1.4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ  x₀ ϵ R

Εισαγωγή

Η έννοια του ορίου γεννήθηκε στην προσπάθεια των μαθηματικών να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως:

— Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού;

— Tι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της;

— Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου;

Στις παραγράφους που ακολουθούν, αρχικά προσεγγίζουμε την έννοια του ορίου "διαισθητικά", στη συνέχεια διατυπώνουμε τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό του ορίου και μερικές βάσικές ιδιότητές του και τέλος, εισάγουμε την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης.

Η έννοια του ορίου

● Έστω η συνάρτηση
Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df = R−{1} και γράφεται

Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y =x + 1 με εξαίρεση το σημείο A(1,2) (Σχ. 38). Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι:

"Καθώς το x, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα  xʹx, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 1, το  f(x), κινούμενο πάνω στον άξονα  yʹy, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 2. Και μάλιστα, οι τιμές  f(x) είναι τόσο κοντά στο 2 όσο θέλουμε, για όλα τα x ≠ 1 που είναι αρκούντως κοντά στο 1".

Στην περίπτωση αυτή γράφουμε

και διαβάζουμε

Γενικά:

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό ℓ, καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό x₀, τότε γράφουμε

και διαβάζουμε

Τους αριθμούς  και τους λέμε πλευρικά όρια της f στο x₀ και συγκεκριμένα το ℓ₁ αριστερό όριο της f στο x₀, ενώ το ℓ₂  δεξιό όριο της f στο x₀.

Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι:

Για παράδειγμα, η συνάρτηση (Σχ. 42) δεν έχει όριο στο x0 = 0, αφού
ενώ
και έτσι

Ορισμός του ορίου στο x₀ ∈ R

● Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά. Είδαμε ότι, όταν γράφουμε , εννοούμε ότι οι τιμές f(x) βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά στο ℓ, για όλα τα x ≠ x₀ τα οποία βρίσκονται "αρκούντως κοντά στο x₀". Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα εργαζόμαστε ως εξής:

— Στη θέση της φράσης  "οι τιμές  f(x)  βρίσκονται οσοδήποτε θέλουμε κοντά στο ℓ"  χρησιμοποιούμε την ανισότητα
|f(x) −ℓ| < ε ,	(1)
όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός.
— Στη θέση της φράσης  "για όλα τα x ≠ x0 που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο x0"  χρησιμοποιούμε την ανισότητα
0 < |x − x0| < δ ,	(2)
όπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός. (Η ανισότητα 0 <|x − x0| δηλώνει ότι x≠x0). — Για να συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σύμφωνα με τον διαισθητικό ορισμό λέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε να βρούμε έναν θετικό αριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το x ικανοποιεί τη (2), τότε το f(x) θα ικανοποιεί την (1). Έχουμε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ _^*

Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο x₀, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με .
Στη συνέχεια, όταν γράφουμε, θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της f στο x₀ και είναι ίσο με ℓ.
Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:

● Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (x₀,β) και την ανισότητα 0 <|x − x₀|< δ την αντικαταστήσουμε με την x₀ < x < x₀ + δ, τότε έχουμε τον ορισμό του , ενώ αν η f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, x₀) και την ανισότητα 0 < |x − x₀|< δ την αντικαταστήσουμε με την x₀ − δ < x < x₀, τότε έχουμε τον ορισμό του .

Αποδεικνύεται ότι :

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0)∪(x0, β), τότε ισχύει η ισοδυναμία:

● Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (x0,β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, x0), τότε ορίζουμε:
Για παράδειγμα,
● Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, x0), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (x0,β), τότε ορίζουμε:
Για παράδειγμα,

ΣΧΟΛΙΟ

Αποδεικνύεται ότι το είναι ανεξάρτητο των άκρων α,β των διαστημάτων (α, x0) και (x0,β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f. Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης στο x0 = 0, περιοριζόμαστε στο υποσύνολο (−1, 0)∪(0, 1) του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή
.
Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι   .

ΣΥΜΒΑΣΗ

Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο x₀ μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες:

α) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x₀)∪(x₀, β) και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ.

β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x₀), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (x₀, β).

γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (x₀, β), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α, x₀).

Για παράδειγμα, η συνάρτηση είναι θετική κοντά στο x₀ = 0, αφού ορίζεται στο σύνολο
(−π/2, 0)∪(0, π/2) και είναι θετική σε αυτό.

Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησης

Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι :

Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x (Σχ. 47α) στο x₀ είναι ίσο με την τιμή της στο x₀, ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης g(x) = c (Σχ. 47β) στο x₀ είναι ίσο με c.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα βρείτε το και το f(x₀), εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι :

2. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το , όταν:

3. Ομοίως όταν :

4. Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [−2, +∞) και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς.

5. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο (α, x₀)∪(x₀, β), με και . Να βρείτε τις τιμές του λ ϵ R, για τις οποίες υπάρχει το .