Μαθηματικά (Γ Λυκείου Θετικών Σπουδών / Οικονομίας & Πληροφορικής)- Βιβλίο Μαθητή

3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3.1 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Αρχική συνάρτηση

Πολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται προβλήματα, που η λύση τους απαιτεί πορεία αντίστροφη της παραγώγισης. Τέτοια προβλήματα είναι για παράδειγμα τα παρακάτω :

— Η εύρεση της θέσης S(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστή η ταχύτητά του υ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S(t).

— Η εύρεση της ταχύτητας υ(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστή η επιτάχυνσή του γ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης υ = υ(t).

— Η εύρεση του πληθυσμού N(t) μιας κοινωνίας βακτηριδίων τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστός ο ρυθμός αύξησης N'(t) του πληθυσμού.

Το κοινό χαρακτηριστικό των προβλημάτων αυτών είναι ότι, δίνεται μια συνάρτηση f και ζητείται να βρεθεί μια άλλη συνάρτηση F για την οποία να ισχύει F'(x) = f(x) σε ένα διάστημα Δ. Οδηγούμαστε έτσι στον παρακάτω ορισμό.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ (1) ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

F'(x) = f(x) ,   για κάθε   x ϵ Δ.


 (1) Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση F(x) = x3 είναι μια παράγουσα της f(x) = 3x2 στο R , αφού (x3)ʹ = 3x2. Παρατηρούμε ότι και όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = x3 + c = F(x) + c , όπου c ϵ R, είναι παράγουσες της f στο R, αφού (x3 + c)ʹ = 3x2. Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα :

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε

● όλες οι συναρτήσεις της μορφής

G(x) = F(x) + c ,     c ϵ R ,
είναι παράγουσες της f στο Δ και

● κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή

G(x) = F(x) + c ,     c ϵ R .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

● Κάθε συνάρτηση της μορφής G(x) = F(x) + c, όπου c ϵ R είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού

G'(x) = (F(x) + c)' = F'(x) = f(x),   για κάθε  x ϵ Δ.

● Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε x ϵ Δ ισχύουν F'(x) = f(x) και G'(x) = f(x), οπότε

G'(x) = F'(x),  για κάθε  x ϵ Δ .

Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της § 2.6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε

G(x) = F(x) + c,   για κάθε  x ϵ Δ .   ■

Αόριστο ολοκλήρωμα

Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ, συμβολίζεται Εικόνα και διαβάζεται "ολοκλήρωμα εφ του x ντε x". Δηλαδή,

Εικόνα ,    c ϵ R ,

όπου F μια παράγουσα της f στο Δ.

Για παράδειγμα,

Εικόνα

Από τον τρόπο που ορίστηκε το αόριστο ολοκλήρωμα προκύπτει ότι :

Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει

Εικόνα

Η διαδικασία εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος είναι αντίστροφη πορεία της παραγώγισης και λέγεται ολοκλήρωση. Η σταθερά c λέγεται σταθερά ολοκλήρωσης.

Από τον πίνακα των παραγώγων βασικών συναρτήσεων βρίσκουμε τον παρακάτω πίνακα αόριστων ολοκληρωμάτων.

Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα.

Εικόνα

Συνέπεια του ορισμού του αόριστου ολοκληρώματος και των κανόνων παραγώγισης είναι οι εξής δύο ιδιότητες :

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν παράγουσα σ' ένα διάστημα Δ, τότε

  Εικόνα

Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους έχουμε για παράδειγμα :

Εικόνα

Εικόνα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθεί συνάρτηση f τέτοια, ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο A(2,3) και να ισχύει f ʹ(x) = 2x − 1, για κάθε  x ϵ R .

ΛΥΣΗ

Επειδή f ʹ(x) = 2x − 1, έχουμε διαδοχικά :

Εικόνα

Για να διέρχεται η f από το σημείο Α(2, 3) πρέπει και αρκεί f(2) = 3 ή, ισοδύναμα, 22 − 2 + c = 3, δηλαδή c = 1. Επομένως, f(x) = x2 − x + 1 .

2. Η είσπραξη Ε(x), από την πώληση x μονάδων ενός προϊόντος (0 ≤ x ≤ 100) μιας βιομηχανίας, μεταβάλλεται με ρυθμό E'(x) = 100 − X (σε χιλιάδες ευρώ ανά μονάδα προϊόντος), ενώ ο ρυθμός μεταβολής του κόστους παραγωγής είναι σταθερός και ισούται με 2 (σε χιλιάδες ευρώ ανά μονάδα προϊόντος). Να βρεθεί το κέρδος της βιομηχανίας από την παραγωγή 100 μονάδων προϊόντος, υποθέτοντας ότι το κέρδος είναι μηδέν όταν η βιομηχανία δεν παράγει προϊόντα.

ΛΥΣΗ

Αν Ρ(x) είναι το κέρδος και Κ(x) είναι το κόστος παραγωγής για x μονάδες προϊόντος, τότε

Ρ(x) = Ε(x)Κ(x),

οπότε

Ρ'(x) = Ε'(x)Κ'(x) = 100 x2 = 98x.

 

Δηλαδή

Ρ'(x) = 98x,

οπότε

Εικόνα

και άρα

Εικόνα

"Όταν η βιομηχανία δεν παράγει προϊόντα, το κέρδος είναι μηδέν, δηλαδή ισχύει Ρ(0) = 0 ,οπότε c = 0 . Επομένως,

Εικόνα

Άρα, το κέρδος από 100 μονάδες προϊόντος είναι

Εικόνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

Εικόνα

2. Nα βρείτε τη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το διάστημα (0, +∞), για την οποία ισχύει

Εικόνα

3. Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f ʹʹ(x) = 3, f ʹ(1) = 6 και f(0) = 4.

4. Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f ʹʹ(x) = 12x2 + 2 και η γραφική της παράσταση στο σημείο της A(1,1) έχει κλίση 3.

5. Ο πληθυσμός N(t), σε εκατομμύρια, μιας κοινωνίας βακτηριδίων, αυξάνεται με ρυθμό Εικόνα ανά λεπτό. Να βρείτε την αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά.

6. Μια βιομηχανία έχει διαπιστώσει ότι για εβδομαδιαία παραγωγή x εξαρτημάτων έχει οριακό κόστος x+ 5x (ευρώ ανά μονάδα προϊόντος). Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίας παραγωγής, αν είναι γνωστό ότι τα σταθερά εβδομαδιαία έξοδα της βιομηχανίας, όταν δεν παράγει κανένα εξάρτημα, είναι 100 (ευρώ).

7. Μια νέα γεώτρηση εξώρυξης πετρελαίου έχει ρυθμό άντλησης που δίνεται από τον τύπο Εικόνα, όπου R(t) είναι ο αριθμός, σε χιλιάδες, των βαρελιών που αντλήθηκαν στους t πρώτους μήνες λειτουργίας της. Να βρείτε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους 8 πρώτους μήνες λειτουργίας της.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Η θερμοκρασία Τ ενός σώματος, που περιβάλλεται από ένα ψυκτικό υγρό, ελαττώνεται με ρυθμό −kαe −kt , όπου α, k είναι θετικές σταθερές και t ο χρόνος. Η αρχική θερμοκρασία T(0) του σώματος είναι T0 + α, όπου Τ0 η θερμοκρασία του υγρού η οποία με κατάλληλο μηχάνημα διατηρείται σταθερή. Να βρείτε τη θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή t.

2. Ένας βιομήχανος, ο οποίος επενδύει x χιλιάδες ευρώ στη βελτίωση της παραγωγής του εργοστασίου του, αναμένει να έχει κέρδος Ρ(x) χιλιάδες ευρώ από αυτή την επένδυση. Μια ανάλυση της παραγωγής έδειξε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους Ρ(x), που οφείλεται στην επένδυση αυτή, δίνεται από τον τύπο Pʹ(x) = 5,8e −x/2000. Να βρείτε το συνολικό κέρδος που οφείλεται σε αύξηση της επένδυσης από 4.000.000 ευρώ σε 6.000.000 ευρώ.

3. Από την πώληση ενός νέου προϊόντος μιας εταιρείας διαπιστώθηκε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους K(t) δίνεται από τον τύπο Κ'(t) = 800 − 0,6t (σε ευρώ την ημέρα), ενώ ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης Ε(t) στο τέλος των t ημερών δίνεται από τον τύπο Ε'(t) = 1000 + 0,3t (σε ευρώ την ημέρα). Να βρείτε το συνολικό κέρδος της εταιρείας από την τρίτη έως και την έκτη ημέρα παραγωγής.

4. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με f(0) = g(0), f(1) = g(1) + l και f"(x) = g"(x) για κάθε x ϵ R . Να αποδείξετε ότι:

i) f(x) = g(x) + x, για κάθε   x ϵ R

ii) Αν η συνάρτηση g έχει δύο ρίζες α, β με α < 0 < β, τότε η συνάρτηση f έχει μια τουλάχιστον, ρίζα στο (α, β).