΟΔΕΙΞΗ * |
— Αν
Επομένως, για κάθε Επειδή
β) Έχουμε
|
Όριο σύνθετης συνάρτησης Με τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια απλών συναρτήσεων. Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το Αποδεικνύεται ότι, αν g(x) ≠ u0 κοντά στο x0, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με ℓ, δηλαδή ισχύει:
ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής α) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο
Αν θέσουμε u = x2 + π/4, τότε
β) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο
Είναι
Έτσι, αν θέσουμε u = 3x, τότε
|
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Nα βρείτε τα όρια :
2. Έστω μια συνάρτηση f με
3. Nα βρείτε τα όρια : |
4. Nα βρείτε τα όρια :
5. Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο x0 αν :
6. Nα βρείτε τα όρια :
7. Να βρείτε τα όρια:
8. Nα βρείτε το
9. Δίνεται η συνάρτηση |
1. Nα βρείτε τα όρια :
2. Nα βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν
4. Να βρείτε το |