3.2 MEΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

Ο πίνακας των αόριστων ολοκληρωμάτων, που δώσαμε παραπάνω, δεν είναι αρκετός για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μίας οποιασδήποτε συνάρτησης, όπως π.χ. τα ολοκληρώματα και . Σε τέτοιες περιπτώσεις ο υπολογισμός γίνεται απλούστερος με τη βοήθεια των παρακάτω μεθόδων ολοκλήρωσης.

Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες

Η μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο :

που είναι συνέπεια του κανόνα παραγώγισης του γινομένου δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε ένα διάστημα Δ.

Πράγματι, για κάθε x ϵ Δ, έχουμε

οπότε

Επομένως

ή, ισοδύναμα,

Επειδή το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της (1) περιέχει μια σταθερά ολοκλήρωσης, το c μπορεί να παραλειφθεί, οπότε έχουμε τον παραπάνω τύπο. ■

Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα του β΄ μέλους υπολογίζεται ευκολότερα. Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα . Έχουμε :

Αν, τώρα, δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα, αλλάζοντας τους ρόλους των x και e^x, βρίσκουμε

Το τελευταίο, όμως, ολοκλήρωμα είναι πιο σύνθετο από το αρχικό.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής

όπου P(x) πολυώνυμο του x και α ϵ R^*.

ii) Έχουμε

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής

όπου P(x) πολυώνυμο του x και α ϵ R^*.

iii) Έχουμε

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής

όπου P(x) πολυώνυμο του x και α ϵ R^*.

iv) Θέτουμε , οπότε έχουμε

Επομένως ,

οπότε

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής

όπου  α,β ϵ R^*.

2. Ο πληθυσμός P(t), 0 ≤ t ≤ 20, μιας πόλης, που προέκυψε από συγχώνευση 10 κοινοτήτων, αυξάνεται με ρυθμό (σε άτομα ανά έτος) που δίνεται από τον τύπο Pʹ(t) = te^t/10, 0 ≤ t ≤ 20, όπου t είναι ο αριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση. Να βρεθεί ο πληθυσμός P(t) της πόλης t χρόνια μετά τη συγχώνευση, αν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήταν 10000 κάτοικοι κατά τη στιγμή της συγχώνευσης.

ΛΥΣΗ

Έχουμε te^t/10

οπότε

Όταν t = 0, ο πληθυσμός είναι 10000. Συνεπώς:

Άρα, ο πληθυσμός της πόλης, t χρόνια μετά τη συγχώνευση, είναι

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση

Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή . Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο :

Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα.

Η απόδειξη του τύπου αυτού στηρίζεται στο γνωστό κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης. Πράγματι, αν F είναι μια παράγουσα της f, τότε

οπότε

και άρα

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα . Θέτουμε u = x² + 1 και du = (x² + 1)ʹdx = 2xdx, οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται:

ΕΦΑΡΜΟΓEΣ

1. Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

ΛΥΣΗ

2. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

ΛΥΣΗ

3. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

ΛΥΣΗ

i) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R−{2,3} και γράφεται

Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι, ώστε να ισχύει

Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε τελικά :

Η τελευταία ισότητα ισχύει για κάθε x ϵ R−{2,3} , αν και μόνο αν

Επομένως ,

Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής

ii) Αν εκτελέσουμε τη διαίρεση του πολυωνύμου x² − 3x + 7 με το πολυώνυμο x² − 5x + 6 , βρίσκουμε ότι

Επομένως ,

Mε τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής

όπου Ρ (x) πολυώνυμο του x βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 και β² − 4αγ > 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

2. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

3. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

2. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

3. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

4. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

5. Με τη βοήθεια των τύπων

να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα :

6. Με τη βοήθεια των τύπων

να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα :

7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα